Guia 4 A Ciclo V_1

CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO PROGRAMA SEMIPRESENCIAL

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO MATEMATICAS CICLO V CUARTA SESION Elaborada por ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C _____________________________________________________________________1 CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO – PROGRAMA SEMIPRESENCIAL “Por una Bogotá más Productiva”

DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________ _________________________

CICLO

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

_____________________ FIRMA DEL PROFESOR _____________________________________________________________________2 CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO – PROGRAMA SEMIPRESENCIAL “Por una Bogotá más Productiva”

9. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Recordemos que está sobrentendido que un ángulo escrito sin unidades está medido en radianes. Así la expresión cos 5 significa el coseno de un ángulo de 5 radianes sen 2 significa el seno de un ángulo de 2 radianes De forma general, para cualquier número real x, la expresión cos x significa el coseno de un ángulo de x radianes sen x significa el seno de un ángulo de x radianes La expresión sen x está definida para cualquier número real x, de modo que la expresión f(x) = sen x define a una función f(x) con domino en R. Es decir, que definiremos las funciones trigonométricas seno y coseno sobre el dominio de los números reales, asociando a cada número la medida de un ángulo expresado en radianes. La forma general de las gráficas correspondientes a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x se pueden obtener geométricamente, construyendo un ángulo en posición normal, cuyo lado final interseca a la circunferencia trigonométrica en el punto (cos x, sen x). También se puede obtener la gráfica de estas funciones construyendo una tabla de valores y representando en un sistema de ejes los puntos obtenidos. Construimos la tabla para graficar la función f(x) = sen x, asignando a x números reales.

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Haremos un breve análisis de las características de esta función. La función f(x) = sen x, de dominio R, es una función periódica cuyo dominio es 2π, porque sus valores se repiten cíclicamente en intervalos del dominio de longitud 2π. Su imagen es Im f(x) = [-1, 1] En la gráfica podemos observar algunos intervalos de positividad: (0 , π) y (2π , 3π) y algunos de negatividad: ( -π, 0) ; (π , 2π) y (3π , 4π). Algunos de los puntos donde la función alcanza un valor máximo

son

mientras que algunos puntos de mínimo valor de la función son: Algunos ceros (o raíces) que podemos observar en la porción de gráfica realizada son: (0 , 0); (π ,0); (2π , 0) ; (3π , 0) ; (4π , 0) y (-π , 0). Algunos intervalos de crecimiento que podemos observar que intervalos de decrecimiento son: _____________________________________________________________________4 CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO – PROGRAMA SEMIPRESENCIAL “Por una Bogotá más Productiva”

A) Las siguientes gráficas corresponden a funciones del tipo : f(x) = a . senx.

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En este grupo de funciones se ha cambiado la amplitud, lo que ha modificado los valores máximos y mínimos de la función original. B) Las siguientes gráficas corresponden a funciones del tipo : f(x) = sen bx. En este grupo de funciones se ha cambiado la frecuencia (pulsación), lo que ha modificado tanto los ceros como los intervalos de positividad, de negatividad, de crecimiento, de crecimiento, máximos y mínimos. El período de cada una se calcula así : Si deseamos graficar la función y = cos x, podemos construimos una tabla de valores similar a la utilizada para graficar la función y = sen x. Marcando los puntos obtenidos en un sistema de ejes cartesianos ortogonales, la gráfica obtenida será:

El

comportamiento de la función y = cos x es análogo al de la función y = senx La función f(x) = cos x, de dominio R, es una función periódica cuyo dominio es 2π, porque sus valores se repiten cíclicamente en intervalos del dominio de longitud 2π. _____________________________________________________________________6 CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO – PROGRAMA SEMIPRESENCIAL “Por una Bogotá más Productiva”

Su imagen es Im f(x) = [-1, 1] En la gráfica podemos observar algunos intervalos de positividad: algunos de negatividad:

Algunos de los puntos donde la función alcanza un valor máximo son: (0 , 1) y (2π, 1) , mientras que algunos puntos de mínimo valor de la función son: (π, -1) y (3π , -1). Algunos ceros (o raíces) que podemos observar en la porción de gráfica realizada son

Algunos intervalos de crecimiento que podemos observar son: intervalos de decrecimiento son: (0,π) , (2π , 3π)

mientras

que

Las gráficas siguientes corresponden a funciones en las que se ha cambiado la pulsación. En ellas se han modificado tanto el período, como la ubicación de sus máximos y mínimos, los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, de positividad y de negatividad.

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En las gráficas siguientes se ha modificado la amplitud, lo que ha modificado, además de la imagen, la ubicación de los puntos de máximo y de mínimo valor.

10. Identidades

Así como anteriormente vimos que una expresión del tipo X2 – 4 = (x + 2) (x – 2) _____________________________________________________________________8 CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO – PROGRAMA SEMIPRESENCIAL “Por una Bogotá más Productiva”

que es válida para todos los números reales x, se llama identidad, una expresión del tipo es una identidad trigonométrica, porque si , en el segundo miembro reemplazamos la tan α

por una expresión equivalente:

Al final del capítulo se incluyen una serie de identidades trigonométricas, que no serán demostradas, pero que serán de utilidad cuando se desee escribir ciertos tipos de expresiones trigonométricas de manera más sencilla. 11. Ecuaciones Así como anteriormente vimos que una expresión del tipo X2 – x – 6 = 0 es una ecuación (en este caso una polinómica de segundo grado) ya que se verifica sólo para algunos valores de su indeterminada (en este caso x = 3 y x = - 2, que son las raíces o ceros), una expresión del tipo es una ecuación trigonométrica, que se verifica para determinados valores de x. Para resolver ecuaciones de este tipo nos ayudaremos con la circunferencia trigonométrica y ángulos de referencia. Comenzaremos resolviendo algunos ejemplos sencillos. Ejemplo: Resolver la ecuación: Solución: _____________________________________________________________________9 CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO – PROGRAMA SEMIPRESENCIAL “Por una Bogotá más Productiva”

Podemos utilizar el cuadro En él vemos que si el seno de un cuadrante:

correspondiente a ángulos “especiales” visto anteriormente. ángulo es el ángulo podría ser el ángulo agudo del primer

También vimos que hay un ángulo del segundo cuadrante que tiene el mismo valor de seno que x. Buscamos ese ángulo que llamaremos x1 , (teniendo en cuenta los ángulos de referencia).

1 . Recordemos que todos los 2 ángulo de más de un giro que sean coterminales con x y x1 tendrán el mismo valor de seno. Indicaremos todas las posibles soluciones: Hasta ahora hemos encontrado dos ángulos cuyo seno vale

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Algunas identidades trigonométricas Relación Pitagórica:

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DEMUESTRE LAS SIGUIENTES IDENTIDADES

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