Guia 1 A Ciclo V

CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO PROGRAMA SEMIPRESENCIAL

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO MATEMATICAS CICLO V PRIMERA SESION Elaborada por ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C

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DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________ _________________________

CICLO

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

_____________________ FIRMA DEL PROFESOR

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TRIGONOMETRÍA 1. ÁNGULOS ORIENTADOS Consideraremos ángulos “centrados” (o ubicados en posición normal o estándar) a los dibujados en un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Tendremos en cuenta que: Cada ángulo se genera por la rotación de una semirrecta con origen en el punto (0,0) la que, partiendo de su “posición inicial” coincidente con el semieje positivo de las abscisas, gira manteniendo fijo su origen hasta llegar a su “posición final”. Hablamos entonces de lado inicial y lado terminal. Llamaremos coterminales a los ángulos que tengan coincidentes sus lados inicial y final. El vértice del ángulo está en el origen del sistema de coordenadas. Cada ángulo tendrá asignado (por convención) un signo, que será positivo si la rotación de la semirrecta que lo genera es en sentido antihorario, y negativo si es en sentido horario. Para la ubicación del ángulo consideraremos al plano cartesiano dividido en cuadrantes. Un Ángulo pertenecerá al primer cuadrante si su lado terminal se encuentra en él. Ídem para los otros cuadrantes. Habrá ángulos de más de un giro generados por la rotación de la semirrecta en más de un giro. Un ángulo central de una circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de una Circunferencia.

α pertenece al primer cuadrante, α > 0 β pertenece al cuarto cuadrante, β < 0 δ pertenece al segundo cuadrante, δ > 0 θ pertenece al tercer cuadrante, θ < 0 2. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Hay varios sistemas de medición de ángulos. Repasaremos dos de ellos: el sistema sexagesimal y el sistema circular. 2.1. Sistema sexagesimal En este sistema los ángulos se miden en grados, minutos y segundos. La unidad es el grado sexagesimal, y se define como la noventa-ava parte de un ángulo recto.

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Los submúltiplos son: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal. Las equivalencias son: 1° equivale a 60 ′ 1′ equivale a 60 ″ Ejemplos: α = 230 32´32” β = 1350 47´ δ = 870 49” θ = 243, 670 2.2. Sistema circular En este sistema los ángulos se miden en radianes. La unidad es el radián, que se define como el ángulo central que abarca un arco cuya longitud es la misma que la del radio de la circunferencia. La medición de un ángulo   en radianes se basa en la s longitud s de un arco de una circunferencia. La medida en radianes del ángulo  se define así: α = r Como esta definición no depende del radio de la circunferencia, aunque tomemos otra circunferencia centrada en el vértice de  , la medida en radianes para   será la misma porque las razones entre los arcos y los radios de ellas serán iguales.

El ángulo de un radián subtiende un arco igual al radio de la circunferencia, el ángulo de dos radianes subtiende un arco igual al doble del radio de la circunferencia y el ángulo de tres radianes subtiende un arco igual al triple del radio de la circunferencia. En una rotación completa el ángulo subtiende un arco igual a la longitud de la circunferencia: Una rotación : En media rotación el ángulo subtiende un arco igual a la mitad de la longitud de la circunferencia:

La medida en grados para el ángulo correspondiente a una rotación completa en sentido antihorario es de 360 , mientras que la medida en radianes para el mismo ángulo es 2 radianes. La medida en grados para el ángulo correspondiente a media rotación en sentido antihorario es de 1800 , mientras que la medida en radianes para el mismo ángulo es radianes. 0

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La medida en grados para el ángulo correspondiente a la cuarta parte de una rotación en sentido antihorario es de 90 , mientras que la medida en radianes para el mismo ángulo 0

es

radianes.

Teniendo en cuenta estas relaciones es posible encontrar expresiones que nos permitan “convertir” grados a radianes o viceversa. Ejemplos: 1) Expresar en radianes los ángulos siguientes: a) α = 45 b) β = 23 18´ 40´´ c) δ = 158,34 0

0

0

Podemos resolver esta situación utilizando alguna equivalencia entre ambos sistemas de medición.

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Procediendo de manera análoga, obtenemos los otros ángulos.

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Recordemos las definiciones de las razones trigonométricas basadas en las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo:

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Los valores de las seis razones trigonométricas dependen exclusivamente del tamaño del ángulo y no del tamaño del triángulo rectángulo. Ejemplo: Encontrar el valor de las seis razones trigonométricas del ángulo α de la figura. Primero encontraremos la longitud de la hipotenusa (Aplicando el Teorema de Pitágoras)

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Luego, los valores de las seis razones trigonométricas son:

4. ÁNGULOS CARACTERÍSTICOS

Utilizando recursos de geometría plana podemos encontrar los valores de las seis razones trigonométricas de cada uno de ellos.

Para encontrar los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 45 0 consideraremos un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud unitaria. Aplicando el Teorema de Pitágoras hallamos la longitud de la hipotenusa y usamos las relaciones anteriores para escribir cada razón

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Para encontrar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 30 y 60 consideraremos un triángulo equilátero con lados de longitud 2. En él trazamos la altura correspondiente a cualquier lado (que a su vez es mediana, mediatriz y bisectriz), determinando así dos triángulos rectángulos iguales. 0

0

Cada uno de ellos tendrá un cateto unitario, la hipotenusa es de longitud 2 y el otro cateto

Si usamos las relaciones vistas antes, podemos escribir las razones de cada uno de los ángulos agudos determinados al trazar la altura.

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En la tabla siguiente se resumen los valores de los “ángulos característicos”.

5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

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Recordemos que resolver un triángulo significa encontrar algunos valores de las longitudes de sus lados o amplitudes de sus ángulos a partir de ciertos datos suministrados. Aplicaremos a la resolución de triángulos rectángulos las relaciones vistas antes. Podremos resolver cualquier triángulo rectángulo si nos dan como dato: • las longitudes de dos de sus lados o • la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. Ejemplos: 1) Resolver el triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 8 cm y un cateto mide 5 cm. 2) Resolver el triángulo rectángulo en el que sus catetos miden 7 cm y 12 cm respectivamente. 3) Resolver el triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 20 cm y uno de sus ángulos agudos mide 42º. 4) Resolver el triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos mide 65º y el cateto opuesto mide 15 cm. 5) Resolver el triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos mide 53º y el cateto adyacente mide 22 cm. Solución En todos los casos lo primero que haremos es realizar el dibujo correspondiente, marcando los datos y las incógnitas. 1) Resolver el triángulo rectángulo en el que la hipotenusa (m) mide 8 cm y un cateto (p) mide 5 cm. • Para hallar el valor del otro cateto usamos el Teorema de Pitágoras: m2 = n2 + p2

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• Para hallar el valor del ángulo α buscamos una razón trigonométrica que relacione la hipotenusa con el cateto opuesto al ángulo. Elegimos la razón seno.

• Para hallar el valor del ángulo β buscamos la razón trigonométrica que relacione la hipotenusa con el cateto opuesto al ángulo. Elegimos el coseno.

2) Resolver el triángulo rectángulo en el que sus catetos miden (p) 7 cm y (n) 12 cm. • Para hallar el valor de la hipotenusa usamos el Teorema de Pitágoras: m2 = n2 + p2

• Para hallar el valor del ángulo α buscamos una razón trigonométrica que relacione los catetos. Elegimos la tangente.

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• Para hallar el valor del ángulo β elegimos la tangente para relacionar los catetos.

Respuesta: La hipotenusa mide 193 cm y los ángulos agudos miden 30,250 y 59,740 respectivamente 3) Resolver el triángulo rectángulo en el que la hipotenusa (m) mide 20 cm y uno de sus ángulos agudos ( α ) mide 42º. • Para hallar el valor del cateto P buscamos la razón trigonométrica que relacione la hipotenusa con el cateto opuesto al ángulo que es dato. Elegimos el seno

• Para hallar el valor del cateto N buscamos la razón trigonométrica que relacione la hipotenusa con el cateto adyacente al ángulo que es dato. Elegimos el coseno

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• Para hallar el valor del ángulo β tenemos en cuenta que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, o sea que su suma es 90 . 0

Respuesta: Los catetos miden 13,38 cm y 14,86 cm respectivamente y el otro ángulo agudo mide 48

0

4) Resolver el triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos ( α ) mide 65º y el cateto opuesto ( p) mide 15 cm. • Para hallar el valor del cateto n buscamos una razón trigonométrica que relacione el cateto opuesto al ángulo (que es dato) con el cateto adyacente. Elegimos usar la tangente

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• Para hallar el valor de la hipotenusa m buscamos una razón trigonométrica que relacione la hipotenusa con el cateto opuesto al ángulo (que es dato) y el ángulo conocido. Utilizamos el seno

• Para hallar el valor del ángulo β tenemos en cuenta que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, o sea que su suma es 90 . 0

Respuesta: La hipotenusa mide 16,55 cm, el otro cateto mide 6,994 cm y el otro ángulo agudo mide 25 . 0

5) Resolver el triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos ( α ) mide 53º y el cateto adyacente (n) mide 22 cm. • Para hallar el valor del cateto P buscamos una razón trigonométrica del ángulo dado, que relacione el cateto opuesto al ángulo (que es dato) con el cateto adyacente.

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Utilizamos la tangente

• Para hallar el valor de la hipotenusa m buscamos una razón trigonométrica que relacione la hipotenusa con el cateto adyacente al ángulo (que es dato) y el ángulo conocido. Utilizamos el coseno

• Para hallar el valor del ángulo β tenemos en cuenta que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, o sea que su suma es 90 . 0

Respuesta: El otro cateto mide 29,2 cm, la hipotenusa mide 36,55 cm y el otro ángulo agudo mide 37

0

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6. PLANTEO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Las resoluciones de triángulos rectángulos vistas anteriormente nos servirán para el planteo y resolución de problemas en los que se puedan, de alguna manera, determinar triángulos rectángulos. Ejemplos: 1) Una torre de 25 metros de altura se localiza al borde de un río. El ángulo de elevación desde un observador ubicado en la orilla opuesta y el punto más alto de la torre es de 350. Determinar el ancho del río. Solución: Para resolver el problema lo primero que haremos es un dibujo que represente la situación planteada. Luego asignamos letras a la incógnita. x: es el ancho del río (medido en metros) Para hallar el valor de x elegimos una relación trigonométrica adecuada. En este caso usamos tangente.

Despejando x obtenemos:

Respuesta: El ancho del río es de 35,7 metros. 2) Encontrar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 33 metros de largo, si el ángulo que forma la visual dirigida desde la punta de la sombra hasta el punto más alto del edificio es de 71 . 0

Solución: Para resolver el problema lo primero que haremos es un dibujo que represente la situación planteada. Luego asignamos una letra a la incógnita. x: es la altura del edificio (medida en metros) Para hallar el valor de x elegimos una relación trigonométrica adecuada.

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En este caso usamos tangente.

Despejado x obtenemos:

Respuesta: La altura del edificio es de 95,84 metros 3) Una caja tiene una base cuadrada de 80 cm de lado y 1,20 m de altura. Encontrar la longitud que puede tener una varilla que se guarde en dicha caja y el ángulo que ésta determinaría con el piso. (la varilla se ubica siguiendo la diagonal de principal de la caja) Solución Realizamos un dibujo y asignamos letras a las variables p representa la longitud de la varilla (medida en cm) d representa la longitud de la diagonal de la base de la caja (medida en cm) α representa el ángulo que la varilla forma con el piso de la caja (medido en grados sexagesimales) Para hallar la longitud ( p ) de la varilla recurrimos al Teorema de Pitágoras. Primeramente calculamos la longitud de la diagonal de la base (d), que es un cuadrado. Sabiendo que y teniendo en cuenta que

Para hallar el ángulo (α) que la varilla determina con el piso utilizamos el triángulo rectángulo determinado por la varilla, la diagonal de la base de la caja y la altura de la misma. Elegimos una función trigonométrica adecuada para relacionar la altura de la caja con la longitud de la varilla.

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Respuesta: La longitud de la varilla es de 164,92 cm y el ángulo que determina con la base de la caja es de 46 57´ 18 ” 0

4) Dos observadores ubicados en sendas ciudades a ambos lados de una montaña de 400 metros de altura dirigen visuales a la cima de la misma. Si las visuales forman ángulos de 210 y 130 respectivamente, hallar la distancia entre las ciudades. (Considerar que las ciudades se encuentran en un mismo plano vertical que pasa por el eje de la montaña) Solución: Para resolver el problema lo primero que haremos es un dibujo que represente la situación planteada. Luego asignamos una letra a la incógnita. AB : distancia entre las dos ciudades (medida en metros) Para hallar la distancia AB entre las dos ciudades consideramos que esa distancia es la suma de las distancias a y b entre cada ciudad y el punto m. Calculamos cada una de esas distancias. Para encontrar el valor de a trabajamos con el triángulo rectángulo AMP, en el que conocemos α y h. Buscamos una razón trigonométrica que relacione a con el ángulo y la altura.

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Para encontrar el valor de b trabajamos con el triángulo rectángulo BMP, en el que conocemos β y h. Buscamos una razón trigonométrica que relacione b con el ángulo y la altura.

Respuesta: La distancia entre las dos ciudades es de 2774,63 metros aproximadamente.

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RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TRIANGULOS RECTANGULOS

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