Guia 6 Ciclo 4

CIALES HERRAMIENTA PEDAGOGICA DE APOYO PARA EL BACHILLERATO

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO No 6 AREA DE MATEMATICAS MATEMATICAS CICLO IV Elaborada por ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C

1

DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________ _________________________

CICLO

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

_____________________ FIRMA DEL PROFESOR

2

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma, x 2 + 2 xy + y 2 o también

x 2 − 2 xy + y 2 y tienen las siguientes características:  Dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos.  El término restante (positivo o negativo), debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos. Ejemplo: ¿Es 4w 6 − 10 w 3 y 2 + 9 y 4 un trinomio cuadrado perfecto? Solución:

4 w 6 ,9 y 4 2 w 3 ,3 y 2

son cuadrados perfectos y positivos son sus raíces

2(2 w 3 )(3 y 2 ) = 12w 3 y 2 que no corresponde al otro término (−10 w 3 y 2 ) , entonces

4 w 6 − 10w 3 y 2 + 9 y 4

no es un trinomio cuadrado perfecto.

Todo trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado. Los términos del binomio son las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos, separados por el mismo signo que contenga el término restante.

3

Observa que en los dos casos se ha verificado que se trata de un trinomio cuadrado perfecto. 1) Completa el término que falta para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto.

4

2) Identifica cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. factoriza aquellos que los sean.

5

Completa la siguiente tabla TIPO DE TRINOMIO

FACTORIZACIÓN

COMPROBACIÓN

6

x 2 + 9x + 8

x 2 − 13x + 36

9 x 2 + 3 x − 30

7

8 x 2 − 11x + 3

3x 2 − 2 x − 8

49 − 70 x + 25 x 2

8

16 x 2 + 72ax + 81a 2

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Producto (multiplicación) de potencias de igual base se suman los exponentes y se deja la misma base

a n × a m = a n+m EJEMPLOS:

35 × 3 2 = 35 + 2 = 3 7 2 4 × 2 3 × 2 2 = 2 4 + 3+ 2 = 2 9 3

2

 3  3  3   ×  =    4  4  4 5 4 × 5 = 5 4+1 = 55

3+ 2

3 =  4

5

34 × 32 × 2 9 × 2 = 3 4+ 2 × 2 9+1 = 36 × 210 Escribir con un solo exponente los siguientes productos. 1)

43 × 4 4 × 48 =

2)

613 × 6 4 × 618 =

3)

10 3 × 1014 × 10 2 × 1015 =

9

4)

( − 2) 3 × ( − 2) 4 =

5)

( − 8) 3 × ( − 8) 14 × ( − 8) =

6)

2 2 2   ×  ×  = 5 5 5

7)

 1  1 −  ×−  =  2  2

8)

b3 × b 4 × b8 =

9)

( − c) 3 × ( − c) 9 =

7

4

6

4

11

8

a a 10)   ×   = b b El cociente (división) de potencias de igual base se deja la misma base y se restan los exponentes.

an = a n−m m a EJEMPLOS:

512 = 512−5 = 5 7 5 5

( − 3) 8 = ( − 3) 8 − 5 = ( − 3) 3 ( − 3) 5

96 = 9 6−8 = 9 − 2 8 9 14 1 2 = 1 14−18 = 1 18 2 2 1 2

( ) ( ) ( )

( )

−4

Escribir con un solo exponente los siguientes cocientes.

10

915 = 910

11)

12)

12 5 = 12

17)

(− 2 3 ) (− 2 3 )

18)

r9 = r2

19)

m16 = m 22

9

13)

6 = 612

14)

( − 39) ( − 39) 10

25

9 ( − 4) 15) ( − 4) 10

16)

( 13 ) ( 13 )

=

65 42

=

=

6 4

=

La potencia de la potencia de un número tiene como base el número dado y como exponente el producto de los exponentes

(a )

n m

EJEMPLOS

(2 )

3 5

=2

[( − 4 ) ]

4 −2

3×5

[(5 ) ]

4 2 3

=2

15

= ( − 4)

4×−2

= a n×m

= ( − 4)

= 52×3×4 = 2 24

−8

Escribir con un solo exponente.

11

(15 ) 21) ( 6 ) 20)

4 10

14 11

22) 23) 24) 25)

[ ]

=

4 −2

=

−11 −3

(14 )

24 110

(p ) = 28) [( f )] 27)

(( − 3) ) (( − 1) )

=

−12 4 1

4 6

6 44 5

=

10

  1 4  29)     =  3    

=

[(( − 8) ) ]

5

 2 6 4 = 26)  ( 3 )   

=

=

9

 2 4  7    30)      =   5     

La potencia de un producto es la potencia de cada uno de sus factores

( a × b) m = a m × bm

EJEMPLOS:

La potencia de un cociente es la potencia de cada uno de sus términos m

am a   = m b b

(3

2

)

5

× 5 × 4 = 310 × 55 × 4 5

(− 2 × 4

3

)

×3

−3

= ( − 2 ) × 4 −9 × 3−3 −3

12

EJEMPLOS

( − 2) −2   = 73  7 

6

3

46 4   = 6 5 5

3

4

 25  2 20  2  = 8 3 3 

Escribe como un cociente o producto de términos.

(3 × 4 × 9 ) = 32) ( − 4 × −2 × 8) = 2 5

4

31)

8

3

5

3 4 9  33)  × ×  =  5 7 11  34)

( m × n × 2) 7 = 7

 72  35)   15  =   11

 −5 36)   = −4

 ( − 2) 2   37)   73   

−6

= Todo número elevado a la potencia cero (0) es igual a 1.

a0 = 1

13

EJEMPLOS:

( 12)

50 = 1

0

=1

( − 3) 0

=1

[( 2 ) ]

5 0

=1

Escribe con un solo exponente

38)

(6 )

=

39)

(10 )

=

40)

(n )

=

41)

(x )

=

42)

(5

43)

[(7 ×7

44)

(12

45)

325 = 326

3 4

9 6

2 3

0 8

× 54

2

12

46) 95

)

3

=

2

×7 3

× 1212

)

12

)

4

]

5

=

=

×99 ×9 =

47)

48 × 4 6 = 49

48)

(5

4

×55 ) = 2

14

Calcula el valor de cada expresión

49)

215 × 2 29 = 2 38

50)

9 8 × 913 × 9 36 = 9 43 × 911

(11 ) 51) (11 )

6 8

5 9

=

(8 ) × ( 8 ) 52) (8 ) × (8 ) 9 7

12 6

21 3

4 18

53) 13

=

+ 52 =

54)

23 ×90 =

55)

24 + 2 ×32 =

(

)

RADICACIÓN n

La raíz

n

de

a =b

si y solo si

a es igual a b si y sólo si b

bn = a

elevado al exponente

n es igual a a

La radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación, donde se calcula la base. 2

9 =3

porque

32 = 9

Se lee: raíz cuadrada de 9, igual a “3”. Significa que el número multiplicado por si mismo da 9.

15

Signo radical

Indice ←  2

81 = 9  → raíz Cantidad sub-radical

Escribe como se lee cada una de las siguientes expresiones.

1) 2

16 = 4

2) 3

512 = 8

3) 5

243 = 3

4)

n

w =1

Escribe en forma de radicación cada una de las siguientes potenciaciones

5)

15 2 = 225

7)

13 3 = 2197

6)

10 5 = 100000

8)

2 7 = 128

Encuentra la raíz e identifica los términos. 9)

2

36 = ________; subradical _________; índice _________; raíz _________

10)

2

100 = ________; subradical _________; índice _________; raíz _________

11)

2

400 = ________; subradical _________; índice _________; raíz _________

12)

2

216 = ________; subradical _________; índice _________; raíz _________

13)

2

144 = ________; subradical _________; índice _________; raíz _________

16

Encuentra el resultado de las siguientes raíces y justifica.

14) 2

16 =

Porque

18) 6

64 =

Porque

15) 2

49 =

Porque

19) 3

125 =

Porque

16) 4

81 =

Porque

20) 2

625 =

Porque

17) 6

729 =

Porque

21) 5

1024 =

Porque

22) Encuentra el termino que falta para que la expresión sea verdadera

=2

23)

5

24)



25) 2

81 = 3

26)

3

27)

2

= 10 900 = ____

49 = _____ PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

Para cada una de las siguientes propiedades a, b, n y m son números naturales o cabales.

Propiedades y definición

Ejemplo

Halle las raíces aplicando las propiedades de la radicación: 28) 5

16 5 =

33)

144 ×169 =

29) 5

32 × 32 × 32 =

34) 5

243 × 243 =

30) 3

1000 × 27 =

35) 3

64 × 27 =

31) 9

2700 9 =

36) 3

343 × 8 =

32)

16 ×9 =

17

Encuentra las raíces utilizando las propiedades de la radicación y la potenciación. Observa el ejemplo anterior 37) 5

3 20 × 2 5

38) 7

614 × 321

39) 2

36 × 4 4 × 2 2

40) 8

516 × 4 24

41) 3

39 × 412

42) 5

6 5 × 315

43)

49 25 × 25 9 INVESTIGACION GRAFICA ALQUILER DE BICICLETAS Los operadores turísticos decidieron alquilar para sus clientes bicicletas antes que ellos debieran traer sus propias bicicletas. Pidieron a dos tiendas de bicicletas las estimaciones de las tarifas de alquiler. Rocky's Cycle envió una tabla de tarifas de alquiler semanal para varios números de bicicletas de segunda mano. Número de bicicletas Tarifa de alquiler

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

$400

$535

$655

$770

$875

$975

$1070

$1140

$1180

$1200

Adrian´s Bike Shop envió un gráfico de la tasa de alquiler semanal. 18

1. En la grafica de Adrian´s Bike Shop, ¿se deben conectar los puntos con una línea? Explica. 2. ¿Cuánto cree que necesita cada compañía para alquilar 32 bicicletas? 3. Reconociendo y usando patrones para hacer predicciones son importantes habilidades matemáticas. Busque patrones en la tabla y gráfico y descríbalos en palabras. 4. Basándose en los patrones que encontró en el punto anterior, ¿cómo puede utilizarlos para encontrar los valores que no se incluyen en la tabla y en la gráfica?

BUSCANDO CLIENTES Sara, Liz, Celia, Marcos y Tomas han planeado un tour. Para ayudar a establecer un precio, los socios hicieron una investigación de mercadeo. Obtuvieron una lista de personas que ya habían tomado el servicio y le pidieron a 100 de ellas que les dijeran que cantidad estarían dispuestos a pagar por el tour. Los resultados se muestran en la siguiente tabla Precio tour 150 200 250 300 350 400 450 500 550

Numero de personas que pagarían por ese tour 76 74 71 65 59 49 38 26 14 19

600

0

5. Si se va a realizar una grafica de los datos, ¿Qué variable se colocaría en cada eje y por qué? 6. Realice una grafica de los datos. 7. Basado en su grafica, ¿qué precio cree usted que los operadores turísticos deben cobrar? Explica tu razonamiento

PAGAR FACTURAS Y DESCRIBIR LOS BENEFICIOS Sara estaba nerviosa acerca de los socios que utilizan sus estimaciones aproximadas para tomar decisiones importantes. Ella decide examinar más detenidamente en la empresa los costos y el consiguiente beneficio. Se encontró que, aunque el viaje se pondrá en $ 350 de cada ciclista, habría gastos de funcionamiento de $30 para cada persona que alquile una bicicleta, $125 para cada persona del campo de la alimentación y los gastos, y de $700 por alquiler de la van. Sara puso su costo estimado y los ingresos, en una tabla de datos.

Número de

Ingresos

Alquiler

Alimentación y

Alquiler Van

clientes 1

$350

bicicleta $30

costos $125

$700

2

700

60

250

700

3 4 5 6 7 8 9 10

20

8. Complete la información de la tabla. 9. ¿Cómo cambia la columna de ingresos a medida que aumenta el número de clientes? Explique cómo puedes usar esta relación para calcular los ingresos para cualquier número de clientes. 10. Adicione y complete una columna para “Costo total”. ¿De qué manera cambia el costo total a medida que el número de clientes aumenta? Describa cómo se puede calcular el costo total de cualquier número de clientes 11. Adicione y complete una columna para “ganancias” (costo total- ingreso). ¿Cuál sería la ganancia obtenida de un viaje con 5 clientes? con 10 clientes? con 25 clientes? 12. Describa otros patrones que se puedan observar en la tabla 13. ¿Cuál es el menor número de clientes que se deben tener para obtener ganancias? 14. Grafique en un mismo plano coordenado el costo total y las ganancias y explique los beneficios de esta.

21