Guia 3 A Ciclo V

CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO PROGRAMA SEMIPRESENCIAL

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO MATEMATICAS CICLO V TERCERA SESION Elaborada por ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C 1

DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________ _________________________

CICLO

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

_____________________ FIRMA DEL PROFESOR

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8. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS EN GENERAL Anteriormente utilizamos las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos, conociendo distintos datos. También planteamos y resolvimos algunos problemas en los que se podía utilizar triángulos rectángulos. Para resolver otro tipo de triángulos que no necesariamente sean rectángulos, recurriremos a dos teoremas que nos permiten relacionar lados y ángulos: el Teorema del Seno y el Teorema del Coseno. 8.1. Teorema del seno El teorema del Seno afirma que: “en todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

Para demostrarlo trazamos una altura correspondiente a cualquiera de los lados. En este caso elegimos trazar la correspondiente a la base c, que indicaremos hc. Esta altura divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos: BMC y AMC.

razón de

Considerando la seno en cada uno ellos, obtenemos:

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8.2. TEOREMA DEL COSENO El Teorema del Coseno afirma que: “en todo triángulo se cumple que el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.

Para demostrarlo introduciremos un sistema de ejes cartesianos ortogonales tal como se muestra en el dibujo. Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos, calculamos la distancia entre los vértices a y del triángulo (o sea la longitud del lado c).

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De manera análoga se completa la demostración. En general podemos usar el Teorema del Seno para resolver triángulos para los cuales conocemos: a) dos ángulos y cualquiera de los lados b) dos lados y un ángulo opuesto a alguno de estos lados. En general podemos usar el Teorema del Coseno para resolver triángulos para los cuales conocemos: c) tres lados, d) dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Puede ocurrir que, cuando se nos dan como dato dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, la situación no tenga solución, que la solución sea única o que tenga dos soluciones posibles. Supongamos conocer los lados b y c del triángulo, y el ángulo con vértice en b. Dibujamos el ángulo con vértice en B, luego marcamos el lado c para localizar los vértices A y B. El tercer vértice se localiza en la base, dibujando el arco de círculo de radio b, con centro en el vértice A. Hay cuatro casos posibles: 1) el arco no interseca la base y no se forma triángulo, 2) el arco interseca la base en dos puntos distintos y se forman dos triángulos, 3) el arco interseca la base en un punto y se forma un triángulo, 4) el arco es tangente a la base y se forma un triángulo rectángulo.

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1) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 5 cm y c = 6 cm, y el ángulo opuesto al lado b, B = 52 . 0

2) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 4 cm y c = 3 cm, y el ángulo opuesto al lado b, B = 79 . 0

3) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 9 cm y c = 5 cm, y el ángulo opuesto al lado c, C = 45 0

4) Resolver el triángulo del que se conocen dos de ángulos: B = 75 y C = 45 cm, y el lado b = 8 cm. 5) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 10 cm y c = 12 cm, y el ángulo comprendido entre ellos mide 32 0

0

0

Solución En todos los casos haremos una figura de análisis, para marcar en ella los datos y las incógnitas. Esta figura no está dibujada a escala. Se redondearán los valores obtenidos.

1) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 5 cm y c = 6 cm, y el ángulo opuesto al lado b, B = 52 . 0

Aplicamos el Teorema del Seno para hallar el valor del ángulo con vértice en C.

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Caso 2 Para el triángulo del Caso 1 hallamos el resto de los valores. Para hallar el valor del ángulo a1 tenemos en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 0

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Para el triángulo del Caso 2 hallamos el resto de los valores. Para hallar el valor del ángulo a1 tenemos en cuenta que la suma de los ángulos interiores de

un triángulo es 180

0

Respuestas: Caso 1: Hallamos los valores de los ángulos A 1 ˆ = 57 , Cˆ = 710 y del lado a = 5,32 cm Caso 2: Hallamos los valores de los ángulos A 1 ˆ = 19 , Cˆ = 1090 y del lado a = 2,066 cm 2) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 4 cm y c = 3 cm, y el ángulo opuesto al lado b, B = 79 . 0

0

0

Para hallar el valor del ángulo con vértice en C usamos el

Hay dos ángulos posibles cuyo seno vale 0,73622 (uno agudo y otro obtuso). Dichos ángulos son: Cˆ 1 = 47, 4 y C 2 = 132,6 . Considerando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 1800, al tomar el valor 0

0

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correspondiente al ángulo c2 y sumarle 79 para intentar hallar el valor del ángulo con vértice en a, vemos que dicha suma supera los 180 , por lo que este ángulo debe ser descartado. Tomamos sólo el valor del ángulo C 1 = 47, . Para hallar el valor del lado c, utilizamos el Teorema del Seno: Respuestas: 0

0

0

Los ángulos buscados miden respectivamente C ˆ = 47,4 y Aˆ = 53,6 , el lado c mide: 3 cm aproximadamente. 2) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 9 cm y c = 5 cm, y el ángulo opuesto al lado c, Cˆ = 45 . 0

0

0

Utilizamos el Teorema del Seno para intentar calcular el valor del ángulo con vértice en b.

Como el valor máximo que puede tomar el seno de un ángulo es 1, este problema no tiene solución.

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En realidad, la longitud del lado c no es la adecuada como para “alcanzar” la base y cerrar el triángulo. (Recordemos que la figura es sólo de análisis). 4) Resolver el triángulo del que se conocen dos de ángulos: Bˆ = 75 y Cˆ = 45 cm, y el lado b = 8 cm. Utilizaremos el Teorema del Seno para hallar el valor del lado C. 0

0

Para hallar el ángulo con vértice en a, tenemos en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 . Luego: A ˆ = 180 - ( b + c ) sustituyendo: A ˆ = 180 - ( 75 + 45 ) A ˆ = 60 Para encontrar el valor del lado a, usamos nuevamente el Teorema del Seno: 0

0

0

0

0

0

Respuestas: Los lados miden, respectivamente, A =7,17 cm ; C = 5,8564 cm , y el ángulo con vértice en a mide 60 . 0

5) Resolver el triángulo del que se conocen dos de sus lados: b = 10 cm y c = 12 cm, y el ángulo comprendido entre ellos mide 320. Usaremos el Teorema del Coseno para calcular el valor de

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Podemos usar el Teorema del Seno para hallar la medida del ángulo que tiene vértice en b.

Como sabemos que un triángulo pude tener como máximo un ángulo obtuso y que, si hay uno, éste debe ser el opuesto al lado de mayor longitud, los posibles ángulos agudos del triángulo dado serán: Respuestas: Los valores encontrados son: a = 6,36 cm; Bˆ = 56,43 y Cˆ = 91,59 0

0

8.3. PLANTEO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Los dos teoremas vistos antes nos servirán para el planteo y resolución de problemas en los que se puedan, de alguna manera, determinar triángulos. Ejemplos: 1) Los lados de un paralelogramo miden 23 cm y 36 cm respectivamente y un ángulo comprendido entre ellos mide 112 . Encontrar: a) el valor del ángulo agudo; b) la medida de las diagonales. 0

Identificamos las incógnitas y les asignamos una letra:

Para encontrar el valor del ángulo α tenemos en cuenta que la suma de los ángulos interiores un cuadrilátero es 360 . Respuesta: 0

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El ángulo agudo mide 68 y las diagonales miden 49,45cm y 34,7 cm respectivamente. 0

3) Desde un punto ubicado a 1,4 km de una orilla de un lago y a 2,5 km de la otra orilla se dirigen sendas visuales a ambas orillas. Si el ángulo determinado entre las dos visuales es de 58 , encontrar la longitud del lago. 0

Identificamos la incógnita y le asignamos una letra: d : longitud del lago (en km) Conocemos: V1 : distancia del punto P a una orilla del lago (en km) V2 : distancia del punto P a la otra orilla del lago (en km)

3) Cuál será la altura de una torre si el ángulo de elevación disminuye de 52 a 20 cuando un observador que está ubicado a una cierta distancia del pie de la torre se aleja 95 metros de la base. 0

0

Asignamos letra a la incógnita: h: altura de la torre (medida en metros) Conocemos: α = 52 (ángulo de elevación) β = 20 (ángulo de elevación) p = 95 m (distancia entre las dos posiciones del observador) 0

0

Para hallar la longitud del lado m, calcularemos

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previamente la medida de los ángulos γ y δ . Para encontrar la medida de γ consideramos que es el adyacente a α, que conocemos. Como los ángulos adyacentes son suplementarios será: γ = 180 - α 0

reemplazando: γ = 180 – 520 0

luego: γ = 128

0

Para hallar el valor del ángulo δ consideramos que es uno de los ángulos agudos de un triángulo, por lo tanto: δ = 180 - (γ + β) 0

reemplazando: δ = 180 - (1280 + 200) 0

luego: δ = 32

0

Conociendo los ángulos δ y β, y la medida del lado L, usaremos el Teorema del Seno para calcular la longitud del lado M:

Una vez hallado el valor de m, lo usaremos para encontrar el valor de h, para lo cual utilizaremos una razón trigonométrica adecuada, en este caso el seno del ángulo α.

Respuesta: La altura de la torre es de 48,32 metros.

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SOLUCIONE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS QUE SE AJUSTAN A LOS TEOREMAS DE SENO Y COSENO. 9

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