Guia 2 A Ciclo V_1

CURSOS BASICOS PARA EL BACHILLERATO PROGRAMA SEMIPRESENCIAL

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO MATEMATICAS CICLO V SEGUNDA SESION Elaborada por ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C

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DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________ _________________________

CICLO

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

_____________________ FIRMA DEL PROFESOR

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TRIGONOMETRÍA 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA OTROS ÁNGULOS Hasta ahora hemos definido las razones trigonométricas para los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Como muchas de las aplicaciones de la trigonometría utilizan ángulos que no son agudos, extenderemos la definición de las seis razones trigonométricas a los ángulos en general. Consideraremos un ángulo α en posición normal (centrado en el origen, es decir con el vértice en el punto (0,0) de un sistema de ejes cartesianos ortogonales). En una primera instancia usaremos un ángulo agudo y tomaremos un punto cualquiera P (x , y) en el lado terminal de α. e punto se ubica en el primer cuadrante Si llamamos r a la distancia OP, aplicando el Teorema de Pitágoras: donde y es la ordenada y x es la abscisa del punto P

Recordando las definiciones dadas en triángulos rectángulos, tenemos que:

Estas definiciones se pueden extender a los ángulos en los otros cuadrantes, considerando los triángulos rectángulos indicados en cada figura.

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Los valores de las seis razones trigonométricas no dependen del punto P(x,y) que se elija en el lado terminal de α, sino del ángulo α elegido. Con frecuencia usaremos el sistema de coordenadas de tal modo que el ángulo ubicado en posición normal, tenga su vértice en el centro de una circunferencia de radio unitario (a la que llamaremos circunferencia trigonométrica). El punto P(x,y) es el punto en el que el lado terminal del ángulo interseca a la circunferencia.

De acuerdo a esto, las relaciones ( I ) se transforman en:

O sea que, en la circunferencia trigonométrica, la longitud del segmento correspondiente a la ordenada del punto P determina el valor del seno del ángulo centrado en el origen y la longitud del segmento correspondiente a la abscisa del punto P determina el valor del coseno de dicho ángulo.

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En la circunferencia trigonométrica de la derecha se marcaron las líneas trigonométricas correspondientes al seno, coseno y tangente de un ángulo del primer cuadrante.

En la circunferencia de abajo se marcó la línea Trigonométrica correspondiente a la tangente de un ángulo del primer cuadrante.

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Para los ángulos en cada uno de los cuatro cuadrantes, las líneas trigonométricas correspondientes al seno, coseno y tangente, son las siguientes.

A partir de las relaciones indicadas en ( II ), se pueden establecer otras relaciones entre las funciones trigonométricas del mismo ángulo, que son de uso frecuente.

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Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo determinado en la circunferencia trigonométrica, en el que los catetos respectivamente son la ordenada (y) y la abscisa (x) del punto P, obtenemos la relación : x2 + y2 = r2 . Por tratarse de la circunferencia trigonométrica (radio unitario), y sabiendo que sen α = y; y que cos α = x, si sustituimos en la relación anterior obtenemos:

Usando estas identidades podremos encontrar los valores de las cinco funciones trigonométricas de cualquier ángulo, conociendo una de ellas. Ejemplo: Si α es un ángulo agudo, encontrar los valores de las restantes razones sabiendo que

Utilizando la relación Pitagórica, encontramos el valor de sen

α.

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7. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS De acuerdo al cuadrante en el cual se encuentre el lado terminal de un ángulo α, una o ambas coordenadas del punto P(x,y) pueden ser negativas, luego cada una de las seis razones trigonométricas de α podrá ser positiva o negativa. es siempre positivo, el signo de cada razón dependerá exclusivamente del signo de la ordenada y de la abscisa de P. En el cuadro siguiente se resumen los signos de cada una de las razones.

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Conociendo el valor de una razón trigonométrica de un ángulo en cualquiera de los cuatro cuadrantes, es posible encontrar los valores de las restantes. Ejemplo: 1) Encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas restantes, sabiendo que

Usando la Relación Pitagórica hallamos el valor del seno del ángulo (seleccionando el signo negativo ya que el ángulo pertenece al tercer cuadrante):

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1) Encontrar los valores exactos de las razones trigonométricas restantes, sabiendo que tan α = -2 y sec α < 0 Solución:

Como el ángulo pertenece al segundo cuadrante, cada valor encontrado llevará el signo correspondiente al mismo.

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Así como hemos encontrado los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos “característicos” (300, 450, 600), podremos utilizar esos valores para hallar los correspondientes a otros ángulos no agudos (en cualquiera de los otros cuadrantes), siempre que los valores de las razones de esos ángulos sean (en valor absoluto) iguales a las de los ángulos conocidos. Para realizar esto bastará tomar un adecuado “ángulo de referencia” y recordar que: el valor absoluto de cualquier razón trigonométrica de un ángulo es igual al valor de esa razón para el ángulo de referencia ´. Indicamos en la circunferencia trigonométrica el ángulo de referencia usado en cada caso.

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