Guia 3

HERRAMIENTA PEDAGOGICA DE APOYO PARA EL BACHILLERATO

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO No 3 AREA DE MATEMATICAS MATEMATICAS CICLO III Elaborada por ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C

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DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________ _________________________

CICLO

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

_____________________ FIRMA DEL PROFESOR

4

NÚMEROS RACIONALES: Q

3.1. Fracciones

La idea de fracción surge de la operación de fraccionar o dividir un objeto, que puede ser real (como una manzana) o ideal (como un segmento de recta). Si se toma un objeto (real o ideal), considerado como unidad, se lo divide en n partes iguales (o equivalentes), y se toman m de esas partes, se obtiene un nuevo objeto que se simboliza por medio de la fracción m/n, o bien . Por ejemplo, si se divide el objeto unidad en cinco partes equivalentes y se toman dos de ellas, se obtiene un objeto que se simboliza por medio de las palabras “dos quintos”, o bien por los símbolos 2/5 o . Los símbolos del tipo m/n, como 2/5, se llaman fracciones, y refiriéndonos a la notación general m/n, el número natural m se llama numerador y el número natural n se llama denominador de la fracción. Entonces: el denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad, y el numerador indica cuántas se han tomado. Si m < n, el objeto representado por m/n es más pequeño que el objeto tomado como unidad, lo cual se expresa mediante la fórmula < 1. Y si m = n esto quiere decir que se ha dividido la unidad en n partes y se han tomado todas ellas, con lo cual volvemos a obtener el mismo objeto unidad. Entonces:

. Por ejemplo,

.

Vamos a examinar dos casos particulares muy importantes: el denominador de una fracción ¿puede ser 1 o 0? Veamos: Denominador 1, o sea m/1. Con un poco de esfuerzo podemos aceptar que “dividir a la unidad en una sola parte” es lo mismo que no dividirla, es decir que en este caso la parte es toda la unidad. Entonces, tomar m de esas partes equivale a tomar m unidades. Luego, m/1 = m. Por ejemplo, 5/1 = 5. O sea que las fracciones de denominador 1 representan a un número natural, a saber, el número que figura como numerador. Luego:

5

Si m es un número natural, la fracción m/1 representa a ese número natural, es decir:

.

¿Denominador 0? Si en una pretendida fracción m/n el denominador n fuera 0, ello significaría que se ha pretendido dividir al objeto unidad en 0 partes iguales; pero esto carece de sentido, por lo cual también carece de sentido la notación m/0. Luego:

Las fracciones tienen siempre denominador distinto de 0.

Hemos visto casos en que las fracciones son menores que 1, como 2/5, o iguales a 1, como 5/5. También hemos visto que pueden ser mayores que 1 si el numerador es mayor que 1 y el denominador es 1, como en el caso de 5/1. Pero ¿pueden ser mayores que 1 con denominador también mayor que 1? Sí, pero para obtenerlas necesitamos partir de más de un objeto unidad. Por ejemplo, si nos dan dos objetos tomados como unidades (dos manzanas o dos segmentos, etc.) y dividimos a cada uno de ellos en 5 partes iguales, tenemos a nuestra disposición 10 de estas partes. Si tomamos 8 de ellas obtenemos un nuevo objeto que puede ser representado por la fracción 8/5 u . Evidentemente, para formar estos ocho quintos hemos debido tomar la totalidad de los quintos de una de las unidades y tres quintos de la otra. Luego, es natural considerar que 8/5 es mayor que 1 y menor que 2, o sea:

. En general, si en la fracción m/n el numerador es mayor que el denominador, siendo ambos números naturales, la fracción es mayor que 1. O sea:

6

.

Fracciones aparentes y puras. Acabamos de ver que, para obtener una representación de la fracción 8/5 es necesario disponer de dos unidades, dividirlas en cinco quintos a cada una y tomar los cinco quintos de una de ellas y tres quintos de la otra. Pero si tomáramos el total de los diez quintos reencontraríamos las dos unidades de partida, lo cual nos permite escribir 10/5 = 2. Se comprende a partir de este ejemplo que, cada vez que el numerador es un múltiplo del denominador, siendo ambos naturales y el denominador no nulo, la fracción es igual a un número natural, que es el cociente entre numerador y denominador. Por ejemplo:

Definición. Las fracciones entre números naturales cuyo numerador es múltiplo de su denominador se llaman fracciones aparentes, y las fracciones no aparentes se llaman fracciones puras.

Definición de igualdad de fracciones. Todas las fracciones entre números naturales están sometidas a la convención según la cual si m.q = n.p. O sea, las fracciones m/n y p/q son iguales si los productos cruzados son iguales, o sea si m.q = n.p. (Se sobrentiende, por la forma habitual en que se interpretan las definiciones, que si se verifica una cualquiera de estas dos igualdades se cumple también la otra, o sea: si los productos cruzados son iguales entonces las fracciones dadas son iguales, y si las fracciones son iguales entonces los productos cruzados son iguales).

Ejercicio 25. Colocar el signo igual entre dos fracciones en los casos en que corresponda: (a) 4/14 6/21; (b) 1/5 3/10; (c) 8/3 24/6; (d) 28/21 20/15; (e) 14/4 7/3; (f) 0/2 0/7

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Ejercicio 26. Verificar mediante ejemplos que, si n y q son no nulos y además existe un número natural k tal que, o bien m = k.p y n = k.q, o bien p = k.m y q = k.n, entonces se cumple la condición de igualdad para las fracciones m/n y p/q.

Ejercicio 27. ¿Vale la proposición recíproca de la anterior? O sea, ¿es cierto que si se cumple la condición de igualdad entre m/n y p/q entonces existe un número natural k tal que, o bien m = k.p y n = k.q, o bien p = k.m y q = k.n?

La palabra “razón” suele utilizarse en lugar de “cociente”. Se dice, por ejemplo, que 2 es la razón entre 10 y 5. Siguiendo análoga costumbre, las fracciones suelen ser llamadas “razones”. Por ejemplo, se dice que la fracción 7/2 es la razón entre 7 y 2.

Fracciones (o razones) negativas. Las fracciones que hemos visto hasta aquí (tanto las aparentes como las puras) son consideradas positivas, porque en ellas intervienen solamente números naturales, que son enteros positivos (incluido el 0, que puede aparecer solamente como numerador). Pero ahora introduciremos las fracciones entre números enteros cualesquiera (positivos o negativos, salvo 0 como denominador), adoptando la misma definición de igualdad que usamos antes para el caso de razones entre números naturales.

Definición. Si m, n, p, q, con n y q no nulos, son números enteros (positivos o negativos) se acepta que las fracciones (o razones) m/n y p/q son iguales si y solamente si se cumple m.q = n.p. (Obviamente, cada uno de los números m, n, p, q, es considerado con su propio signo). Por analogía con lo que se dijo para las fracciones entre números naturales, también vale para las fracciones entre enteros la regla de los productos cruzados. Todo lo dicho más arriba acerca de denominador 1, imposibilidad de denominador 0, y fracciones puras y aparentes se extiende por analogía a fracciones entre enteros cualesquiera. Así, pues, -10/2 es una fracción aparente pues -10 es múltiplo de 2 en Z. En cambio, 3/-2 es fracción pura porque 3 no es múltiplo de -2 en Z. Toda fracción aparente se considera igual al cociente entre su numerador y su denominador, que es un número entero. Por ejemplo:

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3.2. Introducción de los números racionales Recordemos ahora que el adjetivo derivado del sustantivo “razón” es “racional”. Esto justifica la siguiente denominación. Definición de número racional. Llamamos así a cualquier fracción entre números enteros, estableciendo (según ya se ha visto) que la igualdad m/n = p/q es equivalente a la igualdad m.q = n.p. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. (Recordemos que en toda fracción el denominador debe ser distinto de cero, lo cual se traslada entonces a los números racionales). Como las palabras “razón” y “racional” tienen también otra acepción, vinculada con la capacidad para razonar o para hacer razonamientos, se podría sospechar que los números racionales tienen algo que ver con el razonamiento o con lo razonable, pero no es así. En el caso de estos números, las palabras “razón” y “racional” se refieren simplemente a cocientes o fracciones. Signos. Lo visto acerca de los signos en la multiplicación y en la división de enteros se adopta por definición para los números racionales. En consecuencia, se tiene lo siguiente, para números enteros m y n, con n 0: Si m y n tienen signos iguales, se dice que el racional m/n es positivo. Si m y n tienen signos distintos, se dice que el racional m/n es negativo. El signo correspondiente a un racional se antepone a la raya de fracción y, como en el caso de los enteros, el signo + que indica positividad se suele omitir:

Por lo que se vio al final de 3.1. se tiene que todos los enteros son racionales, pues se pueden escribir como fracción aparente con denominador 1. Luego: Q y Z

Q.

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Teorema. Un número racional no altera si se multiplican o se dividen su numerador y su denominador por un mismo número entero no nulo.

En efecto: si se parte del racional

y se multiplican numerador y denominador por el

entero p, no nulo, se obtiene el número racional . Para demostrar que el número primitivamente dado, m/n, es igual al número obtenido, (m.p)/(n.p), se forman los productos cruzados m.n.p y n.m.p, que son obviamente iguales. Luego, es válida la igualdad que se quería demostrar, o sea:

=

.

Ejemplos: De acuerdo con el enunciado del teorema, vale una propiedad análoga para la división, o sea: si m y n son divisibles por p (no nulo), se tiene que el número racional m/n es igual al número racional (m/p)/(n/p). La demostración se obtiene efectuando los productos cruzados, que son: . Como estos productos cruzados son iguales, queda demostrado lo que deseábamos, o sea:

Ésta es la base de la simplificación de fracciones. Por ejemplo, en la fracción se observa que numerador y denominador son divisibles por el entero 2; entonces, efectuando la división de ambos por dicho entero, se obtiene la fracción simplificada: representa al mismo número racional:

=

, que

.

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3.3. Suma y resta de racionales La idea fundamental es la siguiente: si los números racionales dados tienen el mismo denominador, o sea denominador común, se suman o se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador. Ejemplos:

¿Por qué basta con sumar los numeradores y colocar el mismo denominador? Porque, al tener denominador común, como por ejemplo 3/2 y 7/2, ambos denominadores indican partes de la unidad que se consideran equivalentes entre sí, en este caso se trata de medios: 3 medios y 7 medios. Entonces esas partes de la unidad, en nuestro caso los medios, funcionan como si fueran objetos equivalentes, como 3 manzanas y 7 manzanas o 3 segmentos y 7 segmentos. Luego, es natural sumarlos como se suman las manzanas y los segmentos: 3 medios más 7 medios es igual a 10 medios. Esto no se puede hacer si los denominadores son distintos, como en el caso de 3/2 y 5/3: los medios y los tercios son “cosas” diferentes, como las manzanas y las peras. Lo que se hace entonces es reducir las fracciones dadas a fracciones que tengan el mismo denominador, o denominador común. Una manera sencilla de obtener un denominador común consiste en multiplicar entre sí los denominadores dados, en nuestro caso 2.3 = 6. Ahora bien: si en la fracción 3/2 queremos reemplazar el denominador 2 por el denominador 6, debemos multiplicar el numerador 3 por el mismo número 3, aprovechando el teorema visto en 3.2., según el cual si se multiplican el numerador y el denominador por

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un mismo número entero no nulo el número racional no altera. Entonces, multiplicando numerador y denominador por 3 se obtiene:

; el otro número racional dado es 5/3 y el pretendido denominador común es 6; para lograrlo hay que multiplicar el denominador 3 por 2, pero entonces, para que el número racional no altere, debemos multiplicar el numerador por el mismo número 2, luego:

; los números racionales dados pueden sustituirse por 9/6 y 10/6, que tienen denominador común y se pueden sumar en forma directa, dando por resultado 19/6. Todos los pasos que hemos explicado se representan simbólicamente por la siguiente sucesión de igualdades:

. Mínimo común denominador Acabamos de ver que para sumar o restar números racionales de distinto denominador lo primero que hay que hacer es reducirlos a común denominador. Se comprende de inmediato que, para ello, lo más simple es hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual es llamado mínimo común denominador. Por ejemplo, si nos proponen la suma algebraica de racionales:

, hallamos el m.c.m. de los denominadores, que es 36, el cual es entonces el mínimo común denominador. Ahora bien: si deseamos reemplazar a 5/6 por una fracción de denominador 36, observemos que 36:6 = 6. Luego, estamos deseando multiplicar al denominador de la primera fracción por 6; para que dicha fracción no altere debemos multiplicar al numerador 5 por el mismo número, o sea por 6, lo cual da 30. Luego, la primera fracción puede ser reemplazada por 30/36. El denominador de la segunda fracción es 9 y tenemos que 36:9 = 4. Entonces, si queremos reemplazar a la segunda fracción por otra igual a ella pero con denominador 36, debemos multiplicar al denominador 9 por 4; y para que la fracción no altere debemos multiplicar también al numerador por 4, o sea que obtenemos -4.4 = -16. La segunda fracción debe entonces ser reemplazada por -16/36. El denominador de la tercera

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es -4 y 36:(-4) = -9. Luego, si reemplazamos -4 por 36 estamos multiplicando al denominador de la tercera fracción por -9. Para que la fracción no altere debemos también multiplicar por -9 al numerador y obtenemos 3.(-9) = -27. Entonces la tercera fracción se reemplaza por -27/36. Luego, la suma algebraica propuesta se reduce a la siguiente:

, (*) donde todas tienen el mismo denominador, y en consecuencia se opera con ellas colocando el mismo denominador común y efectuando la correspondiente suma algebraica de los numeradores, o sea:

,

(**)

y éste es el resultado de la suma algebraica propuesta. Se suele omitir la fórmula (*), pasando directamente a (**). Ejercicio 28. Efectuar las siguientes sumas algebraicas, reduciendo a mínimo común denominador:

(En este último caso recordar que

).

3.4. Multiplicación y división de racionales Vamos a dar una nueva interpretación de la multiplicación de números naturales para que se comprenda mejor el mecanismo de la multiplicación de fracciones. El producto de 2 por 3 se puede imaginar de este modo: tomar 2 grupos de 3 unidades cada uno, lo cual lleva a formar un grupo de 6 unidades, y entonces escribimos 2.3 = 6. Pero en vez de decir que tomamos 2 grupos de 3 unidades podemos decir, más brevemente, que tomamos 2 de 3. Trataremos de extender esta interpretación a las fracciones. Para darle un sentido al

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producto de 1/2 por 1/3, pensemos en imitar lo que acabamos de decir acerca de 2 por 3. Veamos: Multiplicar 2 por 3 significa tomar 2 de 3. Por analogía:

Multiplicar

por

significa

.

Pero, ¿cómo se halla un medio de un tercio? De este modo: se comienza por dividir la unidad en 3 partes iguales y tomar una de ellas, que es 1/3. Y ahora, un medio de ese tercio es la mitad de dicho tercio. ¿Cuántas veces cabe este trozo en la unidad completa? Evidentemente, cabe dos veces en cada tercio, y como hay 3 tercios, el mencionado trozo cabe 6 veces en la unidad completa. Luego, el trozo en cuestión es un sexto, o sea:

. Y como habíamos convenido que multiplicar 1/2 por 1/3 es lo mismo que tomar 1/2 de 1/3, obtenemos este resultado:

. Se ve que para hallar el producto de 1/2 por 1/3 hemos multiplicado lo numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Entonces adoptamos esta regla como definición general: Definición de producto de racionales. Para hallar el producto de dos números racionales se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y se coloca el signo que corresponda de acuerdo con la regla de los signos vista para la multiplicación de enteros. O sea:

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Si hay más de dos factores, por ejemplo, si se trata de multiplicar , vale la misma regla: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí y se coloca el signo que corresponda según la regla de los signos; en este ejemplo se tiene:

=

.

Más arriba dijimos que “multiplicar 1/2 por 1/3” significa lo mismo que “tomar 1/2 de 2/3”. En expresiones de este tipo, la preposición “de” equivale a un signo de multiplicación. Así, pues, “hallar los 3/4 de 7/2” equivale a “hallar el producto 3/4 . 7/2”, o sea que 3/4 de 7/2 es igual a 21/8. Ejercicio 29. Efectuar las siguientes multiplicaciones:

; en este último caso al multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí hay que aplicar también la regla de los signos.

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; recordar que

(f) Hallar

.

Ahora pasamos a la división de fracciones. En 2.5. vimos la propiedad MZ1, según la cual el conjunto de los números enteros, Z, es cerrado respecto de la multiplicación. Después, en 2.6., propusimos como Ejercicio 14 verificar mediante ejemplos que la división no cumple ninguna de las propiedades fundamentales que vimos en el caso de la multiplicación. En consecuencia, la división en Z no cumple una propiedad análoga a la MZ1, es decir que el conjunto Z no es cerrado respecto de la división. Hay una excepción a la posibilidad de dividir un número por otro que se mantiene a lo largo de toda la matemática: esta excepción es la división por 0. Pero cabría preguntar si, dejando de lado este caso excepcional, el conjunto Z es cerrado respecto de la división con divisor no nulo. La respuesta sigue siendo negativa. Por ejemplo, 7 y 2 pertenecen a Z y 2 es no nulo, pero el cociente 7:2 no existe en Z: no hay ningún número entero que multiplicado por 2 dé 7. Los números racionales vienen a llenar este vacío: 7:2 es igual al número racional 7/2. Ésta es la razón por la cual los números racionales se simbolizan mediante una raya de fracción, que es también símbolo de división. Pero entonces observamos que, en el conjunto Q, dividir un número entero por 2 es lo mismo que multiplicarlo por 1/2. En efecto:

7 dividido por 2 es

y 7 multiplicado por

Pero 2 se puede escribir como

es

.

, y entonces se ve que

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Dividir por

Es lo mismo que multiplicar por

.

Los números racionales como 2/1 y 1/2, que sólo difieren en la permutación entre numerador y denominador, se dicen inversos entre sí. El ejemplo que acabamos de ver y muchos otros análogos nos llevan a definir la división por el racional c/d como idéntica a la multiplicación por el racional d/c, en el caso en que c y d sean ambos no nulos. Si el racional dado presenta un signo antes de la raya de fracción, este signo se conserva al pasar al inverso. Por ejemplo, el inverso de

es

y el inverso de

es

.

Definición de división de racionales. Se llama división del número racional a/b por el número racional no nulo c/d a la multiplicación de a/b por d/c. (Al multiplicar, es claro que debe aplicarse la regla de los signos) O sea:

Dividir por un racional no nulo es lo mismo que multiplicar por su inverso (aplicando la regla de los signos). Ejercicio 30. Hallar los resultados de las siguientes divisiones:

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3.5. Propiedades formales de la suma y de la multiplicación en Q Propiedades formales de la suma en Q (SQ1) Clausura: El conjunto de los números racionales, Q, es cerrado respecto de la suma. Esto significa que, dados dos números racionales cualesquiera, en un cierto orden, su suma existe siempre y es a su vez un número racional. Esto se puede escribir, usando el símbolo de pertenencia, así: Si a

Qyb

Q, entonces a + b

Q.

(SQ2) Asociatividad: Si a, b, c, son números racionales se verifica: (a+b)+c = a+(b+c). O sea, si se suman primeramente a y b y al resultado a+b se le suma c, se obtiene lo mismo que si se suman b y c y luego se suma a con el resultado de b+c. Gracias a esta propiedad tiene sentido una suma de varios sumandos sin necesidad de paréntesis, como a+b+c, o a+b+c+d+e, porque la asociatividad implica que, cualquiera que sea la forma en que agrupemos los sumandos, siempre obtendremos el mismo resultado. (SQ3) Conmutatividad: Si a y b son números racionales se verifica: a+b = b+a. O sea, si se cambia el orden de los sumandos la suma no altera. (SQ4) Existencia de elemento neutro: Existe un número racional, llamado cero, que sumado con cualquier número racional da por resultado este mismo número entero. O sea, para cualquier número entero a se verifica: a+0 = 0+a = a. Se dice entonces que el número 0 es elemento neutro para la suma. Obsérvese que el racional 0 se puede representar mediante una fracción del tipo 0/n, donde n es un entero cualquiera, no nulo. (SQ5) Existencia del opuesto: Para cada número racional a existe su opuesto, designado por –a y caracterizado por las igualdades a+(-a) = 0 y (-a)+a = 0. Si se representa a un número racional como fracción esta propiedad se puede indicar así: Ejercicio 31. Definir la resta en Q según el método empleado para definirla en Z, y comparar las propiedades de ambas.

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Propiedades formales de la multiplicación en Q (MQ1) Clausura: El conjunto de los números racionales, Q, es cerrado respecto de la multiplicación. Esto significa que, dados dos números racionales cualesquiera, en un cierto orden, su producto existe siempre y es a su vez un número racional. Esto se puede escribir, usando el símbolo de pertenencia, así: Si a

Qyb

Q, entonces a.b

Q.

(MQ2) Asociatividad: Si a, b, c, son números racionales se verifica: (a.b).c = a.(b.c). O sea, si se multiplican primeramente a y b y al resultado a.b se lo multiplica por c, se obtiene lo mismo que si se multiplican b y c y luego se multiplica a por el producto b.c. Gracias a esta propiedad tiene sentido una multiplicación de varios factores sin necesidad de paréntesis, como a.b.c, o a.b.c.d.e, porque la asociatividad implica que, cualquiera que sea la forma en que agrupemos los sumandos, siempre obtendremos el mismo resultado. (MQ3) Conmutatividad: Si a y b son números enteros se verifica: a.b = b.a. O sea, si se cambia el orden de los factores el producto no altera. (MQ4) Existencia de elemento neutro: Existe un número racional, llamado uno, que multiplicado por cualquier número racional da por resultado este mismo número racional. O sea, para cualquier número racional a se verifica: a.1 = 1.a = a. Se dice entonces que el número 1 es elemento neutro para la multiplicación. Se puede representar como fracción así: 1/1. (MQ5) Existencia de elemento absorbente: Existe un elemento de Q, a saber, el 0, tal que, multiplicado por cualquier número racional, da 0. O sea que el cero absorbe por multiplicación a cualquier número. Esto se simboliza por: a.0 = 0, 0.a = 0. (MQ6) Distributividad respecto de la suma y de la resta: Si a,b,c,d, Q se verifica: a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d; a.(b-c) = a.b – a.c;

(b+c+d).a = b.a + c.a + d.a (b-c).a = b.a – c.a

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En 3.4. vimos la definición de inverso de un número racional no nulo. Esto nos permite agregar una importante propiedad: (MQ7) Existencia de inverso. Todo número racional no nulo admite un inverso, que multiplicado por el primero, en cualquier orden, da por resultado 1. Su representamos a un número racional no nulo mediante la fracción a/b (con a y b distintos de 0), su inverso es el racional b/a, y es evidente que

. Si se representa a un racional no nulo por una sola letra, por ejemplo a, su inverso se designa mediante la notación a-1, y se verifica: a.a-1 = 1

y

a-1.a = 1.

Corolario. Si a es un número racional cualquiera y b es un número racional no nulo, existe siempre en Q (y es único) el cociente a:b. En efecto: el cociente se obtiene multiplicando al dividendo por el inverso del divisor. Este inverso existe porque se ha supuesto que el divisor es no nulo. Luego: a:b = a.b-1. Si se representa al dividendo m/n y al divisor p/q como fracciones entre números enteros se obtiene que el cociente

es igual al producto del dividendo por el inverso del divisor, o sea:

.

Ejercicio 32. Comparar las propiedades de la multiplicación en Q con las de la multiplicación en Z. Ejercicio 33. Comparar las propiedades de la división en Q con las de la división en Z.

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Ejercicio 34. El conjunto Q, ¿es cerrado con respecto a la división? 3.6. Operaciones combinadas con números racionales

3.6.1. Fracciones de fracciones Tratemos ahora de formar fracciones en las cuales el numerador y el denominador sean a su vez fracciones, por ejemplo:

. La raya que separa a 3/2 de 4/5 es más larga que las otras rayas de fracción. Esto significa que dicha raya es la principal y que determina una fracción cuyo numerador es 2/3 y cuyo denominador es 4/5. Hemos visto ya que las rayas de fracción se pueden interpretar como signos de división, y así continuaremos interpretándolas. Luego, escribimos la fracción anterior como cociente y resolvemos este cociente según ya hemos explicado:

=

=

.

Para evitar engorrosas repeticiones vamos a llamar “primera fracción” a la que hace las veces de numerador, en nuestro caso, 3/2, y “segunda fracción” a la que hace las veces de denominador, en nuestro caso, 4/5.

Regla fundamental de la fracción de fracciones: Una fracción de fracciones se transforma en una fracción simple de este modo: se coloca como numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y se coloca como denominador el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

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Es muy importante diferenciar la importancia de las rayas de fracción por medio de su longitud. Si no se introduce ninguna diferencia de longitudes, por ejemplo, escribiendo

, el significado es completamente ambiguo, porque esta expresión se podría interpretar de cualquiera de las siguientes maneras, según la jerarquía que se establezca entre las rayas de fracción:

,

,

, etc.

La interpretación (a), según ya hemos visto, da por resultado 15/8. La interpretación (b) conduce a considerar como numerador principal 3, y como denominador principal la fracción

; luego, la fracción principal según la interpretación (b) es

. La interpretación (c) conduce a considerar otra vez como numerador principal 3, pero como denominador principal la fracción

;

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luego, la fracción principal según la interpretación (c) es

. Como se ve, estas tres interpretaciones conducen a resultados diferentes. Ejercicio 35. Proponer otras interpretaciones de la misma fracción inicial y hallar los respectivos resultados. 3.6.2. Uso de paréntesis Lo dicho en 3.2.2. acerca de supresión de paréntesis en Z vale también para Q. Cuando en una misma expresión se usan paréntesis dentro de paréntesis, por ejemplo,

, se suelen reemplazar los paréntesis de mayor jerarquía por corchetes:

. Esto no es imprescindible y se hace sólo para obtener mayor claridad en la escritura. Si hay mayor acumulación de paréntesis se pueden utilizar llaves como signos de mayor jerarquía que los corchetes; por ejemplo:

2-{

}

.

En estos casos lo más conveniente es proceder “de afuera hacia adentro”, es decir, eliminar primero los paréntesis de mayor jerarquía (llaves) sin alterar los otros paréntesis ni lo que está dentro de ellos, luego suprimir los que le siguen en jerarquía (corchetes) sin alterar los paréntesis menores ni lo que está dentro de ellos, y finalmente suprimir los paréntesis menores. La regla es la misma para todos ellos:

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Para suprimir un paréntesis de cualquier jerarquía se suprime también el signo que lo precede: si ese signo era +, no se cambia nada de lo que había dentro del paréntesis suprimido; y si ese signo era -, se cambian todos los signos que había dentro del paréntesis suprimido, excepto los que figuran dentro de paréntesis de menor jerarquía.

Refiriéndonos al ejemplo precedente, suprimamos paréntesis paso a paso: 1º) Supresión de llaves. Están precedidas por signo “menos”. En consecuencia, se suprime también este signo y se cambian los que estaban dentro de las llaves, excepto los que figuran dentro de corchetes o paréntesis simples. Obsérvese que el número 4/3, que figura primero dentro de las llaves, es positivo, o sea que se sobrentiende que hay delante de él un signo “más”; este signo se cambia por “menos”. Queda entonces:

2-

.

2º) Supresión de corchetes. Están precedidos por signo “más”. Este signo se suprime junto con los corchetes y quedan todos los signos interiores sin cambio:

2-

.

3º) Supresión de paréntesis. Están precedidos por signo “más”. Este signo se suprime junto con el paréntesis y quedan todos los signos interiores sin cambio:

2-

.

Observemos que aparece una vez 3/2 (positivo) y dos veces -1/2 (negativo). Estos tres términos pueden reemplazarse por su suma algebraica, que es 1/2 (positivo). Queda:

2-

.

24

Ahora se tiene una suma algebraica de números racionales, que se resuelve aplicando el método del mínimo común denominador visto en 3.3.:

. Ejercicio 36. Suprimir paréntesis y hallar resultados en los siguientes casos:

(a) -1+ { (b)

}-1 {

}+

3.6.3. Presencia de factores Los casos de supresión de paréntesis pueden incluir presencia de factores, como por ejemplo:

. Se pueden seguir dos caminos: O bien realizar primero las operaciones indicadas dentro del paréntesis y después efectuar la multiplicación, lo que da

, O bien aplicar la propiedad distributiva y después efectuar la suma algebraica, lo que da:

.

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Se sigue uno u otro de estos caminos según lo que resulte más cómodo en cada caso. Si el factor a su vez está precedido por un signo de suma o resta, como por ejemplo:

, conviene ante todo combinar el signo del factor -2/3 con el signo que lo precede (en este caso, “menos”) aplicando la regla de los signos. En este caso se obtiene un signo “más”:

, y a continuación se sigue alguno de los dos caminos señalados antes; por ejemplo, si adoptamos el primer camino (que es el más cómodo en este caso) se obtiene, observando que la raya de fracción funciona como un paréntesis:

. Ejercicio 37. Efectuar operaciones suprimiendo paréntesis:

{

}

3.6.4. Ejercicios combinados A continuación daremos indicaciones para resolver un ejercicio en el que se combinan todos los conceptos operativos estudiados en este texto. Recordemos que en algunos casos las rayas de fracción pueden funcionar como paréntesis. Los signos de operaciones entre fracciones se escriben siempre a la altura de la raya de fracción principal.

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Sea:

. En el numerador principal, es decir, por encima de la raya de fracción principal, aparece la suma de dos fracciones. La primera de estas fracciones es la siguiente:

.

(*)

Para resolver el numerador de esta fracción calculamos en primer término lo que hay dentro del corchete, o sea:

. Para calcular esta expresión se aplica distributividad, multiplicando el factor -3/2 por 1 y por -5/4 y luego sumando ambos resultados. El número así obtenido se suma con 4/3. Queda así resuelto el corchete. Este resultado se multiplica por el factor que precede al corchete, o sea por -1/3. Luego se quita el paréntesis precedido por el signo “menos” en la expresión –(1/4 – 2/3) y se efectúa la suma algebraica que queda planteada. Se obtiene así un número que se suma algebraicamente con el obtenido al multiplicar el corchete por -1/3. De este modo queda calculado el numerador de la expresión (*). El denominador de (*) se calcula fácilmente distribuyendo el factor -3/2 entre 1 y -5/4, luego efectuando la suma algebraica de los dos términos así obtenidos y finalmente sumando 4/3. Se efectúa la división entre el numerador y el denominador hallados y se llega al valor de la expresión (*).

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Ahora pasamos al segundo término del numerador principal de la expresión dada, que es

.

(**)

Para calcular el numerador de (**) conviene resolver ante todo el gran paréntesis, para lo cual se suprime el pequeño paréntesis precedido por el signo “menos” y se efectúa la suma algebraica que queda indicada. Este resultado se multiplica por 3/2. Para calcular el denominador de (**) se resuelve primero el paréntesis distribuyendo el factor –2 entre ½ y 1/3 y efectuando luego la suma algebraica de los dos términos así obtenidos. El resultado se suma con 5/6. Sumando los valores obtenidos para (*) y (**) se obtiene el numerador principal de la expresión dada. Para calcular el denominador principal de la expresión dada se sigue un procedimiento análogo; hay que calcular por separado los dos términos:

(***) y

(****)

y después efectuar la suma algebraica de los resultados. Esto da el valor del denominador principal de la expresión propuesta. Efectuando la división entre el numerador principal y el denominador principal de la expresión dada se obtiene el valor de ésta y queda resuelto el problema.

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Ejercicio 38. Calcular el valor de la expresión propuesta al comienzo de 3.6.4., siguiendo las indicaciones precedentes. Ejercicio 39. Hallar el valor de la siguiente expresión:

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