Estadística Para La Educacion Superior 2

PROBABILIDADES Experimentos Aleatorios Espacio Muestral,Eventos y Sucesos Tipos de Experimentos Aleatorios Probabilidad

Relaciones entre Eventos Enfoques de Probabilidad/Teoremas Básicos de Probabilidad Eventos Dependientes/Independientes Probabilidad Total/Teorema de Bayes

PROBABILIDADES Determinísticos

• Se conocen su resultados antes de realizarlo • No son de interés para la Estadística

Experimentos

No Determinísticos

• Sus resultados se conocen una vez que el experimento ha concluido • Se pueden describir los posibles resultados sin poder decir, cuál de ellos va a ocurrir

PROBABILIDADES Determinísticos Experimentos

No Determinísticos Es un proceso planificado a través del cual se obtiene una observación (o una medición) de un fenómeno Son experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por el azar

Sus resultados se conocen con anticipación sin necesidad de realizar el experimento Sus resultados se conocen una vez que el experimento ha finalizado Se pueden describir los posibles resultados pero no se puede decir cuál de ellos ocurrirá Experimentos Aleatorios

PROBABILIDADES Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama “Cara” a la otra “Sol” entonces:

={CC, CS, SC, SS} Supóngase ahora que se lanza un dado legal. Entonces: ={1, 2, 3, 4, 5, 6,} Son aquellos experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por la casualidad (azar)

Experimentos Aleatorios

PROBABILIDADES Retomando el caso del lanzamiento de las dos monedas, ¿hay otro posible resultado en este experimento?. O bien en el caso del lanzamiento del dado

Espacio Muestral

M = {CC, CS, SC, SS} Son todos los resultados que están asociados a un experimento aleatorio

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,} Supóngase que el lanzamiento del dado se está interesado en la ocurrencia de una cara impar A = {1,3,5}

Evento

Es subconjunto del espacio muestral, es decir, sus resultados pertenecen al espacio muestral

PROBABILIDADES Espacio Muestral M

2 A

Evento

1 3

5 Suceso (wi)

4

Letras Mayúsculas del Alfabeto

6 A= (wiεA /wi ε M

PROBABILIDADES Tipos de Experimentos Aleatorios Simples

Un solo experimento aleatorio

Compuestos

Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro

Experimentos Aleatorios

Unidos por la partícula “ó” (v) Los experimentos simples que lo componen ocurren de forma sucesiva M = {M1UM2U…Mi}

Unidos por la partícula “y” ( ∧ ) Los experimentos simples que lo componen ocurren al mismo tiempo M = {M1∩M2…Mi}

PROBABILIDADES Simples

Un solo experimento aleatorio M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}

Experimentos Aleatorios Compuestos

Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro M = {CC, CS, SC, SS}

PROBABILIDADES Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”

El espacio muestral es el producto cartesiano de los espacios muestrales simples que lo conforman

M3 M2 M1

C

S

C

CC

CS

S

SC

SS

M1*M2

C

S

CC

CCC

CCS

CS

CSC

CSS

SC

SCC

SCS

SS

SSC

SSS

PROBABILIDADES 3era Moneda 2da Moneda

C

1ra Moneda

C

S

C

M

C

CCC

S

CCS

Diagrama del Árbol

CSC

Diagrama de Senderos

C S C S

S

Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”

CSS SCC SCS

C

SSC

S

SSS

S

PROBABILIDADES De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden establecer algunas relaciones entre ellos tales como: A

B

M

B

A

AUB

AUB B

A

M

M A´

AΠB

M

A

PROBABILIDADES Clásico Enfoques de Probabilidades

Probabilidad A priori. Llamada También Probabilidad de Laplace

Subjetivo

Frecuencia Relativa

Probabilidad A posteriore

PROBABILIDADES Enfoques de Probabilidad Supuesto Probabilidad Clásica

Subjetivo

Todos los sucesos de un experimento aleatorio tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces:

na P[ A] = M

0 ≤ P[ A] ≤1 Frecuencia Relativa

P[ A] =

n N

Probabilidad A posteriore Si en la realización de experimento aleatorio aparece un evento A “n veces ≤ N”,entonces:

PROBABILIDADES

Principales Teoremas de Probabilidad P[AUB] = P [A] + P [B] P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB] Teoremas Básicos de Probabilidades

P[Ø] = 0 P[M] = 1

[ ]

P Ac = 1 − P[ A] 0 ≤ P [ A] ≤ 1 / 0 ≤ P [ A] ≤ 100%

PROBABILIDADES Eventos Dependientes Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro evento, se dice que éste es dependiente. Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento dependiente de B sí;

[ ]

P [ A] = P A ; P[ B ] ≠ 0 B

[ B] = P[PA[∩B]B] = P[ A]; P[ B] ≠ 0

PA

[ ]

P [ B ] = P B ; P[ A] ≠ 0 A

o bien:

[ A] = P[PB[∩A] A] = P[ B]; P[ A] ≠ 0

PB

Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas: • Respecto al espacio muestral original • Respecto al espacio muestral del evento condicionante

PROBABILIDADES En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar: a. Que sea mujer b. Que sea soltero (a) c. Que sea un hombre y esté casado (a) d. Que sea una mujer divorciada e. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad que sea hombre? f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad que sea casado?

PROBABILIDADES En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad que: a. Sea mujer b. Se estudiante varón dado si es de Ciencias c. Sea estudiante de Ciencias dado que es varón d. Sea estudiante de Ciencias y varón.

PROBABILIDADES Eventos Independientes Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes. Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:

[ B] = P[PA[∩B]B] = P[ A]; P[ B] ≠ 0

PA

[ A] = P[PB[∩A] A] = P[ B]; P[ A] ≠ 0

PB

P[ A ∩ B ] = P[ A] * P[ B ]

PROBABILIDADES Probabilidad Total Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak] son probabilidades conocidas entonces: P[ B ] = P[ A1] P[ B / A1] + P[ A2]P[ B / A2] + ...P[ Ak ]P[ B / Ak ]

Probabilidad Total

P[ B ] = ∑i =1 P[ Ak ]P[ B / Ak ] k

PROBABILIDADES Teorema de Bayes Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los eventos que forman la partición muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes

[

P Ak

]

[

P[ Ak ] P B

]

Ak = k B ∑i =1 P[ Ak ] P B Ak

[

]

VARIABLE ALEATORIA Suponga que el siguiente experimento consiste en el lanzamiento de tres monedas al mismo tiempo y suponga que se define la variable X como número de soles en el experimento M = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS} 0

1

2

3

X = Número de soles ¿Es X una variable? { 0, 1, 2, 3}

Sí

VARIABLE ALEATORIA Variable Aleatoria es una función que asigna valores reales a cada uno de los resultados de un experimento aleatorio Domino de X = Es el espacio muestral Rango de X = Los Números Reales Variables Aleatoria Discretas Tipos de Variables Aleatoria Variables Aleatoria Continuas

VARIABLE ALEATORIA Variables Aleatoria Discreta X, p(x) Vx rango X

Función de Distribución de Probabilidades o Cuantía Rango de X

x1

x2

x3

… xk

∑

P[X = x]

p(x1)

p(x2)

p(x3)

… p(xk)

1

Condiciones de la Función de Distribución o Cuantía

∑p[X = x] = 1 p(xk) ≥ 0

VARIABLE ALEATORIA Variables Aleatoria Continua No se puede establecer una correspondencia entre el valor que toma la variable y una probabilidad asociada al mismo ya que la VAC, puede tomar cualquier valor dentro del intervalo donde se define Ecuación llamada Función de Densidad

Condiciones de la Función de Densidad

VARIABLE ALEATORIA Esperanza Matemática “M” son todos los resultados posibles que están asociados a un experimento aleatorio Población

Parámetros

Dom X = M

Todos los valores que puede tomar una variable aleatoria

Esperanza Matemática ε(x) = µx Varianza Var(x) = σ²x

VARIABLE ALEATORIA Discreta

Esperanza Matemática

Tipo de V.A

Es el promedio que toma la V.A en el rango donde se define Continua

VARIABLE ALEATORIA

Propiedades de la Esperanza Matemática

ε(x) = µ ε(ax) = aε(x) ε(ax + b) = ε(ax) + b

VARIABLE ALEATORIA Varianza Discreta

Varianza

Tipo de V.A

Continua

VARIABLE ALEATORIA

Propiedades Varianza

de

la

Var(X)= σ²X

Var(X) = σ²X ≥ 0 Var (aX)= a²Var(X) Var(aX + b) = a²Var(X)

MODELOS PROBABILISTICOS Si el comportamiento de una V.A puede ser simulado ya sea de forma aproximada o total , se dice que se tiene un modelo probabilístico

Modelos Probabilístico

Modelos Probabilístico Discretos

Tipo de V. A Modelos Probabilístico Continuos

MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETOS Dn Uniforme Discreta Dn Binomial Puntual o Bernoulli

Modelos Probabilístico Discretos

Dn Binomial Dn de Poisson Dn Multinomial Dn Hipergeométrica Dn Hipergeométrica Generalizada Otras

MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETOS Dn Binomial Puntual o Bernoulli Dn Binomial Dn de Poisson

Dn Hipergeométrica

MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUOS Dn Uniforme Continua Y

a

<

b

X

MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUOS Dn Normal Si un experimento Binomial bien definido, se repite un gran número de veces, el histograma de probabilidades forma una curva en forma de campana llamada curva Normal o Campana de Gauss

σ

Simétrica Promedio = Mediana = Moda Es asintótica al eje de las X Es mesocúrtica Se le llama ley Normal de los Errores. Errores pequeños tienen una alta probabilidad de ocurrencia, errores grandes baja

MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUOS Dn Normal Estándar o Dn “Z” Debido a lo tedioso de la función de densidad de la Dn Normal, en su lugar se utiliza otra Dn que permite el uso de tablas previamente determinada evitando así, el proceso de integración de la f(x) de la Dn Normal. Esta Dn es llamada Dn Normal Estándar o Dn “Z” Si X~N(µ, σ²), entonces X se puede someter a un proceso de estandarización dando origen a una variable “Z” de la siguiente forma:

MODELOS PROBABILISTICOS CONTINUOS Dn Normal Estándar o Dn “Z” Uso de Tablas Las Tablas de Dn Normal Estándar permiten resolver dos tipos de problemas:

Determinar el área bajo la curva una vez obtenido el valor estándar de X Dada un área bajo la curva, determinar el valor “z” a que corresponde