Complexos E Polinomios

Cursinho Popular de Tracuateua, 2009. Prof. Hamilton Brito (“Lewis”) NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1) Números Complexos. Podem ser escritos por: z=a+bi. Ex: z=2-i; z=3-4i, etc. Relação Fundamental:

i= √-1 ,de onde vem i2= -1

; i3= -i, i4=1

Essa relação será usada daqui em diante. Operações Fundamentais. 1-Adição e Subtração. Somamos ou subtraímos as partes real com real e imaginaria com imaginaria. Ex: (2+i)+(1-2i)=(2+1)+(i-2i)=3-i 2-Multiplicação; Multiplicamos normalmente, mas usamos a relação fundamental. Ex: (5-2i).(4-i) 3-Divisão *Conjugado. Sendo um número complexo z=a+bi, damos o nome de conjugado de z ao número z ,tal que z = a-bi Ex.:Sendo z = 3-2i,o conjugado de z é z = 3+2i *Definição da divisão: Sendo z1 e z2 dois números complexos, a divisão z1/z2 é um número z3, tal que z3 é obtido multiplicando-se z1 pelo conjugado de z2.Veja: Ex:Dividir 2+i por 1-4i. 2) Função Polinomial e Equações Polinomiais Polinômio é a função dada por f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+...anxn, onde a0,a1,a2,a3,...an sãos coeficientes. Ex: f(x)=1+2x+3x2-x3 g(x)= 14-x5 h(x)=2+x-4x8 Quando o polinômio for incompleto ( ou seja, tiver algum termo igual a zero), devemos torná-lo completo, isto é, acrescentar zero(0) onde for preciso. Ex: f(x)=1+2x2+3x3(incompleto, pois o termo em x é zero) f(x)=1+0x+2x2+3x3(completo) Para dividir um polinômio por um binômio ax+b=0, calculamos a raiz do binômio e fazemos P( r), sendo r a raiz do binômio. Ex:Divida o polinomio P(x)=x3+8x-4=0 pelo binomio 5x-10 3-Resolução de equações polinomiais. *Multiplicidade de uma raiz Uma raiz de uma equação é múltipla, se ela se repetir varias vezes.Assim , ela terá multiplicidade 2 se for repetida duas vezes, multiplicidade 3 se for três vezes, e assim sucessivamente. Ex:Na equação x3+9x2+27x+27=0, o número -3 é uma raiz tripla, pois ela é a única raiz da equação, isto é, o conjunto-solução da equação é S={-3,-3,-3}. Ex: Na equação (x-2)3.(x-5)8, qual a multiplicidade das raízes? *Raízes complexas. “Se um número complexo é raiz do polinômio, então o seu conjugado também é.” Propriedade: *Se a soma dos coeficientes é 0, então o número 1 é uma das raízes da equação. *Dispositivo de Briott-Ruffini Ajuda a resolver equações de qualquer grau. Para aplicá-lo, deveremos sempre usar o polinômio completo. Ex:1-Resolva a equação 6x3+7x2-14x-15=0, sabendo-se que -1 é uma das raízes. 2-Qual a solução da equação x4+2x3-3x2-7x+6=0? 3-Qual a solução da equação x4+x3+5x2+4x+4=0, se i é raiz da equação? Relações de Girard.

Equação do 3º Grau. Sendo a equação do 3º grau igual a ax3+bx2+cx+d=0 e r1, r2 e r3 as suas raízes, temos as seguintes relações: r1+r2+r3= -b a r1.r2+r1.r3+r2.r3= c a r1.r2.r3= -d a Ex:Sendo m, n e k as raízes da equação x3-27x2+8x-14=0, calcule as relações de Girard.

Exercícios: 1ª)Resolva as equações: a)x2+9=0 b)x2+4=0 c)x2+4x+5=0 d)x2+6x+13=0 2ª)Monte a equação cujas raízes são 2, -1 e 3. 3ª)Qual a equação de menor grau que apresenta como raízes os números complexos i e 2i? 4ª)Determine a multiplicidade das raízes de cada equação e determine o grau da equação. a)(x-2)3.(x+4)5 b)(x+1)7.(x-3)4.x 5ª)(UFRS)Se os números -3, a e b são as raízes da equação x3+5x2-2x-24=0, então o valor a+b é: a)-6 b)-2 c)-1 d)2 e)6 6ª)(PUC-RJ)Sobre as raízes da equação x3-x2+3x-3=0, podemos afirmar: a)Nenhuma é real b)Há uma raiz real e duas imaginárias. c)Há 3 raízes reais cuja soma é 3 d)Há 3 raízes reais cuja soma é 1. e)Há 3 raízes reais cuja soma é -3. 7ª)A partir da equação x3+4x2-8x+16=0, calcule o valor das seguintes expressões, sendo m, n e k suas raízes. a) 1 + 1 + 1 m n k b)(m+n+k)2-2.(mn+kn+km) 8ª)As raízes da equação x3-10x2+31x-31=0 são dadas por m, n e k.Se elas representam a altura, largura e o comprimento de um paralelepípedo, então, o volume e a área total do sólido é: a)62 e 62 b)31 e 31 c)31 e 62 d)10 e 31 e)10 e 62 9ª)Resolva as equações abaixo. a)4x3-20x2+33x-18=0, sendo que uma das raízes é 2. b)x3-9x2+23x-15=0, sendo uma das raízes é 3. c)x3-10x2+31x-30=0, sendo que uma raiz é a soma das outras duas. d)x3-x2-18x+12=0, sendo que uma das raízes é -3 e)x3-5x2+2x+2=0. f)x3+5x2-6=0 10ª)(UFPA-2006-Adaptada) O polinômio P(x) de menor grau, de coeficientes reais, que tem 3 e (2 – i) como raízes, sendo i a unidade imaginária, terá o resto de sua divisão por (x – 1) igual a: a)-4 b)-2 c)-1 d)2 e)4 11ª)Divida o polinômio P(x)=x4+2x3-8x+14=0 pelo binômio 2x+8

Hamilton Brito (“Lewis”)...Direto de Viseu-Pa rsrsrsrs