Aula Probabilidade

Cursinho Popular de Tracuateua, 2009. Prof. Hamilton Brito (“Lewis”) PROBABILIDADE EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS São aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com certeza.Porém, é possível descrevermos o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. Ex. a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. b)Lançar um dado e observar o nº da face de cima.

ESPAÇO AMOSTRAL. É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Ele pode ser finito ou infinito.Representaremos pela letra “S”. Ex:a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. S={k;c} k= cara; c= coroa b)Lançar um dado e observar o nº da face de cima. S={1,2,3,4,5,6}

Ex1: Numa caixa, há 20 bolas numeradas de 1 a 20.Retirando-se ao acaso uma bola, qual a probabilidade de que o nº observado seja: a)Par? b)Primo? c)Múltiplo de 3? Ex2: Numa urna existem duas bolas vermelhas e seis bolas brancas.Sorteando-se uma bola, qual a probabilidade de ela ser: a)Branca? b)Vermelha?

EXERCICIOS

É um subconjunto do espaço amostral. É indicado sempre por uma letra maiúscula do alfabeto. Ex: Um dado é lançado e observa-se a face de cima. S={1,2,3,4,5,6} Exemplos de eventos: A:ocorrência de nº impar. A={1,3,5} B:ocorrência de nº primo. B={2,3,5} C:ocorrência de nº menor que 4. C={1,2,3} D:ocorrência de nº maior ou igual a 7. D=Ø

1ª)De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh+, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator Rh+ e sangue tipo O.Se uma dessas pessoas for escolhida ao acaso, qual a probabilidade de: a)Seu sangue ter fator Rh+? (R: 4/5) b)Seu sangue não ser tipo O? (R:1/2) c)Seu sangue ter fator Rh+ ou ser tipo O? (R:9/10) 2ª) Uma urna contém 15 cartões enumerados de 1 a 15. Um cartão é retirado aleatoriamente. Qual a probabilidade de o número no cartão ser múltiplo de 3? 3ª) Joga-se um dado branco e um dado preto. Calcule a probabilidade de: a)Ocorrer soma 6 b) ocorrer soma 11 c) ocorrer soma 2.

COMBINAÇÃO DE EVENTOS

PROBABILIDADE CONDICIONAL

EVENTO

a)União de dois Eventos Sendo A e B dois eventos, então A∪B será dito união entre A e B. b)Interseção de dois eventos. Sendo A e B dois eventos, então A∩B será dito interseção entre A e B, e ocorrerá se A e B ocorrerem simultaneamente. Se A∩B= Ø, então A e B são ditos mutuamente exclusivos. Ex:Um dado é lançado e observado o nº da face de cima. S={1,2,3,4,5,6} A:ocorrência de nº par. A={2,4,6} B:ocorrência de nº ≥4. B={4,5,6} Assim, temos: *Ocorrência de nº par ou maior que 4. A∪B={2,4,5,6} *Ocorrência de nº par e um nº maior ou igual a 4. A∩B={4,6} Obs:Quando for “ou”, a gente usa a união; quando for “e” a gente usa a interseção.

PROBABILIDADE Sendo S o espaço amostral e A um evento, denotamos n(A) e n(S) o nº de elementos de A e S, respectivamente.Assim, definimos probabilidade como sendo a razão entre o nº de elementos de A e o nº de elementos de S, isto é:

Sendo dois eventos A e B, indicamos pelo símbolo P(A| B) a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B já ocorreu.Isso é chamado probabilidade condicional de A.Indicamos essa probabilidade pela relação:

Ex1: Um dado é lançado. Se o número é ímpar, qual a probabilidade dele ser primo?

Ex2: Um par de dados é lançado. Se ocorrem números diferentes, encontre a probabilidade de a soma ser um número primo.

ADIÇÃO DE PROBABILIDADES (REGRA DO “OU”) P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) Esta fórmula sempre será usada quando no problema vier expresso o conectivo “ou”. Ex1:Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Retirando-se ao acaso uma bola, qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 2 ou de 3? Ex2: De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh+, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator Rh+ e sangue tipo O.Se

uma dessas pessoas for escolhida ao acaso, qual a probabilidade de seu sangue ter fator Rh+ ou ser tipo O?

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES (REGRA DO “E”) Se num problema de probabilidade aparecer o conectivo “e”, a gente usa a multiplicação de probabilidades, isto é: P(A∩B)=P(A).P(B) Ex1:Um casal cujo pai é normal e a mãe é albina, tem um filho albino.Qual a probabilidade de eles terem uma filha albina? Ex2:Uma urna contém sete bolas:quatro azuis (A) e três vermelhas(V).Retira-se, ao acaso,uma bola da urna, registrase a sua cor e repõe-se a bola na urna.A seguir, retira-se outra bola da urna e registra-se sua cor.Qual a probabilidade de sair uma bola azul e depois uma bola vermelha? (R:12/49) Ex3:Se no exemplo anterior, não houvesse reposição da bola na urna, após a 1ª retirada, qual seria a probabilidade de sair uma bola azul e depois uma vermelha? (R:2/7)

EXERCÍCIOS 1ª)(UFPA-PSE-2007) A probabilidade de obter como soma seis ou oito, ao jogar dois dados, é: (A) 10/36 (B) 12/3 (C) 8/36 (D) 6/36 (E) 14/36 2ª)(INSTITUTO HAMILTON BRITO-2009)Considere que os caracteres verde e liso sejam dominantes em relação

aos caracteres amarelo e rugoso.Ao fazer o cruzamento entre duas ervilhas, uma rugosa e amarela e outra lisa e verde, esta última heterozigota para as duas características, um biólogo pode obter ervilhas de diferentes fenótipos.Assim, qual a probabilidade de nascer uma ervilha rugosa e verde desse cruzamento? 3ª) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.( R:4/36 = 1/9) 4ª) Uma urna contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes. Três bolas são retiradas, sem reposição. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas serem branca, preta e verde? 5ª) Um casal deseja ter dois filhos, sendo o primeiro menino e o segundo menina. Qual a probabilidade de que isso ocorra? (R: ¼) 6ª)((UFPA-2006) Um casal, cujo homem tem sangue tipo A Rh+ e a mulher O Rh-, teve o primeiro filho com tipo sanguíneo O Rh-. A probabilidade de um segundo filho ter o mesmo genótipo do primeiro é de: (A) 0%. (B) 25%. (C) 50%. (D) 75%. (E) 100%. 7ª)UFPA-2005) A hemofilia é uma anomalia ligada ao sexo, condicionada por um gene recessivo “h” localizado na região do cromossomo X não homóloga à do Y. Uma mulher cujo pai é hemofílico e mãe normal casa-se com homem hemofílico. A probabilidade de esse casal vir a ter uma criança do sexo feminino com hemofilia é de a)50%. b)25%. c)75%. d)12,5%. e)100%. 8ª)Jogando-se um dado e sabendo que ocorreu um número maior que 4, qual a probabilidade de ser um número par? (R:1/2=50%) 9ª)Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?(R:1/16)

Momento Filosófico

*A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard) *A natureza está escrita em linguagem matemática. (Galileu) * O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo. (Roger Bacon) Professor: Hamilton Brito, futuro Biomatemático... Contatos pelo e-mail: [email protected]

Por mais difícil que seja a caminhada até a Universidade, é importante que não desistamos da nossa luta... Sei que vocês são capacitados para enfrentar esta luta. Confio em cada um de vocês... Portanto, caríssimos alunos, estarei torcendo por vocês sempre... Podem contar sempre comigo na hora de enfrentar as “