Livreto De Matemática-hamilton Brito

PROFESSOR: HAMILTON BRITO 1ª EDIÇÃO

1- FUNÇÕES Sendo dois conjuntos A e B, chama-se função f de A em B à relação f:A B, onde a cada elemento de A corresponde um, e somente um, elemento de B. Na função f:A B, o conjunto A é o domínio e B é o conjunto imagem. FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função do 1º grau é toda função da forma y=f(x)=ax+b, com a≠0. Ex: y=2x-3 y=4-x Diz-se que um número a é o zero(ou raiz) da função do 1º grau se ele anula a função, isto é, se f(a)=0.

Ex: o zero da função f(x)=3x-18 é 6, pois f(6)=3.6-18=1818=0 Para calcular o zero da função, fazemos y=0 e resolvemos a equação. Ex: Calcule o zero da função y=4-2x. Solução: Temos que fazer y=0.Logo: y=4-2x 0=4-2x 2x=4 x=4/2 x=2 GRÁFICO O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.

y

y

a >0

a<0

x

x

Exercícios Resolvidos 1ª)Sendo a função do 1º grau y=f(x)=3-5x, calcule: a)f(0) b)f(-2) Solução: a) f(x)=3-5x f(0)=3-5.0= 3-0=3 b) f(x)=3-5x f(-2)=3-5.(-2) f(-2)=3+10=13 2ª)Calcule o zero de cada função abaixo: a) y=4x-8 b) y=-7x-21 Solução:Para calcular o zero(ou raiz) de uma função, teremos que fazer y=0.Logo: a) y=4x-8 0=4x-8 -4x=-8 (-1) Multiplica-se por -1 pois o nº na frente de x é negativo.Se fosse x=8/4 positivo a gente não multiplicaria. x=2 b) y=-7x-21 0=-7x-21

2- Função Quadrática(ou do 2º grau) É toda função da forma y=ax2+bx+c  Zeros da Função: f(x)=0 x= -b±√Δ , onde Δ=b2-4ac 2. a

7x=-21 x= -21/7 x= -3 3ª)Um corpo percorre uma trajetória dada pela função S=25-5t.Responda: a) Qual a distância percorrida pelo corpo no instante t=4 s? Solução:Fazemos t=4 e calculamos o valor de s.Assim: S=25-5t S=25-5.4 S=25-20 S=5m b) Em que instante o corpo vai passar pela origem das posições? Solução: O instante em que ele passa pela origem é o valor do zero da função.Assim, teremos que calcular o zero da função,ou seja, fazer s=0. S=25-5t 0=25-5t 5t=25 t=25/5 t=5s. No instante t=5s o corpo passa pela origem das posições.

Obs:1) Se Δ>0, a função tem duas raízes reais diferentes. 2) Se Δ=0, a função tem duas raízes reais iguais 3) Se Δ<0, a função não tem equações reais. ( as raízes são complexas ou imaginárias)  Dependendo do valor de “a” e “Δ”, o gráfico pode ter as seguintes formas: y

y

y

a>0 Δ>0

x1

a>0 Δ=0

x2

x

x1=x2

y

a>0 Δ<0

x

x

y

y

a<0 Δ>0 x1

a<0 Δ=0 x2

a<0 Δ<0

x1=x2 x

x

x

Nos gráficos, x1 e x2 são os zeros da função. No gráfico, podemos calcular pontos importantes, que são chamados de vértices da função.Esse ponto é dado por: P(xv, yv) xv= -b yv= -Δ 2.a 4. a O valor de yv é o menor(ou maior) valor que a função pode assumir, dependendo do valor de a.Se a>0, então yv é mínimo.Se a<0, então yv é máximo. A soma das raízes da função é S= -b e o produto é P= c. Assim, a função pode ser escrita por:y=f(x)=x2-Sx+P a a

Ex:Sendo as equações abaixo, calcule a soma e o produto das raízes. a)y=2x2-8x-16 Solução:Aplicando a fórmula, teremos: a)a=2 S=-b P= c b=-8 a a c=-16 S=-(-8) P=-16 2 2 S=4 P=-8 Ex:Sendo as raízes de uma função quadrática iguais a -2 e -4, monte essa função. Solução:Como foram dadas as raízes, então teremos que calcular a soma e o produto, e montar a função usando a fórmula y=f(x)=x2-Sx+P. S= -2-4= -6 y=f(x)=x2-Sx+P P=(-2).(-4)=8 y=f(x)=x2-(-6)+8 y=f(x)=x2+6x+8 Ex1: Sendo a função quadrática y= -x2+x+6, calcule o que se pede: a)As raízes. b)As coordenadas do vértice. a)Solução:Para calcular as raízes(ou zeros) da função, teremos que usar a fórmula de Bháskara.Ao usar a fórmula, encontraremos como raízes os números x’=3 e x’’= -2. b)Solução:Para calcular as coordenadas do vértice, basta usar a fórmula de xv e yv, ou seja: a= -1; b=1 e c=6 Δ=b2-4ac = 12-4.(-1).6 =1+24=25 Δ=25 xv= -b yv= -Δ 2a 4a xv= -1 yv= -25 2.(-1) 4.(-1) xv= -1 yv= -25 -2 -4 xv= 1 yv=25 2 4

Ex2: Sendo a função quadrática y= 2x2+2x+(k-5), calcule o valor de k para que a função: a)Tenha duas raízes reais diferentes. b)Tenha duas raízes reais iguais. c)Tenha raízes complexas. a)Solução:Para problemas que envolvam esse tipo de questão, teremos que trabalhar sempre com o valor de Δ.Assim, pelo que foi dito anteriormente, para que uma equação do 2º grau tenha duas raízes reais diferentes, devemos ter Δ>0.Assim, vem: a=2, b=2 e c= k-5 Δ=b2-4ac Δ>0 b2-4ac>0 22-4.2.(k-5)>0 4-8.(k-5)>0 4-8k+40>0 -8k+44>0 -8k>-44 (-1) Temos que multiplicar por -1, pois o número na frente de x é negativo. 8k<44 A gente inverte o sinal de desigualdade pois a gente multiplicou a inequação por -1. k<44 8 k<11 4 b)Solução:A gente procede de forma semelhante como na questão anterior.Mas nesse caso, como queremos que a equação tenha duas raízes reais iguais, faremos então Δ=0, mas a resolução é parecida com a letra a.

c)Solução:A gente procede de forma parecida com a letra a,mas teremos que fazer Δ<0, pois queremos que a equação tenha duas raízes imaginárias, mas a solução é parecida.Mas atenção:se você multiplicar a inequação por -1, não esqueça de inverter o sinal da desigualdade, ou seja, nesse caso, o sinal de menor(<) passará a ser o sinal de maior(>). Ex3: Sendo a função y=3x2-2x+14, calcule: a)f(1) b)f(-2) c) o valor de x quando y= 22 a) Solução:Para calcular f(1), basta substituirmos o número entre parênteses, no caso o número 1, na equação, isto e, onde tiver x na equação a gente vai substituir por 1.Ou seja: y=3.12-2.1=14 y=3-2+14 y=15 b)Solução:Faremos da mesma forma que na questão anterior, mas agora o valor de x será igual a -2.Lembre-se:ao substituir x por um número negativo,sempre coloque o valor entre parênteses. Ao resolver, você deverá achar y=22. c)Solução:Como foi dado o valor de y, então a gente quer calcular o valor de x.Assim, deveremos colocar y=22 onde houver y na função, e depois resolvera equação do 2º grau que resultar, isto é: y=3x2-2x+14 22=3x2-2x+14 -3x2+2x+22-14=0 -3x2+2x+8=0 Resolvendo essa equação -3x2+2x+8=0, calculamos as soluções do problema que são: x’=-4 e x’’=2. 3

FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMICA Função Exponencial f(x)=ax, com a>0 e a≠1.........a é a base e x é o expoente. Propriedades a0=1 a1=a a-n= 1 an am.an=am+n am:an=am-n (am)n=am.n n

m

√am=an Ex: 5-2= 1 = 1 52 25 Equações Exponenciais Resolução: Para resolver uma equação exponencial, temos que tornar os dois membros da equação com bases iguais.Em seguida, aplica-se as propriedades devidas, elimina-se as bases , trabalhando-se com os expoentes e resolve-se a equação resultante.Para colocar os membros na mesma base, temos que fazer a simplificação dos valores, como se fossemos calcular o MMC. Ex: Calcule x na equação 7x=49 Solução:Temos que transformar 49 na base 7.Para fazer isto, teremos que dividir 49 por 7 sucessivas vezes, até obter o número 1, como se fôssemos retirar o MMC.Assim, temos que 49=72. 7x=49 7x=72 Elimina-se as bases e trabalha-se com os expoentes. x=2

Muitas vezes, é preciso fazer uma substituição de variáveis. Ex: Resolva a equação 5x+1+5x+2=30 Solução:Vamos ter que desmembrar a equação, aplicando as propriedades da potenciação.Vejamos: 5x+1+5x+2=30 5x.51+5x.52=30 Podemos fazer 5x=y, obtendo: y.51+y.52=30 5y+25y=30 30y=30 Agora que calculamos o valor de y, teremos que calcular o valor de x,.Substituindo y=1 na expressão 5x=y, obtemos: y=1 5x=y 5 x=1 Lembre-se que 1 é qualquer número elevado a zero.Assim, podemos fazer 1=50 e obter: 5x=50

x=0 Gráficos 1º Caso: a>1

y

Função Crescente 1 0

x

2º Caso: a<1 y Função Decrescente 1 0

x

Ex:Construa o gráfico das funções y=2x e y=(

1

)x

2

Função Logarítmica Dados dois números a e b, chama-se logaritmo de b na base a ao número x, tal que log ab=x, sendo que ax=b.A condição de existência é b>0, a>0 e a≠1 Ex: log 28=3, pois 23=8 log 416=2, pois 42=16 log 100,01= -2, pois 10-2=0,01

*log ab+log ac=log a(b.c) *log ab- log ac=log a(b/c) *log abk=k.log ab *alog a b=b k

* log ab = log a√b Conseqüências e Propriedades da definição k Se 1 0 você ver o símbolo ln k, então estaremos trabalhando com o b *log a =0, pois a =1 * -log a = log a1/b *log aa=1, pois sistema a1=a de base “e”.Obs: Obs: *Se log ab=log ac, então b=c ln e=1 *Quando não aparecer a base, então fica subentendido que elnk=k a base é 10.

Exercícios 1ª)Resolva as equações exponenciais: a)11(x-2)=1 b)3x(x+2)=27 c)2x= 1 44 x d)49 =√343 e)22x-3.2x+2=0 f)4x-9.2x+8=0 2ª) Resolva as equações: a)log 3(2x-1)=4 b)log x(x+6)=2 3ª)Calcule o valor de cada logaritmo: a)log 93 b)log 4√2 c)3. log x=2.log8 4ª)Resolva as equações abaixo: a) log (x-5)=2.log(11-x) b) log 4 x = log 2 x 2 4ª)Resolva as equações, sendo ln 2=2,7; ln 3=1,1. a) ex=4 b)6x=e a)Solução:Vamos ter que aplicar ln aos dois membros e aplicar as propriedades de logaritmo.Mas antes teremos que fazer as devidas transformações.Por exemplo, a gente sabe que 4=22.Assim, teremos:

ex=4 ex=22 ln ex=ln 22

Aplicando-se a propriedade do expoente que vai passar multiplicando, teremos: x.ln e=2.ln 2 Lembre-se que ln e=1 x.1=2.0,7 x=1,4 b)Solução:Fazendo como na questão anterior mas lembrando que 6=2.3, teremos: 6x=e ln 6x=ln e x.ln 6=lne x.ln2.3=ln e Aplicando-se a propriedade do logaritmo do produto que passa a ser a soma dos logaritmos, tem-se: x.(ln 2+ ln 3)=ln e ln e=1 x.(0.7+1,1)=1 x.1,8=1 x= 1 1,8 x≈0,55 5ª) x(t)=C.ekt

NÚMEROS COMPLEXOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1) Números Complexos. Podem ser escritos por: z=a+bi. Ex: z=2-i; z=3-4i, etc. Relação Fundamental:

i= √-1 ,de onde vem i2= -1

; i3= -i, i4=1

Essa relação será usada daqui em diante. Operações Fundamentais. 1-Adição e Subtração. Somamos ou subtraímos as partes real com real e imaginaria com imaginaria. Ex: (2+i)+(1-2i)=(2+1)+(i-2i)=3-i 2-Multiplicação; Multiplicamos normalmente, mas usamos a relação fundamental. Ex: (5-2i).(4-i)=20-5i-8i+2i2= 20-13i+2.(-1)= lembre-se:i2= -1 20-2-13i=18-13i 3-Divisão *Conjugado. Sendo um número complexo z=a+bi, damos o nome de conjugado de z ao número z ,tal que z = a-bi Ex.:Sendo z = 3-2i,o conjugado de z é z = 3+2i *Definição da divisão: Sendo z1 e z2 dois números complexos, a divisão z1/z2 é um número z3, tal que z3 é obtido multiplicando-se z1 pelo conjugado de z2.Veja: Ex:Dividir 2+i por 1-4i. 2) Função Polinomial e Equações Polinomiais

Polinômio é a função dada por f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+...anxn, onde a0,a1,a2,a3,...an sãos coeficientes. Ex: f(x)=1+2x+3x2-x3 g(x)= 14-x5 h(x)=2+x-4x8 Quando o polinômio for incompleto ( ou seja, tiver algum termo igual a zero), devemos torná-lo completo, isto é, acrescentar zero(0) onde for preciso. Ex: f(x)=1+2x2+3x3(incompleto, pois o termo em x é zero) f(x)=1+0x+2x2+3x3(completo) Para dividir um polinômio por um binômio ax+b=0, calculamos a raiz do binômio e fazemos P( r), sendo r a raiz do binômio. Ex:Divida o polinomio P(x)=x3+8x-4=0 pelo binomio 5x-10. Solução:para dividir, temos que resolver a equação 5x-10=0 e calcular sua raiz, ou seja, x=2 e fazer P(2), isto é: P(2)=23+8.2-4=8+16-4=20 3-Resolução de equações polinomiais. *Multiplicidade de uma raiz Uma raiz de uma equação é múltipla, se ela se repetir varias vezes.Assim , ela terá multiplicidade 2 se for repetida duas vezes, multiplicidade 3 se for três vezes, e assim sucessivamente. Ex:Na equação x3+9x2+27x+27=0, o número -3 é uma raiz tripla, pois ela é a única raiz da equação, isto é, o conjuntosolução da equação é S={-3,-3,-3}. Ex: Na equação (x-2)3.(x-5)8, qual a multiplicidade das raízes? *Raízes complexas. “Se um número complexo é raiz do polinômio, então o seu conjugado também é.” Propriedade: *Se a soma dos coeficientes é 0, então o número 1 é uma das raízes da equação. *Dispositivo de Briott-Ruffini Ajuda a resolver equações de qualquer grau.

Para aplicá-lo, deveremos sempre usar o polinômio completo.Fazemos o seguinte: *Colocamos como 1º número a raiz que foi dada. *Em seguida, escreve-se os coeficientes do polinômio completo, em ordem decresente. *Na parte de baixo, conserva-se o 1º valor do coeficiente do polinômio, sendo que este será o quociente da divisão e é também um polinômio de grau igual a uma unidade a menos.Veja o esquema:Se o valor a for uma raiz da equação f(x)=anxn+an-1xn1 +an-2xn-2+...+a0, devemos fazer: a

an an-1 an-2 ............... a0 an a1 a2 ………… 0 Note que: *O polinomio abaixo da linha(anxn-1+a1xn-2+a2xn-3+...) tem um grau a menos que o polinOmio original, e o seu 1º termo é igual ao 1º termo do polinômio original. *O último número a partir do polinômio de baixo deve ser sempre igual a zero. *Todos os termos, a partir de a1, a2 etc deve ser encontrada multplicando-se o coeficiente anterior pela raíz e em seguida deve ser somado ao valor imediatamente aimca, no polinômio superior, isto é: a1=an.a+an-1 a2=a1.a+an-2 Ex:1-Resolva a equação 6x3+7x2-14x-15=0, sabendo-se que -1 é uma das raízes. Solução:Foi dada uma raíz.Logo, vamos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini. -1 6 7 -14 -15 6 1 -15 0 O polinômio resultante fica com um grau a menos, isto é, ele passa a ser do 2º grau e pode ser escrito como:

6x2+x-15=0 Agora basta resolver essa equação do 2º grau e achar as soluções da equação do 3º grau que foi dada.Assim, temos: S={-1; -5/3; 3/2} 2-Qual a solução da equação x4+2x3-3x2-7x+6=0? Solução:notemos que a soma dos coeficientes é igual a 0.Assim, temos que pela propriedade que 1 é raiz da equação.Então basta usar o dispositivo de Briot-Ruffini, sendo que 1 é uma das raízes. 3-Qual a solução da equação x4+x3+5x2+4x+4=0, se i é raiz da equação? Solução:Se o número comnplexo i é raiz, então seu conjugado( -i) também é raiz.Basta usar o dispositivo de Briot-Ruffini duas vezes, uma vez para i e outra vez para –i. Relações de Girard. Equação do 3º Grau. Sendo a equação do 3º grau igual a ax3+bx2+cx+d=0 e r1, r2 e r3 as suas raízes, temos as seguintes relações: r1+r2+r3= -b a r1.r2+r1.r3+r2.r3= c a r1.r2.r3= -d a Ex:Sendo m, n e k as raízes da equação x3-27x2+8x-14=0, calcule as relações de Girard.

Exercícios: 1ª)Resolva as equações: a)x2+9=0 b)x2+4=0 c)x2+4x+5=0 d)x2+6x+13=0 2ª)Monte a equação cujas raízes são 2, -1 e 3.

3ª)Qual a equação de menor grau que apresenta como raízes os números complexos i e 2i? 4ª)Determine a multiplicidade das raízes de cada equação e determine o grau da equação. a)(x-2)3.(x+4)5 b)(x+1)7.(x-3)4.x 5ª)(UFRS)Se os números -3, a e b são as raízes da equação x3+5x2-2x-24=0, então o valor a+b é: a)-6 b)-2 c)-1 d)2 e)6 6ª)(PUC-RJ)Sobre as raízes da equação x3-x2+3x-3=0, podemos afirmar: a)Nenhuma é real b)Há uma raiz real e duas imaginárias. c)Há 3 raízes reais cuja soma é 3 d)Há 3 raízes reais cuja soma é 1. e)Há 3 raízes reais cuja soma é -3. 7ª)A partir da equação x3+4x2-8x+16=0, calcule o valor das seguintes expressões, sendo m, n e k suas raízes. a) 1 + 1 + 1 m n k b)(m+n+k)2-2.(mn+kn+km) 8ª)As raízes da equação x3-10x2+31x-31=0 são dadas por m, n e k.Se elas representam a altura, largura e o comprimento de um paralelepípedo, então, o volume e a área total do sólido é: a)62 e 62 b)31 e 31 c)31 e 62 d)10 e 31 e)10 e 62 9ª)Resolva as equações abaixo. a)4x3-20x2+33x-18=0, sendo que uma das raízes é 2. b)x3-9x2+23x-15=0, sendo uma das raízes é 3.

c)x3-10x2+31x-30=0, sendo que uma raiz é a soma das outras duas. d)x3-x2-18x+12=0, sendo que uma das raízes é -3 e)x3-5x2+2x+2=0. f)x3+5x2-6=0 10ª)(UFPA-2006-Adaptada) O polinômio P(x) de menor grau, de coeficientes reais, que tem 3 e (2 – i) como raízes, sendo i a unidade imaginária, terá o resto de sua divisão por (x – 1) igual a: a)-4 b)-2 c)-1 d)2 e)4 11ª)Divida o polinômio P(x)=x4+2x3-8x+14=0 pelo binômio 2x+8

Anexo VITAMINA A (RETINOL)

D (ERGOCALCIFEROL)

E (TOCOFEROL)

K (QUINONA) B1(TIAMINA)

B2 (RIBOFLAVINA) B6 (PIRIDOXINA) B12 (COBALAMINA)

C (ÁCIDO ASCÓRBICO)

FONTES LATICÍNIOS,GEMA DE OVO, FÍGADO, HORTALIÇAS VERDES, TOMATE, CENOURA,ETC. FÍGADO, ÓLEO DE PEIXE,LATICÍNIOS.É FABRICADA NA PELE PELOS RAIOS SOLARES.

PRINCIPAIS FUNÇÕES DEFICIÊNCIA PROTEGE OS TECIDOS PELE ÁSPERA E SECA,CEGUEIRA EPITELIAIS E ATUA NA NOTURNA,XEROFTALMIA,ETC. VISÃO

FACILITA A ABSORÇÃO OSSOS FRACOS E DEFORMADO DE CÁLCIO E DE (RAQUITISMO). FÓSFORO PARA A FORMAÇÃO DOS OSSOS. CEREIAS, HORTALIÇAS PROTEGE AS PARTES EM ANIMAIS, ESTERIVERDES, ÓLEOS VEGETAIS, DAS CÉLULAS LIDADE,ANEMIA,LESÕES MUSCULARES E GEMA DO OVO. CONTRA RADICAIS NERVOSAS. LIVRES. LATICÍNIOS,FÍGADO,CARNES, AUXILIA NA HEMORRAGIAS E DIFICULDADE DE FRUTAS, HORTALIÇAS. COAGULAÇÃO DO COAGULAÇÃO. SANGUE. FEIJÃO, FRUTAS, FIGADO, COENZIMA NA INFLAMAÇÃO DOS CARNES, LEGUMES. PRODUÇÃO DE NERVOS,PARALISIA,BERIBÉRI(ATROFIA ENERGIA PELA RESPI- MUSCULAR) RAÇÃO CELULAR. OVOS, LATICÍNIOS, FÍGADO, COENZIMA NA RACHADURA NOS CANTOS DA BOCA, LESÕES HORTALIÇAS. RESPIRAÇÃO NA PELE E SISTEMA NERVOSO. CELULAR. BANANA, VERDURAS, COENZIMA NO LESÕES NA PELE, NERVOS E MÚSCULOS. CARNES, FÍGADO,OVOS. METABOLISMO DOS AMINOÁCIDOS. CARNE,FIGADO, OVO, FORMAÇÃO DAS ANEMIA E LESÕES NOS NERVOS LATICINIOS HEMACIAS E METABOLISMO DOS ÁCIDOS NUCLÉICOS GOIABA, CAJU, HORTALIÇAS SÍNTESE DE TECIDOS CONJUNTIVOS E CAPILARES E FRUTAS EM GERAL COLÁGENO, PROTEGE FRACOS,ESCORBUTO(INCHAÇOS NAS A CÉLULA CONTRA GENGIVAS) RADICAIS LIVRES.