Polinomios

Curso de Apoyo en Matemática

6. ECUACIONES POLINOMICAS Y RACIONALES En las unidades anteriores hemos estudiado las ecuaciones de primer y segundo grado. ax+b =0 a≠0 ax +bx+c =0 a≠0 2

Estas son casos particulares de ecuaciones de carácter más general, las llamadas ecuaciones polinómicas. y éstas a su vez de las ecuaciones racionales. Para estudiar estas ecuaciones será necesario introducir previamente algunos conceptos como los de polinomios y expresiones racionales, con sus cuatro operaciones, y la noción de divisibilidad que ya vimos en la Unidad 1 para números enteros.

6.1. Polinomios En una plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente rectangular de 12 m. de perímetro, de modo que sus dimensiones sean números enteros, pero se ha puesto además la condición de que el producto de una de las dimensiones por el cuadrado de la otra sea de 16 m. ¿Qué dimensiones deberá tener la fuente?. En la resolución de este ejemplo se utilizan ecuaciones polinómicas, tema que abordaremos en la primera parte de esta unidad. Llamamos polinomio a toda expresión de la forma an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

Polinomio

donde

n ∈ N0

y

an , an-1 , ... , a1 , a0 son números

reales, que denominamos coeficientes.

Polinomio nulo

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo.

Ejemplo: En el polinomio 4 x5 + 3 x4 - 2 x3 -

1

x+1

2

se tiene: • Grado → 5 • Coeficientes → 4, 3, -2, 0, - 1 , 1

Si an ≠ 0 , decimos que el polinomio tiene grado n y an es llamado el coeficiente principal. El coeficiente a0 recibe el nombre de término independiente.

2

• Coeficiente principal → 4 • Término independiente → 1 Página 98

El polinomio nulo carece de grado.

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Es posible asociar a cada polinomio an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0

Función Polinómica

p: R → R definida por

una única función

p (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 , y recíprocamente, a cada función de esta forma es posible asociarle un polinomio. Llamamos a la función p(x), función polinómica.

6.1.1. Operaciones con Polinomios A continuación mostraremos cómo se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios. 6.1.1.1. Suma de polinomios Calculemos la suma de los polinomios: p (x) = 3 x 2 + 2 x + 1 Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro. Si falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamos escribiendo dicho término con coeficiente 0, o dejando el espacio vacío.

p (x)

=

q (x)

=

p (x) + q (x)

=

q (x) = 5 x 3 - 7 x + 8 .

y

+ 3 x2

+2x

+1

5 x3

+ 0 x2

-7x

+ 8

5 x3

+ 3 x2

-5x

+9

+

6.1.1.2. Resta de polinomios Para este caso también es conveniente ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro.

Calculemos ahora la resta de los polinomios p (x) = x 5 + 2 x 4 - 7 x 3 + 8

Observemos que... hemos obviado los términos con coeficiente nulo. Siempre supondremos que los términos faltantes tienen coeficiente 0.

y

q(x) = x 5 + 5 x 4 - 4 x 2 + 5.

p (x)

=

x5

+ 2 x4

q (x)

=

x5

+ 5 x4

p (x) – q (x)

=

- 7 x3

+8

–

- 3 x4

- 7 x3

- 4 x2

+5

+ 4 x2

+3

El polinomio que resulta de la suma o la resta puede ser el polinomio nulo, o su grado puede ser menor o igual al del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando. Página 99

Curso de Apoyo en Matemática grado ( p (x) ± q (x)) ≤ máx {grado p (x), grado q (x)}

6.1.1.3. Producto de polinomios Para multiplicar los polinomios p (x) = 7 x 3 - 5 x + 2 y q (x) = 2 x 2 + 5 x - 1 , una disposición práctica es la siguiente

Para calcular el producto de dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro y sumamos, es decir, aplicamos la propiedad distributiva.

p (x)

7 x3

-5x

+2

q (x)

2 x2

+5x +5x +10 x

-1 -2

+15 x

-2

× - 7 x3 35 x 4 p (x) . q (x)

14 x 5 14 x 5

+ 35 x 4

- 10 x 3 - 17 x 3

- 25 x 2 + 4 x2 - 21 x 2

Observemos que... cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

grado ( p (x) . q (x)) = grado p (x) + grado q (x)

6.1.1.4. División de polinomios Recordemos que en la Unidad 1 estudiamos el algoritmo de la división, también llamado algoritmo de Euclides, para la división de números enteros. Así, si queremos dividir 7 por 4 obtenemos Al realizar una división entre dos números enteros puede que el resto sea distinto de cero.

Dividendo → Resto →

7 3

4 1

→ divisor → cociente

Se verifica entonces que Pero el resto de la división entre dos números enteros nunca puede ser negativo.

Página 100

7=4.1+3 , y el resto es siempre menor que el valor absoluto del divisor, en este caso, 3 < |4|.

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Vamos a utilizar esta misma idea para realizar la división de polinomios. Ejemplo: Hallemos el cociente y el resto de la división entre los polinomios a (x) = 8 x 4 + 6 x 3 - 4

8x 4

+ 6x 3

-4

- 8x 4 0x 4

+ 6x 3

-4

- 6x 3 0x 3

-4

+

cociente: q (x) = 4 x2 + 3 x resto:

b (x) = 2 x 2 .

y

r (x) = - 4

2x 2 4x 2 + 3x

+

Ejemplo: Hallaremos el cociente y el resto de la división entre a (x) = - 4 x 3 + 3 x 2 +6 x 4 - 5

y b (x) = - x + 2 x 2 .

6x 4 - 4x 3 + 3x 2 + 0x - 5 + - 6x 4 + 3x 3 cociente: q (x) = 3 x2

-

1 5 x + 2 4

+

resto: r (x) =

5 x-5 4

+

2x 2 – x 1 5 3x 2 - x + 2 4

- x 3 + 3x 2 + 0x - 5 1 x3 - x2 2 5 2 x + 0x - 5 2 5 5 - x2 + x 2 4 5 x -5 4

Al dividir los polinomios a (x) y b (x) se obtiene a(x) b(x) r(x) q(x) entonces

Observemos que ...

a (x) = b (x) . q (x) + r (x) donde r (x) = 0 ó grado r (x) < grado b(x)

ü El resto de una división puede ser el polinomio nulo, o en caso contrario, el grado del resto es menor que el grado del divisor.

ü Antes de realizar una operación es conveniente ordenar y completar el polinomio dividendo y el polinomio divisor.

Página 101

Curso de Apoyo en Matemática

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1) Dados los siguientes polinomios a (x) = - 3 x + 5 x 3 + 3 x 2 c (x) = 2 x 2 + 3

b (x) = 4 x 2 - 6 x - 7 d (x) = 3 – x + x 2

Efectuar las siguientes operaciones a) ( a (x) + b (x) ) . c(x) b) a (x) – ( c (x) )2

b) b (x) – d (x) . c(x)

2) Hallar el cociente y resto de la división entre a (x) y b (x) a) a (x) = 2 x 7 + 3 x 6 + 18 x 3 + 29 x + 10 b (x) = 2 x 2 + 3 x b) a (x) = 2 x 5 + 8 x 3 - x 6 b (x) = x 2 + 2 x

3) ¿Es cierto que existe un polinomio k (x) tal que 6 x 6 - 9 x 4 + 10 x 2 - 15 = k (x) (2 x 2 - 3) ?.

6.1.2. Raíces de un polinomio. Ecuaciones polinómicas

Raíz de un polinomio

Un número a es una raíz de un polinomio p (x) si el polinomio se anula para ese valor. Es decir, x = a es raíz del polinomio p (x) sí y sólo sí p (a) = 0.

Ejemplo: p (1) = 15 - 13 = 0

x = 1 es raíz de p (x) = x 5 - x 3 .

p (-1) = (-1)5 - (-1)3 = 0

También x = -1 es raíz de p (x).

p (2) = 25 - 23 = 24 ≠ 0

Pero x = 2 no es raíz de p (x).

Página 102

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Ecuaci ón polinómica

Denominamos ecuación polinómica a toda ecuación de la forma p (x) = 0 , donde p (x) es un polinomio.

Resolver una ecuación polinómica es hallar los valores de x que anulan el polinomio; es decir, equivale a encontrar sus raíces.

6.1.3. Divisibilidad de Polinomios

Divisibilidad

Si al realizar la división entera entre los polinomios a (x) y b (x) el resto es nulo, decimos que a (x) es divisible por b (x) , o que b (x) divide a a (x) . En este caso, podemos expresar al polinomio a (x) como a (x) = b (x) . q(x).

Ejemplo: Aplicando el algoritmo de la división obtenemos que: 20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x = (5 x 3 + 3 x 2 - 6) . (4 x 2 - x) luego 4 x 2 - x divide a 20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x y 5 x 3 + 3 x 2 - 6 divide a 20 x 5 + 7 x 4 - 3 x 3 - 24 x 2 + 6 x

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al reemplazar la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas.

Aplicando el algoritmo de Euclides para dividir un polinomio p (x) por (x - a) obtenemos p (x) = (x - a) . q (x) + r (x) donde r (x) = 0 ó grado r (x) < grado (x - a) = 1, es decir r (x) = r es un polinomio constante. Entonces podemos expresar

El valor numérico del polinomio p (x) = 5x4 – 4x2 + 6x - 1 para x = 2 es 4

p (x) = (x - a) . q (x) + r Si a es raíz del polinomio p (x) , entonces

2

p (2) = 5.(2) – 4.(2) + 6.2 – 1 = 51

0

= p (a) = (a - a) . q (a) + r = r

es decir, r = 0.

Esta afirmación es un caso particular del Teorema del Resto.

Luego, si a es raíz del polinomio p (x), entonces el resto de la división entre p (x) y (x - a) es 0; es decir, (x - a) divide a p (x).

Página 103

Curso de Apoyo en Matemática 6.1.4. Regla de Ruffini Cuando tenemos que dividir un polinomio p (x) por uno de la forma (x - a), es conveniente utilizar la llamada regla de Ruffini. Este algoritmo permite prescindir de la notación de variable x, aunque la ubicación de los coeficientes de cada polinomio delata el monomio al cual pertenece. A continuación se muestra mediante un ejemplo cómo se aplica la Regla de Ruffini. Observa con atención ambas divisiones y trata de explicar con tus propias palabras comparando cada paso del procedimiento en la división convencional y en la regla de Ruffini

División convencional 3x 3 + 7x 2 + 6x + - 3x 3 - 6x 2 x 2 + 6x + - x 2 - 2x 4x + - 4x

-1

x+2 3x + x + 4 2

-1 -1 -8 -9

Regla de Ruffini 3 -2 3

7 -6 1

6 -2 4

-1 -8 -9

Cociente: q(x) = 3x 2 + x + 4 Resto: r(x) = - 9

Cociente: q(x) = 3x 2 + x + 4 Resto: r(x) = - 9 ü Para aplicar la regla de Ruffini es indispensable ordenar y completar el polinomio dividendo. Atención

ü El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del polinomio dividendo.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 4) a) Hallar el resto de la división de los polinomios a (x) = x 3 + 2 x + 12 y b (x) = x - 2 b) Idem al anterior pero ahora tomando como divisor c (x) = x + 2 c) Indicar si a (x) es divisible por b (x) o por c (x) .

5) Hallar el cociente y el resto de la división para los siguientes pares de polinomios. a) a (x) = x 6 + 4 x 5 - 7 x 3 - 4 , b (x) = x + 1 b) a (x) = - 2 x 5 - 4 x 4 - x 3 - 8 , b (x) = x + 2

Página 104

Ecuaciones Polinómicas y Racionales 6.1.5. Factorización de Polinomios Analicemos una de las consecuencias del siguiente hecho: Si a es raíz de un polinomio p (x) entonces p (x) = (x - a) . q (x). Ejemplo: Consideremos p (x) = x 3 - x 2 - 14 x + 24. Anteriormente comprobamos que 1 y -1 son raíces del polinomio p (x) = x5 - x3 , entonces podemos escribir p (x) = x3 (x - 1)(x + 1). Por lo tanto las 5 raíces son x1 = 1, x2 = -1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0.

Como p (2) = 8 - 4 - 28 + 24 = 0 entonces 2 es una raíz de p (x) y p (x) = (x - 2) q (x) . Si aplicamos la regla de Ruffini para calcular obtenemos: q (x) = x 2 + x - 12

q (x)

cuyas raíces podemos calcular como hemos visto anteriormente, y son x 1 = 3, x 2 = - 4. Luego, podemos expresar a q (x) como sigue q (x) = (x - 3) (x + 4). Luego p (x) = (x - 2) (x - 3) (x + 4).

Factorización

Los casos antes analizados nos muestran la conveniencia de expresar un polinomio mediante productos de polinomios de menor grado. Este proceso se denomina factorización. Este procedimiento es útil para hallar las raíces de un polinomio, ya que es más sencillo encontrar las raíces de cada factor que las raíces del polinomio original.

Factor Común

A veces ocurre que en un polinomio p (x) la variable x aparece en todos los términos, en estos casos resulta conveniente extraer factor común.

Observemos que... el procedimiento consiste en: w extraer la variable x de cada término elevada a la menor de sus potencias w extraer un número que es factor de todos los coeficientes.

Atención

Ejemplo: p (x) = 7 x 5 + 5 x 4 + x 3 = x 3 (7 x 2 + 5 x + 1) q (x) = 2 x 4 - 6 x 3 + 4 x 2 = 2 x 2 (x 2 - 3 x + 2) r (x) = - 4 x 7 - 8 x 3 + 4 x 2 + 16 x = 4 x (- x 6 - 2 x 2 + x + 4)

Siempre podemos controlar que el producto que obtuvimos es correcto aplicando la propiedad distributiva.

Página 105

Curso de Apoyo en Matemática Recordemos que una diferencia de cuadrados puede escribirse como producto.

D iferencia de Cuadrados

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

Ejemplo: Observemos que... todo número positivo es el cuadrado de su propia raíz cuadrada.

p (x) = x 2 - 25 = (x - 5) (x + 5) q (x) = x 4 - 9 x 2 = (x 2 )2 - (3 x)2 = (x 2 - 3 x) (x 2 + 3 x) r (x) = x 2 - 6 = x 2 -

Factor Común por Grupos

( 6 )2

= (x - 6 ) (x + 6 )

Algunos polinomios presentan una estructura que nos permite formar grupos de igual cantidad de términos y sacar factor común en cada uno de esos grupos. Una vez hecho esto, aparece un nuevo factor común en todos los grupos. El término técnico de este procedimiento es extracción de factor común por grupos.

Ejemplos: p (x) = 7 x 5 - 5 x 4 + 14 x - 10 = (7 x 5 - 5 x 4 ) + (14 x - 10) = x 4 (7 x - 5) + 2 (7 x - 5) = (x 4 + 2) (7 x - 5) q (x) = x 7 + 3 x 3 + 3 x 8 + x 2 - 2 x 5 – 2 = (3 x 8 + x 7 - 2 x 5 ) + (3 x 3 + x 2 - 2) = x 5 (3 x 3 + x 2 - 2) + (3 x 3 + x 2 - 2) = (x 5 + 1) (3 x 3 + x 2 - 2) Analicemos ahora el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Al desarrollar (x + 3)2

obtenemos tres términos:

(x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9 (x + 3)2 = (x + 3) (x + 3)

Página 106

w en uno aparece el cuadrado de x, w en otro aparece 9 que es el cuadrado de 3, w y en otro aparece 6 x que es el doble del producto entre x y 3.

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

Al desarrollar (x - 3)2 , obtenemos una expresión similar donde la única diferencia está en el término del doble producto, que aparece restando.

2

(x - 3) = (x - 3) (x - 3)

(x - 3)2 = x 2 - 6 x + 9 A las expresiones en el miembro derecho se las denomina Trinomio Cuadrado Perfecto. Generalizando estos resultados para el cuadrado de cualquier binomio:

Trinomio Cuad rado Perfe c to

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2 a2 - 2 a b + b2 = (a - b)2

Ejemplo: p (x) = x 2 - 10 x + 25 = x 2 - 2 . 5 x + 52 = (x - 5)2 q (x) = 9 x 4 + 36 x 2 + 36 = (3 x 2 )2 + 2 . 3 x 2 . 6 + 62 = (3 x 2 + 6)2 2

1 1 r (x) = x – x + 0,25 = x – 2 . x+  2 2 2

2

1  = x -  2 

2

Ahora retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad... En una plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente ectangular de 12 m. De perímetro, de modo que sus dimensiones sean números enteros, pero se ha puesto además la condición que el producto de una de las dimensiones por el cuadrado de la otra sea de 16 m. ¿Qué dimensiones deberá tener la fuente?. Para traducir al lenguaje simbólico llamamos b y h a las dimensiones de la fuente rectangular

→

Simplificando la primer ecuación

→

2b + 2h = 12 b . h2 = 16 b+h=6 b=6–h (6 – h) h2 = 16

Reemplazamos en la segunda ecuación

→

6 h2 – h3 = 16 p (h) = h3 – 6 h2 + 16 = 0

Página 107

Curso de Apoyo en Matemática

p (1) = 13 – 6.12 + 16 = 11

Verificando con los primeros enteros positivos obtenemos que 2 es una raíz del polinomio

→

Usando la Regla de Ruffini

→

Calculando las raíces del polinomio de segundo grado se obtienen todas las raíces.

→

h1 = 2, h2 = 2 + 3 ,

Se descartan las raíces h2 y h3 porque sólo se buscan dimensiones enteras.

→

h=2 b=4

p (2) = 23 – 6.22 + 16 = 2 p (h) = (h – 2 ) (h2 – 4h – 8) h3 = 2 − 3

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 6) Expresar los siguientes polinomios como productos: a (x) = 3 x 3 - 12 x

b (x) = 6 x 6 - 54 x 2

c (x) = x 3 - x 2 + x - 1

d (x) = 3 x 3 - 6 x 2 - 3 x + 6

e (x) = 4 x 2 + 4 x + 1

f (x) = 3 x 6 - 12 x 5 + 9 x 4 - 3 x 2 + 12 x - 9

g (x) = 2 x 5 - 32 x

h (x) = 25 x 6 + 20 x 3 + 4

7) Hallar todas las raíces reales y complejas de los polinomios del ejercicio anterior.

6.2. Expresiones Racionales Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una velocidad superior en 1 km./h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en cada tramo? Si llamamos v a la velocidad con la que el peatón recorre el primer tramo, podemos expresar la velocidad con la que recorre el segundo tramo como v – 1. e Observa el siguiente cuadro recordando que v = , donde “v” representa la velocidad, “e” expresa t el espacio recorrido, y la variable “t” representa el tiempo empleado en recorrer esa distancia.

Página 108

Distancia

Velocidad

Primer tramo

8 km.

v

Segundo tramo

6 km.

v–1

Tiempo 8 v 6 v −1

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

El tiempo total invertido es

8 6 + = 4. v v −1

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones?

Para poder resolver el problema necesitaremos ahora trabajar con Expresiones y Ecuaciones Racionales:

Expresiones Racionales

Así como llamamos números racionales a los números que a se pueden expresar de la forma con a , b ∈ Z, y b ≠ 0, b llamamos expresiones racionales a las expre siones de la p( x) forma donde p (x) y q (x) son polinomios y q (x) q( x) no es el polinomio nulo. Ejemplo: a)

Recordemos que...

b)

p (x) recibe el nombre de numerador y q (x) el de denominador.

3 x

donde p (x) = 3, y q (x) = x .

- 3 x2 + 5 x - 1 x3 + 6 x 2 +

2

donde p (x) = - 3 x 2 + 5 x - 1, y q (x) = x 3 + 6 x 2 +

2.

c) x 3 + 3 x 2 - x – 3 donde p (x) = x 3 + 3 x 2 - x - 3, y q (x) = 1.

Al trabajar con expresiones racionales es conveniente tener

Expresiones Racionales Irreducibles

una

expresión

simplificarlas

equivalente cuando

más

existen

simple.

factores

Es

posible

comunes

al

numerador y al denominador, en caso contrario, la expresión racional recibe el nombre de irreducible. Una herramienta útil para simplificar expresiones racionales es la factorización de polinomios, que ya hemos estudiado en esta unidad. Ejemplo: Vamos a simplificar las siguientes expresiones racionales para que resulten irreducibles. Página 109

Curso de Apoyo en Matemática

x +1

p (x) =

Observemos con atención las factorizaciones que se han realizado en el numerador y el denominador de cada expresión racional.

=

x +x 2

x4 + x 2

q (x) =

=

x4 - 1 -x +2

r (x) =

3

x +1 1 = x ( x + 1) x

x -4 x -1 = x ( x + 2)

=

x 2 ( x 2 + 1) ( x 2 - 1)( x 2 + 1) -x+2

=

2

x ( x - 4)

=

x2 x2 - 1

(- 1) ( x - 2) x ( x - 2) ( x + 2)

6.2.1. Operaciones con Expresiones Racionales 6.2.1.1. Suma y resta EXPRESIONES DE IGUAL DENOMINADOR p ( x) q ( x) y m( x ) m( x ) de igual denominador, operamos como lo hacíamos con los números racionales : Para sumar o restar dos expresiones racionales Observemos la similitud con las sumas y restas de fracciones.

p ( x ) q( x) p( x) ± q( x) ± = m( x ) m( x ) m( x )

Ejemplo: Consideremos las siguientes expresiones algebraicas: - 2 x2 x2 - 9

y

x2 - 3 x x2 - 9

Su suma es: - 2 x2 x2 - 9

+

x2 - 3 x x2 - 9

= =

- 2 x2 + x 2 - 3 x x2 - 9

=

- x2 - 3 x x2 - 9

- x ( x + 3) -x = ( x - 3) ( x + 3) ( x - 3)

Y su resta es: - 2 x2 x2 - 9

Página 110

-

x2 - 3 x x2 - 9

=

- 2 x2 - ( x 2 - 3 x ) x2 - 9

=

- 3 x2 + 3 x x2 - 9

Ecuaciones Polinómicas y Racionales EXPRESIONES DE DISTINTO DENOMINADOR Dos fracciones se dicen equivalentes si una de ellas se ha obtenido simplificando la otra o bien si ambas, al simplificarse dan lugar a la misma fracción.

Ejemplo: 11

7

11 + = + 2 12 10 2 .3

7 2.5

5 . 11 + 2 . 3 . 7 = 2 2 .3 . 5 =

55 + 42

=

60

97

Recordemos que para sumar o restar números racionales de distinto denominador, debemos sumar o restar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.

Lo más conveniente es tomar como denominador común el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los dos denominadores. En la Unidad 1 vimos que una forma de hallar el m.c.m. es factorizar ambos denominadores y luego multiplicar los factores comunes y no comunes con el máximo exponente con el que aparecen en cada factorización.

60

Para sumar o restar expresiones racionales procedemos en forma análoga. Ejemplo: Calculemos En primer lugar, hallamos el común denominador de ambas expresiones, para lo que debemos factorizar cada uno de los denominadores.

Observemos que... 1 es raíz del polinomio x2 + 3 x - 4 .

2 3x - 6 x+3 2

x +3x-4 2

3 x 2 - 6 x + 3 = 3 ( x 2 - 2 x + 1) = 3 ( x - 1)2

Usando la regla de Ruffini para dividir x 2 + 3 x - 4 por x - 1, obtenemos 1

Observemos que... también es posible obtener las raíces de x2 + 3 x - 4 , resolviendo la ecuación x2 + 3 x - 4 = 0.

x

+

3 1 4

1 1 Entonces,

-4 4 0

x 2 + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4).

Así el común denominador será 3 (x - 1)2 (x + 4) Luego, 2 3x - 6 x+3 2

+

x x +3x-4

=

2

=

2 2

3 ( x - 1)

2 ( x + 4) + x . 3 ( x - 1) 3 ( x - 1) 2 ( x + 4)

=

+

x ( x - 1) ( x + 4) 3 x2 - x + 8 3 ( x - 1) 2 ( x + 4) Página 111

Curso de Apoyo en Matemática 6.2.1.2. Producto

Para multiplicar dos expresiones racionales Para multiplicar dos expresiones racionales procedemos en forma similar a como lo hacemos con los números racionales.

a( x) b( x )

y

c( x) , d ( x)

operamos como sigue: a( x) c ( x ) a( x).c( x) ⋅ = b( x ) d ( x ) b ( x ).d ( x) Ejemplo: Vamos a resolver y expresar como fracción irreducible la expresión:  - x 2 + 4 x   5 x + 15    .  x 2 - 9   x 3 - 4 x 2     - x2 + 4 x  (- x 2 + 4 x ) . (5 x + 15)   .  5 x + 15  =  x2 - 9  ( x 2 - 9) . ( x 3 - 4 x 2 )  x3 - 4 x2    =

- x ( x - 4) . 5 ( x + 3) ( x - 3) . ( x + 3) . x ( x - 4) 2

=

-5 x . ( x - 3)

6.2.1.3. División

Recordemos cuándo un número racional tiene inverso multiplicativo.

Llamamos inversa de una expresión racional expresión

b( x ) a( x)

a( x) b( x )

a la

si a(x) no es el polinomio nulo.

a( x) c( x) y b( x ) d ( x) multiplicamos la primera por la inversa de la segunda. Es decir, Para

dividir

dos

expresiones

racionales

a( x) c ( x ) a( x) d ( x) a ( x ).d ( x ) ⋅ = ⋅ = b( x ) d ( x ) b( x) c ( x ) b( x).c( x) Ejemplo: Calculemos

5 x + 10

3x+6 x +1 x -1 expresando el resultado como fracción irreducible. 2

Página 112

:

Ecuaciones Polinómicas y Racionales 5 x + 10 2

x -1 =

:

3x+6 x +1

5 x + 10

=

x -1

(5 x + 10) ( x + 1) ( x 2 - 1) (3 x + 6)

=

x +1 3x+6

.

2

5 ( x + 2) ( x + 1) ( x - 1)( x + 1) 3 ( x + 2)

5 3 ( x - 1)

=

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 8) Efectuar las siguientes operaciones: a)

2

+

x2 - 9

x +1

b)

x2 + 6 x + 9

x + 2  x2 - 9  x-2 c)  2 + 2 .  x -4 x - x - 6  4 x - 10 e)

2x+6 2

x -9

.

d)

x+5 x 2 - 25 x -2 x2 - 4

+

+

x+2 2 x2 - 6 x - 20 x+2

x2 - x - 6

.

21 2 x+ 2

-

x2 - 9 4 x - 10

x+3 x x-7 + : x -7 x+7 5

6.2.2. Raíces de una expresión racional. Ecuaciones racionales

Raíz de una Expresión R a cional

Un número a se dice que es una raíz de una expresión racional p( x) si p (a) = 0 y q (a) ≠ 0. q( x) Es decir, son los ceros del polinomio numerador que no anulan al polinomio denominador.

Ejemplo: 2x , puesto x-2 que, 0 es raíz del numerador y no anula al denominador.

a) x = 0 es raíz de la expresión racional p (x) =

( x - 5) 2 x-5 aunque anule al numerador, ya que también anula al denominador.

b) x = 5 no es raíz de la expresión racional q (x) =

Página 113

Curso de Apoyo en Matemática

Ecuación Racional

Una ecuación racional es una ecuación de la forma p( x) =0 q( x) donde p (x) y q (x) son polinomios y q (x) no es el polinomio nulo. Resolver una ecuación racional equivale a encontrar las raíces de la expresión racional asociada.

Observemos que... si simplificamos la expresión racional q (x) = Atención

( x - 5) 2 x-5

obtenemos otra expresión racional equivalente r (x) = x - 5; ( x - 5) 2 = 0 y x - 5 = 0 no x-5 tienen las mismas raíces.

sin embargo, las ecuaciones

Ejemplo: Resolvamos las siguientes ecuaciones racionales: a)

x2 - 4 5 x3

= 0 x1 = 2

2

x -4

= 0 , luego x 2 - 4 = 0

3

5x

x2 = - 2 b)

- x2 + 4 x3 - 8

= 0 x1 = 2

-x +4 2

Comparemos con el caso anterior.

3

x -8

= 0 , entonces - x 2 + 4 = 0 x2 = - 2

Pero x 1 = 2 es raíz de x 3 - 8, luego la única solución de la ecuación es x = - 2.

Página 114

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

c)

2 x +1 2 x+ 2 = x +3 x −1

Para resolver esta ecuación podemos proceder de diferentes modos, aquí mostraremos dos de ellos. Para resolver ecuaciones de este tipo hay que tener la precaución de descartar aquellos valores que anulen los denominadores de las expresiones racionales involucradas. En nuestro caso, x = -3 y x = 1 Primera forma:

En este primer intento, trabajamos directamente con las expresiones algebraicas.

2 x +1 2 x+2 = x +3 x -1

2 x +1 2 x+2 = 0 x +3 x -1 (2 x + 1) ( x - 1) - (2 x + 2) ( x + 3) ( x + 3) ( x - 1)

= 0

-9 x-7 = 0 ( x + 3) ( x - 1) -9x-7 = 0 x= -

7 9

Segunda forma: Aquí transformamos el problema para hallar las raíces de un polinomio de modo que coincidan con las de la expresión racional.

Observemos las condiciones x ≠ -3 y x ≠ 1 que deben tenerse en cuenta al hallar la solución.

2 x +1 2 x+2 = x +3 x -1 (2 x + 1) (x - 1) = (2 x + 2) (x + 3) 2 2 x - 2 x + x – 1 = 2 x2 + 6 x + 2 x + 6 -x–1 = 8x+6 - 7 = 9x x = -

7 9

Página 115

Curso de Apoyo en Matemática x -1

d) Resolvemos la ecuación como en la segunda forma del ejemplo anterior.

=

x2 - 1

x -1 2

=

x -1 y x ≠ -1

1 x

1 , entonces x ≠ 0 y x

x 2 - 1 ≠ 0, es decir, x ≠ 1

x (x - 1) = x 2 - 1 Debemos recordar siempre la importancia de verificar todos los resultados.

x =1 Luego, la ecuación no tiene solución dado que operando obtuvimos que debe ser x = 1, pero x = 1 anula el denominador de la expresión fraccionaria de la izquierda.

Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Sección 6.2 Un peatón recorre 14 kilómetros. en 4 horas. Los primeros 8 kilómetros los recorre a una velocidad superior en 1 km/h. a la que emplea en los siguientes 6 km. ¿Qué velocidad llevó en cada tramo? Al plantear el problema habíamos obtenido la ecuación

8 6 + = 4 que ahora estamos en v v −1

condiciones de resolver. Sumamos las dos expresiones racionales usando un denominador común

→

8(v − 1) + 6v =4 v (v − 1) 8(v - 1) + 6v = 4v(v – 1) 8v – 8 + 6v = 4v 2 – 4v 4v 2 – 18v + 8 = 0 2v 2 – 9v + 4 = 0

Resolvemos la ecuación de 2º grado obteniendo las raíces

→

v1 = 4

v2 =

1 2

Observemos que... la solución v 2 =

1 no es válida ya que 2

en ese caso la velocidad en los últimos 6 km. sería negativa pues

1 1 –1=– . 2 2

Por lo tanto la velocidad del peatón en el primer tramo es de 4 km/h mientras que en el segundo tramo es de 3 km/h Página 116

Ecuaciones Polinómicas y Racionales

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 9) El polinomio p (x) = x 4 - a x 3 + b x 2 tiene como raíces x = 3 y x = - 1. Hallar los valores de a y b. 10) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios sabiendo que r es una de ellas: a) a (x) = x 4 - x 3 + 3 x 2 - 3 x b) b (x) = x 3 - 3 x 2 - 2 x - 8 c) c (x) = 2 x 3 + 6 x 2 + 2 x + 6

, , ,

r=1 r=4 r=-3 1 3

d) d (x) = 3 x 4 + 5 x 3 - 5 x 2 - 5 x + 2,

r=

e) e (x) = 6 x 3 + 5 x 2 + 3 x + 1

r=-

,

1 2

11) Sabiendo que el polinomio p (x) puede expresarse como p (x) = a (x) . b (x), que a (x) representa una función lineal de pendiente 2 y raíz x = -3 , y que b (x) representa una función cuadrática de coeficiente principal 1 que corta al eje x en x = 2 y x = 4 , hallar las raíces de p (x). 12) El polinomio p (x) = 2 x 3 - 18 x 2 + x - 9 es divisible por q (x) = 2 x 2 + 1 . Hallar la única raíz real de p (x). 13) Encontrar los valores de a tales que al dividir x 2 + 5 x - 2 por x - a

el resto sea igual a -8.

14) Expresar los siguientes polinomios como productos y hallar sus raíces reales. a) a (x) = x 4 – x c) c (x) = 5 x 3 - 10 x 2 + 5 x – 10 e) e (x) = - 2 x 2 + 162 g) g (x) = 4 x 7 + 4 x i) i (x) = x 4 + 12 x 2 + 36

b) b (x) = 2 x 7 + 3 x 6 - 5 x 5 d) d (x) = x 2 - 6 x + 9 f) f (x) = x 4 – 81 h) h (x) = 3 x 2 – 15 j) j (x) = 2 x 3 - 48 x 2 + 288 x

15) Se localizó un globo meteorológico a cierta altura. A partir de ese momento, su altura sobre el nivel del mar se puede describir, en forma aproximada, por la fórmula 1 3 h (x) = 8 + (x - 12 x 2 + 47 x - 60), 16 donde x es medido en días y h en miles de metros. c) ¿A qué altura estaba el globo cuando fue localizado?. d) ¿Alcanzó otra vez esa altura?. e) Se sabe que al tercer día alcanzó una altura de 8000 metros. ¿Llegó en algún otro momento a esa misma altura?.

Página 117

Curso de Apoyo en Matemática 16) El desplazamiento lateral de una barra de choques, t segundos después del momento en que un vehículo la golpea, está dado por f (t) = k t (t - 3)2 a) Hallar el valor de k sabiendo que dos segundos después del impacto, el desplazamiento lateral es de 40 cm. b) Para ese valor de k, hallar los ceros de f (t). 17) El servicio meteorológico utilizó como modelo para la variación de la temperatura (en grados centígrados) durante cierto día, la siguiente fórmula p (t) = 0,04 t (t - 12) (t - 24) donde t está medido en horas, y t = 0 corresponde a las 6 am. ¿A qué hora la temperatura fue de 0º ?. 18) El crecimiento de dos poblaciones A y B responden a las siguientes fórmulas: 5 pA (t) = t + 30 ; pB (t) = t 3 - 12 t 2 + 44 t - 8 2 donde t es el tiempo de conteo expresado en semanas. Si ambas poblaciones coinciden en la cuarta semana, ¿tienen en algún otro momento el mismo número de individuos?.

19) Resolver las siguientes ecuaciones: a)

2 x -1 = 7 3x+2

b)

- 2- 7 x 1- x +1 = 4 5

c)

- 2- 4 x x -1 = +5 3 4

d)

2 x +1 x+3 =1+ x +3 x -1

e)

(2 x )2 x+4 x-4 = 2 x-4 x+4 x - 16

f)

x2 - 16 x2 . 3 = 0 x+2 x + 4 x2

g)

3 x3 + 3 x + 2 = x −1 x −1 x3 - 1

h)

i)

x + 10 2 ( x 2 - 4) + 2 = 0 x-4 x +4 x+4

j)

Página 118

x2 + x - 2 2

x -4

-

x2 + 2 x + 4 ( x + 2) 2

x+5 = 0 x -2 :

x3 - 8 x2 - 4

= 1