Condiciones Del Problema 1sobrex (1).docx

MATEMÁTICAS Y T.I.C.S Jorge Enrique bulla, Diana Carolina Sierra, Iván Ayala [email protected], [email protected], [email protected] Universidad Distrital Francisco José de Caldas – LEBEM

RESUMEN La siguiente situación matemática se ha llevado a cabo en el espacio de formación de 1

Tecnología en el aula, a saber: “sea Q un punto de 𝑓(𝑥) = {𝑥en el primer cuadrante. Una recta tangente a la gráfica que pasa por el punto Q genera con los ejes un triángulo rectángulo. ¿Cuáles deben ser las coordenadas del punto Q para que la longitud de la hipotenusa sea máxima o mínima?” Dicha situación ha generado polémicas, especulaciones y deliberaciones entre subgrupos del seminario. Por consiguiente, se ha de evidenciar las heurísticas manejadas en este grupoy la toma de decisiones con respecto a una solución pertinente, por último se concluirá con algunos apuntes que dan cuenta del adecuado manejo de las T.I.C.S. para un buen proceso de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas.

MANEJO DE TECNOLOGÍAS: En esta parte se ha de estipular el manejo de medios visuales para evidenciar los procesos realizados por el grupo para generar una solución. I.

ESTRATEGIA DE ABORDAJE DEL PROBLEMA: 1. Tenemos 2 funciones: 1 𝑥

𝑓(𝑥): 𝑔(𝑥):

−𝑏 𝑥+𝑏 𝑐

y

g(x)=(-bx/c)+b



f(x)=1/x 





(0,b)

(a,d)

x 

















(c,0)







1. El punto (a, d) siendo el punto q, con q є f(x). 2. Los puntos (0, b), (a, d), (c, 0) є g(x) con a, b, c, d> 0.

 Hallamos la recta tangente en el punto (x0,y0): 𝑓(𝑥):

1 𝑥

 La derivada de f(x): −1

𝑓 ′ (𝑥): 𝑥 2

 La ecuación de la ecuación recta tangente a la curva es: 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0  Ahora hacemos en la derivada de f’(x) con x=a: 𝑓 ′ (𝑎) =

−1 𝑎2

 Reemplazamos a f’(a) en la ecuación general de la recta: 𝑦=

−1 (𝑥 − 𝑎) + 𝑑 𝑎2

 Igualamos nuestra ecuación general de la recta con g(x): g(x)=(-bx/c)+b



y

f(x)=1/x







(0,b)

(a,d)

x 









(c,0)







y= (-1/a^2) (x-a)+d 





−𝑏 −𝑥 1 𝑥+𝑏 = 2 + +𝑑 𝑐 𝑎 𝑎  Resulta la ecuación de la forma: 𝑏𝑥 𝑥 1 − 2+ +𝑑−𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 Siendo b, c coeficientes y la variable x dado su grado 1 nos dice que la ecuación es lineal. 0=

Ahora en la siguiente gráfica tenemos otras ecuaciones que nos permitirán reconocer cual es la mínima longitud de la hipotenusa y cuál es la máxima:

g(x)=(-bx/c)+b



y

f(x)=1/x p(x)=dx/a 





h(a)=y (0,b)

l(x)=d

(a,d)

x 









(c,0)









y= (-1/a^2) (x-a)+d 



ℎ(𝑎) = 𝑦 𝑙(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 𝑝(𝑥) = 𝑎 Dado que en nuestra representación gráfica la intersección de todas nuestras funciones se dan en el punto (a, d) y en especial nuestras funciones h(a) y l(x) nos forman con ayuda de nuestros ejes del primer cuadrante, una familia de cuadriláteros los cuales poseen las siguientes características dadas algunas condiciones: 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑑, 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑑 ó 𝑎 > 𝑑, 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

Ahora la diagonal de longitud mínima que podremos encontrar en esta familia de cuadriláteros es la del cuadrado.El único punto que nos cumpliría con esta condición es que (a, d) = (1,1) con este punto se procede a reemplazar en las siguientes ecuaciones: 𝑓(1):

1 1

Esto nos confirma que el punto (1,1) pertenece a la función f(x). 0=

𝑏𝑥 𝑥 1 − 2+ +1−𝑏 𝑐 1 1 𝑏𝑥 −2 = −𝑥−𝑏 𝑐

En esta ecuación dado que a=d=1 se infiere que b y c sean iguales dado que: 𝑝(𝑥) ⊥ 𝑔(𝑥) Las coordenadas b y c en g(x) serán igual a 2, o sea que la función g(x) con b y c igual a 2 será: 𝑔(𝑥):

−2 𝑥+2 2

𝑔(𝑥): −𝑥 + 2 Ahora dado que la distancia entre los puntos (1,1) y (0,0) va a ser la misma que la distancia entre los puntos (1,1) y (2,0), o que la distancia entre los puntos (1,1) y (0,2) garantizada tanto por la construcción en la gráfica como en la solución analítica procedemos a calcular esta distancia: 2

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: √(𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑥2 − 𝑥1 )2

g(x)=(-bx/c)+b



y

f(x)=1/x p(x)=dx/a 





h(a)=y (0,b)

l(x)=d

(a,d)

x 









(c,0)







y= (-1/a^2) (x-a)+d 





Remplazando con nuestras coordenadas mencionadas anteriormente la longitud mínima de la 2

hipotenusa es √2. Por último miraremos cual es la longitud máxima de nuestra hipotenusa que pasa por el punto Q: 𝑠𝑖 𝑎 > 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑 < 1, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎) = 𝑑 𝑠𝑖 𝑎 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑 > 1 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑓(𝑎) = 𝑑

Dado que en los razonamientos realizados anteriormente mostramos que el cálculo de la distancia de la hipotenusa la podemos realizar solamente con las coordenadas (0,0) y (a, d) no podremos dar una distancia máxima sino la fórmula para encontrarla: 2

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: √(𝑑 − 0)2 + (𝑎 − 0)2 2

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: √(𝑑)2 + (𝑎)2

Dada la naturaleza de nuestro punto q que pertenece a f(x), nos indica que cuando crece nuestra variable independiente representada en nuestra coordenada (a), nuestra variable dependiente, o sea nuestra coordenada (d) decrece y se acerca a 0; si nuestra variable independiente decrece o se acerca a 0 nuestra variable independiente crece. En otras palabras: 1 =0 𝑥→∞ 𝑥 lim

1 =∞ 𝑥→0 𝑥 lim

Esto ya estaba indicado en las indagaciones que se hicieron a la función: 1 𝑓(𝑥): 𝑥 Dada que no es continua en el punto (0,0) no podremos saber cuál es la longitud máxima de la hipotenusa.

II.

ANALISIS DEL TRABAJO PROPUESTO PARA LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

REPRESENTACIONES DINÁMICAS Para entender este concepto y nuestros razonamientos en torno al problema se han de recurrir a ambientes de incertidumbre que se han generado en este espacio de formación acerca de los objetos matemáticos, de tal manera que se pueda cohibir las tecnologías y las representaciones de dicho objeto. Dentro de la formación docente se ha de tener claro las diferentes representaciones que implica cualquier objeto matemático, por lo cual se genera una pregunta abierta sobre la implicación de la derivada y sus diferentes representaciones en la situación dada. Análogamente se expone este caso para lograr mediar el conflicto cognitivo, a saber: ¿Qué significa 𝑥 2 ? ¿Esto?

¿Esto?

¿O de pronto sea la multiplicación de segmentos como lo vio Descartes? Bien, anteriormente se evidencian diversas representaciones de la expresión 𝑥 2 , culturalmente cada una de ellas ideas han sido desarrollando a través del tiempo. Cada una de ellas interpreta la simbología (𝑥 2 ), pero cada una de ellas, expresa ideas diferentes de tal manera que cada una de ellas se utiliza en diferentes contextos. Lo anterior ha sido mencionado con ánimo imbuir las relaciones del problema con las indagaciones realizadas por el grupo de trabajo, de tal manera que la situación tiene antecedentes de la siguiente índole: INDAGACIÓN DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS.

Función de proporcionalidad inversa1 Las funciones cuya expresión es y = k/x se llaman funciones de proporcionalidad inversa y su gráfica recibe el nombre de hipérbola, siendo k la constante de proporcionalidad.

Expresión Grafica

Propiedades de la función de proporcionalidad Inversa · Su dominio es el conjunto de los números reales a excepción del 0: Dom f = R - {0}. · Igualmente, su imagen es Im f = R - {0}. · La función es continua en todo su dominio. · Es simétrica respecto del origen de coordenadas (simetría impar) ya que · Si k > 0, la función es siempre decreciente en todo intervalo que no contenga a x = 0. Si k < 0, la función es siempre creciente en todo intervalo que no contenga a x = 0. · No tiene máximos ni mínimos. · Tiene por asíntota horizontal al eje de abscisas X · Tiene por asíntota vertical al eje de ordenadas Y

¿Qué de tecnología?

· El origen de coordenadas, C = (0, 0), es el centro de la hipérbola. Como docentes es clara la necesidad de estar actualizados en materia de tecnología (software, tableros inteligentes, calculadoras científicas, etc.)Pero hay que mencionar que los el ejes manejo · No tiene puntos de corte con de exhaustivo de software no implica un efectivo procesocoordenadas de enseñanza y aprendizaje dentro de la esfera de la educación básica y media. Por consiguiente se han de nombrar algunos razonamientos en cuanto al uso de las tecnologías y a los conceptos que se manejan en la resolución del problema para su solución y su análisis didáctico: ¿Qué es representación? Una de las posibles respuestas a esta pregunta se hace en torno a asumir el concepto y s

1

¿Cuando una representación es dinámica? Se dice que una modelación dinámica existe, si y solo si, dentro de las estructuras mentales de una y persona, se genera un proceso  funcionalidad de lo general a lo g(x)=(-bx/c)+b f(x)=1/x particular. Ejemplo: 





(0,b)

(a,d)

x 















(c,0)







El razonamiento y las representaciones de diferentes naturalezas de un mismo objeto matemático se dan con base en las correspondencias entre las representaciones externas e internas para conceptualizar y asimilar una visión dinámica del cambio de posición del punto Q respecto a un sistema de funciones lo cual nos modela un movimiento, la longitud de la hipotenusa.



Aunque la representación interna es exacta desde la conceptualización del objeto matemático, la representación grafica en el software es un obstáculo en cuanto al análisis de lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño visto como una representación externa, la manipulación del software es dado desde la experiencia y evidencia en su utilización dificultades para definir el objeto o los objetos matemáticos necesarios para la resolución del problema. Representación gráfica. En cuanto al núcleo principal del tema, la interpretación de gráficas cartesianas, numerosas investigaciones muestran las dificultades de los estudiantes. Uno de los primeros y principales errores, que Janvier (1979) llama “lectura icónica de la gráfica”, consiste en interpretar la gráfica como un dibujo alterando el significado de las variables.

III.

LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN EL SOFTWARE COMO INTERPRETACIÓN DE LA YUXTAPOSICIÓN

La yuxtaposición de acuerdo a los razonamientos presentados a los problemas.

La representación simbólica. Para el trabajo desarrollado en la resolución del problema se emplea como uno de los ejes articuladores de las acciones de yuxtaposición, el simbolismo nos permite representar las funciones de manera general, y sobre todo acudiendo a una visión clara y especifica de lo que cierta relación quiere “mostrar”. La representación tabular. Es al igual que la representación simbólica un eje articulador en las acciones planteadas en esta matematización para desarrollar las nociones de representación de la función. En el trabajo en el aula se manifiesta y es comprendida como una representación importante que permite descubrir regularidades, convirtiéndose en una “ayuda” fundamental cuando se trata de descubrir cuál es la regularidad con ciertos datos presentados, de la misma manera que se convierte en una actividad interesante si de recoger datos se trata, pues su ayuda es vital a la hora de ésta experiencia. Con este trabajo se busca la representación tabular propia de las funciones racionales en específico la función inversa. La representación gráfica. La más clásica y más común es la de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares que consiste en elegir dos rectas perpendiculares, el eje x de abscisas horizontal y el eje y de ordenadas vertical, y fijar una dirección positiva sobre cada una de ellas. A cada punto P del plano le asignamos dos números x e y que son sus coordenadas y que indican la distancia con signo del punto P a los ejes de ordenadas y de abscisas, respectivamente. Las coordenadas de un punto P se escriben P(x,y). La gráfica de una función está formada por un conjunto de puntos del plano. Dar la gráfica de la función es una manera de definir la función, dando una visión geométrica de ella. Por último se trabaja el hallazgo de la longitud mínima y máxima de la hipotenusa, aunque no se presenta como un eje articulador de las representaciones y como una actividad final, pues depende estrictamente de la apropiación que hace el estudiante del concepto de función inversa de recta tangente a la curva en su que hacer escolar. (Nivel que nosotros hemos podido alcanzar). Niveles de Kapút.