Comparar Y Contrastar Funciones Exponenciales Version Blog

COMPARAR Y CONTRASTAR LAS FUNCIONES EXPONENCIALES BÁSICAS Y NATURALES (BASE e) UNIDAD 1 FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.2.6 J. POMALES OCTUBRE 2013 Nagubo PR

Curso: Funciones y Modelos

Funciones exponenciales básicas

Definición función exponencial La ecuación

f ( x)  b

x

b  0, b  1 define una función exponencial para cada b constante diferente, llamada base. La variable independiente x puede asumir cualquier valor real. (Todas las gráficas que verán en esta presentación son infinitas)

Compara las gráficas de f(x) = 2x y g(x) = 3x



Encuentre todos los puntos de intersección de las gráficas.

Compara las gráficas de f(x) = 2x y g(x) = 3x



¿Para qué valores de x está la gráfica de f sobre la gráfica de g?¿y debajo de la gráfica de g?

Compara las gráficas de f(x) = 2x y g(x) = 3x



¿Están ambas gráficas tan cercanas cuando x∞? ¿como cuando x-∞? Analice

Gráficas de funciones exponenciales básicas f ( x)  b x b 1

Si unimos ambas gráficas:

f ( x)  b x 0  b 1

Dominio = (-∞,∞) Rango = (0,∞) Intercepto en y = (0,1)

En ambos casos el eje x es su asíntota horizontal

Propiedades básicas de la función f ( x)  b x , b  0, b  1 f ( x)  b x b 1

     

Todas las gráficas pasan por (0,1) Todas las gráficas son continuas, sin huecos ni saltos Su asíntota horizontal es el eje x Si b > 1, entonces bx aumenta conforme x aumenta Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme x aumenta La función f es uno a uno. Esto es que tiene una inversa llamada función logarítmica.

¿Para qué se utilizan las funciones exponenciales? 

Se utilizan en la descripción y solución de una amplia variedad de problemas de la vida cotidiana:      

Crecimiento de poblaciones, animales y bacterias Decaimiento radiactivo Incremento del dinero con interés compuesto Absorción de la luz al atravesar el aire, agua o vidrio Magnitudes del sonido y terremotos Entre otras

Función exponencial natural (base e)

Función exponencial de base e Hasta ahora el número pi (  ) ha sido probablemente el número irracional más importante que se ha encontrado.  Hoy veremos otro número irracional, e , que también es muy importante tanto en las matemáticas como para sus implicaciones. 

Función exponencial de base e 

Aunque no se sabe con exactitud quién descubrió al número e , se dice que fue el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707 – 1783) quien calculó e con 23 cifras decimales usando

(1  )

1 m m

Evalúa esa expresión como lo hizo Euler

Llena la tabla y llega a una conclusión al igual que Euler m 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

(1  )

1 m m

2 2.59374... 2.70481... 2.71692... 2.71814... 2.71827... 2.71828...

e tiende a un número cercano a 2.7183

Función exponencial de base e 

Para un número real x , la ecuación

f ( x)  e

x

define a la función exponencial de base e

Compara las gráficas de f(x) = 2x , g(x) = 3x y h(x) = ex



¿Dónde se intersectan las gráficas?

Compara las gráficas de f(x) = 2x , g(x) = 3x y h(x) = ex



¿Cuál gráfica está entre las otras?

Compara las gráficas de f(x) = 2x , g(x) = 3x y h(x) = ex



¿Cuál gráfica está sobre las otras cuando x > 0? ¿cuando x < 0?

Compara las gráficas de f(x) = 2x , g(x) = 3x y h(x) = ex



Analice el comportamiento de las tres funciones cuando x∞ y cuando x-∞ .

Gráficas de funciones exponenciales base e Si unimos ambas gráficas:

f ( x)  e x

f ( x)  e  x

Dominio = (-∞,∞)

Rango = (0,∞)

Intercepto en y = (0,1)

En ambos casos el eje x es su asíntota horizontal

¿En dónde utilizamos las funciones exponenciales de base e ? 

La mayoría de los problemas de crecimiento y decaimiento exponencial se modelan usando estas funciones: Crecimiento bacteriano  Cálculo de fechas con carbono 14  Interés compuesto continuo 

Comparación de algunos modelos de crecimiento y decaimiento más usados

Comparación de algunos modelos de crecimiento y decaimiento más usados

COMPARAR Y CONTRASTAR LAS FUNCIONES EXPONENCIALES BÁSICAS Y NATURALES (BASE e)