Circulo Unitario

CÍRCULO

UNITARIO CONCEPTOS BÁSICOS

UNIDAD II FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS A.PR.11.4.1 y A.PR.11.4.2 J. Pomales / enero 2010

OBJETIVOS A través de esta lección pretendemos:

• • •

Definir círculo unitario Representar el círculo unitario Identificar ángulos: – – – –

en posición estándar cuadrantales de referencia coterminales

CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

CÍRCULO ALGUNAS DEFINICIONES

Figura plana comprendida por una sola línea, llamada circunferencia. Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

CIRCUNFERENCIA ALGUNAS DEFINICIONES

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que está a una distancia fija de un centro. Es el borde del círculo con medida C = 2π r .

PARTES DEL CÍRCULO CIRCUNFERENCIA CENTRO RADIO (r): Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia DIÁMETERO (d): Distancia que empieza en un punto de la circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado. Es el doble del radio. d

CENTRO

= 2r

PARTES DEL CÍRCULO TANGENTE: Línea que sólo toca la circunferencia CUERDA: Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro.

ARCO: Una parte de una circunferencia.

TROZOS DE UN CÍRCULO SECTOR: Espacio comprendido entre dos rayos y el arco entre ellos. Tiene forma de un pedazo de pizza. SEGMENTO: El espacio comprendido entre una cuerda y el arco que comparte sus puntos.

SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO

CUADRANTE: Un cuarto de círculo.

SEMICÍRCULO: Medio círculo.

SECTORES COMUNES DEL CÍRCULO

CUADRANTE: Un cuarto de círculo.

SEMICÍRCULO: Medio círculo.

EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO www.oup.com/word/es/12025722.doc

CÍRCULO UNITARIO DEFINICIÓN

Círculo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas).

REPRESENTACIÓN DEL CÍRCULO u2 + v2 =1 UNITARIO (0,1) 1

CUADRANTE II

CUADRANTE I

1 (-1,0)-1

(0,0)

CUADRANTE III

¿Cuántos cuadrantes tiene este círculo?

-1 (0,-1)

1(1,0)

CUADRANTE IV

¿Cómo son sus signos?

ÁNGULOS

ÁNGULOS DEFINICIÓN

La unión de dos segmentos o rayos, llamados lados, con un punto de intersección llamado vértice.

ILUSTRACIÓN DE UN ÁNGULO Es común utilizar letras griegas para nombrar los ángulos. LA

O

D O

D LA

θ

VÉRTICE

A la izquierda se muestra el ángulo θ (zeta). Los grados y los radianes se utilizan como unidades de medidas para los ángulos.

ALFABETO GRIEGO

El alfabeto griego fue desarrollado alrededor del siglo IX, A. C. a partir del alfabeto fenicio. Continúa en uso hasta nuestros días principalmente para denotar eventos en las ciencias (física y astronomía) y las matemáticas.

MEDICIÓN EN GRADOS

1o

¿Existen medias mayores de 360o? Explica

La unidad de medida grados, fue creada por los babilonios y aún es utilizada. Ellos dividieron el círculo en 360 partes iguales.

Así que un grado (1o) representa 1/360 parte del ángulo circular.

MEDICIÓN EN RADIANES

r

En esta figura, ¿cuánto mide r?

1

Es la unidad de medida de ángulos más usada en las matemáticas. En un círculo se define el ángulo de 1 radian como aquel con un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.

Las medidas en radianes de un ángulo se escribe solo con un número sin unidades.

Compara el tamaño de 1 radian con 1o. Radián

Grados

r 1o

La medida de un radián es más grande que la medida de un grado.

1

OBSERVA ESTA REPRESENTACIÓN En un semicírculo,

≈ 0.14

π (-1,0)

2π (1,0)

¿Cuántos radianes hay? ¿Por qué el punto (-1,0) = π ? Recuerda: π ≈ 3.14

esto es en términos de radianes

En el círculo unitario, ¿Por qué el punto (1,0) = 2π ? ¿Qué valor podría tener π , 2π en términos de grado?

TIPOS DE ÁNGULOS

http://www.primaryresources.co.uk/online/angle.swf

Ángulo agudo : Los ángulos agudos son aquellos que tienen una medida mayor de 0º pero menor que 90º

Ángulo recto : Los ángulos rectos son aquellos que tienen una medida de exactamente 90º

Ángulo obtusos : Los ángulos obtusos son aquellos que tienen una medida mayor 90º pero menor de 180º

Ángulo llano o plano : Los ángulos llanos o planos son aquellos que tienen una medida de exactamente 180º

LOS ÁNGULOS NOS PERMITEN:

Precisar la posición de objetos • Describir: •

–

procesos dinámicos • • •

rotaciones patrones cíclicos etc

trayectoria de objetos en movimiento – orientación entre dos o más rectas –

POSICIÓN ESTÁNDAR DE LOS ÁNGULOS Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen (0,0) y su lado inicial está a lo largo del eje horizontal positivo.

El otro lado del ángulo se llama lado terminal.

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

ÁNGULO POSITIVO La medida de un ángulo será un número positivo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj.

ÁNGULO NEGATIVO La medida de un ángulo será un número negativo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj.

Aquí el signo del ángulo sólo representa la dirección del mismo

ÁNGULOS CUADRANTALES Ángulos que estando en posición estándar tienen su lado terminal sobre un eje coordenado.

ÁNGULOS DE REFERENCIA θ

θ

θ = π −θ

θ θ θ = θ −π

θ

θ =θ

θ

θ

θ = 2π − θ

Un ángulo de referencia para θ , θ , es el ángulo agudo que forman el lado terminal de θ y el eje horizontal. Explica por qué los ángulos cuadrantales no tienen ángulos de referencia.

Ejemplos: Calcula ángulos de referencia de θ : En este caso para calcular el ángulo de referencia utilizaremos la medida en grados. Por tal razón, π equivale a 180º y 2 π a 360º

1) θ = 30

º

Como θ esta en el cuadrante I

θ =θ

Por lo tanto,

θ = 30°

2) θ = 190 Como θ esta en el cuadrante III Por lo tanto,

θ =θ −π

θ = 190 − 180 θ = 10°

º

ÁNGULOS COTERMINALES Lado terminal compartido

β

Dos ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal.

α

β

α

Los ángulos y son coterminales ¿Qué signo tiene cada uno de ellos?

ÁNGULOS COTERMINALES Para un ángulo Lado terminal dado en posición compartido estándar existen β infinitos ángulos coterminales a él pero no necesariamente α con signos diferentes. Explica. En este caso el ángulo coterminal de β tiene signo diferente.

ÁNGULOS COTERMINALES

(Para los ángulos menores de 360º)

Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#

Encuentre ángulos coterminales con θ = 30 °, en posición estándar.

ÁNGULOS COTERMINALES

(Para los ángulos mayores de 360º)

Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#

RESUMEN

PAREA LOS SIGUIENTES CONCEPTOS

1)circunferencia. Una parte de una 2)2r 3)Distancia desde el centro hasta un punto en la circunferencia. 4)2π r 5)deUnala circunferencia línea que va de un punto a otro. 6)circunferencia Todos los puntos de la y sus interiores.

7) Dos rayos y el arco entre ellos. 8) Una cuerda y el arco que comparte sus puntos

___ Cuerda ___ Segmento ___ Radio ___ Arco ___ Circunferencia ___ Círculo ___ Sector ___ Diámetro

Coloca los elementos necesarios para representar: 1. 2.

3.

4.

Las respuestas pueden variar

Círculo unitario Un ángulo θ en posición estándar Ángulo de referencia a θ Un ángulo β que sea coterminal al ángulo θ

Suponga que todos estos ángulos están en posición estándar. Calcula ángulos de referencia de θ : Recuerda: π = _____

θ 2) θ 3) θ 4) θ 1)

= 25 º = 130 º = 57 º = 290 º

2 π = _____

θ 6) θ 7) θ 8) θ 5)

= 93 º = 270 º = 38 º = 300 º

Los siguientes ángulos están en posición estándar, encuentre 2 ángulos coterminales positivos y 2 ángulos coterminales negativos en cada caso.

β = 120 º 2) β = 240 º 3) β = 60 4) β = –225º 1)

º

β = 30 – º 6) β = 150 – º 7) β = 790 8) β = 1845º 5)

–

º

Encuentre un ángulo con medida entre 0º y 360º que es coterminale con cada uno de los siguientes ángulos en posición estándar.

θ = 570 º 2) β = 2500 º 3) α = 1361 º 4) ω = 850 1)

º

REFERENCIAS •

ALFABETO GRIEGO. http://www.taringa.net/posts/offtopic/1434807/El-Alfabeto-Griego-[-Aprende

•

EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO www.oup.com/word/es/12025722.doc

•

MEDICIÓN DE ÁNGULOS. http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm

•

ÁNGULOS DE REFERENCIA. http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009

•

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. http://www.algobar.com/recursos/spip.php?article190

•

Libro - Precálculo: Matemáticas para el cálculo

http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source #

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