Conversiones Grados, Radianes Y Func Trigon Versión Bolg

CONVERSIONES ENTRE GRADOS, RADIANES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS

M.UM.11.8.1 / M.UM.11.8.2 J. Pomales / marzo 2009

THE UNIT CIRCLE SONG

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Introducción: Hace varios días estudiamos el círculo unitario. ¿Puedes mencionar algunas de sus características? Hoy, calcularemos: – conversiones entre las medidas de los

ángulos en grados y radianes – los valores de las funciones seno y coseno en y múltiplos de

π π π π 0, 6 , 4 , 3 , 2

,π

GRADOS Y RADIANES

Compara el tamaño de 1o con 1 radián Radián

Grados

r

1

1o

La medida de un radián es más grande que la medida de un grado.

REPRESENTACIÓN DEL CÍRCULO UNITARIO (u2 + v2 =1) (0,1) 1

CUADRANTE II

CUADRANTE I

1 (-1,0)-1

(0,0)

CUADRANTE III

¿Cuántos cuadrantes tiene este círculo?

-1 (0,-1)

1(1,0)

CUADRANTE IV

¿Cómo son sus signos?

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Existe una fórmula sencilla para convertir los grados a radianes o viceversa. Si A es la medida del ángulo y T la medida de los radianes

A o 180

=

T π radian

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Convierte 30º a radianes: En este caso A es 30º Como T es el desconocido escribo x Multiplicando cruzado obtengo

Despejamos para x Simplificamos 30 y 180 entre 30

A = T o π radian 180 30 = x 180 π

30π = 180 x 1

30π = 180 x 1806 180 π =x 6

COMPLETA LA TABLA Convierte de grados a radianes:

30º A 180 30 180

= πT = πx

45º A 180 45 180

= πT = πx

30π = 180 x 45π = 180 x 30π 180 π 6

=x =x

45π 180 π 4

=x =x

60º A 180 60 180

= πT = πx

90º A 180 90 180

= πT = πx

60π = 180 x 90π = 180 x 60π 180 π 3

=x =x

90π 180 π 2

=x =x

CONVIERTE CADA GRADO A RADIÁN Colócalo en el círculo unitario π 2 (0,1) π 3 π 90o 120o 60o 4 π o o 135 45 6 o 30o 150

π 180

0o ó 360o

o

(-1,0)

210o 225o 240o

270o

330o 315o 300o

(0,-1)

0 ó 2π

(1,0)

CONVIERTE CADA GRADO A RADIÁN Colócalo en el círculo unitario π 2π 2 (0,1) π 3 π 3π 3 o 90o 120 60o 4 π 4 135o o 45 5π 6 o o 30 150 6

π 180

0o ó 360o

o

(-1,0)

7π 6

210o 225o 240o

5π 4 4π 3

270o

3π 2

0 ó 2π

(1,0)

330o 11π 6 315o 7π 300o

(0,-1)

5π 4 3

GRADOS, RADIANES Y SUS RESPECTIVOS PARES ORDENADOS

CALCULA LO SIGUIENTE De ser necesario aproxima a la centésima más cercana

¿Cuánto es

1 2

= 0.5

Exacto

2 ≈ 0.71 Aproximado 2 3 ≈ 0.87 Aproximado 2 ¿Cuál es decimal exacto o aproximado?

COMPLETA LA TABLA De ser necesario aproxima a la centésima más cercana

θ 30º 45º 60º 90º

SENO Decimal

COSENO

Racional Decimal Racional

0.87

0.87

1 2 2 2 3 2

1

1

0

0.5 0.71

0.71 0.5

3 2 2 2 1 2

0

Para efectos de este tema, si el decimal es 1 ó 0 ese mismo número será su racional.

CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR ORDENADO

5π 6

2π 3π 3 o 4 135120 o

90o

150o

π 180

u n te o hip30º o 0 ó 360o 0 ó 2π adyacente (1,0)

o

(-1,0)

7π 6

210o 225o 240o

5π 4 4π 3

π 3 π 60o 4 π o 45 ao 6 s30

(0,1)

opuesto

Dibujemos un triángulo rectángulo en el primer cuadrante y hagamos un análisis.

π 2

270o

3π 2

330o 11π 6 315o 7π 300o

(0,-1)

5π 4 3

CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR ORDENADO ¿Cuánto mide el radio del círculo unitario?

Calcula el lado adyacente y opuesto.

1 ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo dibujado?

1

1

CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR ORDENADO Lado Adyacente

cos(30) =

Lado Opuesto

x 1

1 0.87

0.5

cos(30) = x 0.87 ≈ x

sen (30) =

y 1

sen (30) = y 0.5 ≈ y

Plantilla Dinámica Toca Aquí si estás en la Internet

π Menciona el par ordenado para 6 = (0.87,0.5)

CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR ORDENADO Como hemos visto π 6

= (0.87,0.5)

5π 6

2π 3π 3 o 4 135120 o

(

3 1 , 2 2

)

π 3 π 60o 4 π o 45 6 30o

(0,1)

90o

150o

Convierte ese par 180o ordenado (-1,0) usando números 7π 210o racionales. 6 225o

π

π 2

30º 0o ó 360o

(

3 1 , 2 2

)

0 ó 2π

(1,0)

330o 11π 6 315o 7π 300o

5π 240o 270o 4 4π 3 3π (0,-1) 2

5π 4 3

CALCULA EL PAR ORDENADO PARA TODOS LOS DEMÁS RADIANES

CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR −1 3 3 ORDENADO 1

(

(

(

)

− 2 2

,

2 2

− 3 1 , 2 2

)

5π 6

2

,

2

)

2π 3π 3 o 4 135120 o

π 2

(

90o

− 3 − 1 , 2 2

(

)

7π 6

(

210o 225o 240o

)

5π 4 4π −1 − 3 3 ,

− 2 − 2 , 2 2

2

2

2

(

)

30º 0o ó 360o

o

(-1,0)

(

,

π 2 3 π 2 , 60o 4 π o 45 6 30o

(0,1)

150o

π 180

2

)

270o

3π 2

(

2 2

)

3 1 , 2 2

)

0 ó 2π

(1,0)

(

3 − 1 330o 11π , 2 2 6 315o 7π 300o 2 − 2 , 2 2 5π 4

(0,-1)

3

(

(

1 ,− 3 2 2

)

)

)

CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR ORDENADO ¿Cómo se relaciona la función trigonométrica del seno y coseno con los pares ordenados de cada radián?

(cos θ, sen θ) acompañado por el signo del cuadrante

REFERENCIAS PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill Vídeo: THE UNIT CIRCLE SONG http://www.youtube.com/ watch?v=5UcF7lbATw4

Plantilla Dinámica: SENO Y COSENO EN EL CÍRCULO UNITARIO http:// www.geogebra.org/en/upload/files/JUAN%20POMALES/ seno_y_coseno_en_el_circulo_unitario.html

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