Operaciones Con Funciones Version Blog

OPERACIONES CON FUNCIONES UNIDAD 1 FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.1 J. POMALES Naguabo PR

OCTUBRE 2013 Curso: Funciones y Modelos

Observa los siguientes conjuntos: A = {6, 9, 12}

B = {3, 9, 15}

A  B = {3, 6, 9, 12, 15} AB=

{9}

INTRODUCCIÓN • Hasta el momento hemos visto como las funciones sirven para representar procesos. • Hoy trataremos a las funciones como objetos. • Al estudiarlas como objetos matemáticos, las funciones pueden combinarse mediante las 4 operaciones aritméticas: +, -, · , ÷ , para obtener nuevas funciones.

SUMA DE FUNCIONES • Para sumar dos funciones debemos tener elementos comunes (intersección) en el dominio (variable independiente) • En esos elementos comunes podremos definir la nueva función que se genere de la suma. • Veamos un ejemplo con dos funciones, f y g.

SUMA DE FUNCIONES • Dadas dos funciones f y g podemos definir una nueva función, a la que llamaremos f + g que actúe del siguiente modo: Para cada x que está en los dominios de f y de g , el valor de f + g en x será:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

SUMA DE FUNCIONES • Es decir, el valor de f + g es la suma de los valores individuales de f y de g para cada valor de x que esté en ambos dominios. • La función f + g no estará definida en un valor de x que no pertenezca a uno de los dominios de f o de g. • En ambos casos decimos que x no pertenece al dominio de f + g

SUMA DE FUNCIONES • Al lado aparecen x f(x) x g(x) tablas de valores para 3 4 3 1 dos funciones f y g. 5 8 7 3 • Observa que estas 9 -1 9 0 funciones tienen sólo 3 elementos comunes 11 3 11 1 en su dominios. 15 2 16 -2 • Por lo tanto, es en esos elementos que sólo podremos definir ¿Puedes identificar la nueva función f + g estos 3 elementos comunes en el dominio?

EJEMPLO

SUMA DE FUNCIONES x 3 5 9

f(x) 4 8 -1

x 3 7 9

g(x) 1 3 0

11

3

11

1

15

2

16

-2

• El dominio de f + g es {3, 9, 11} • No es posible definir los valores de esta nueva función cuando x tiene valor 5, 7, 15 ó 16, pues al menos una de las funciones originales, f ó g, no está definida para alguno de esos números.

EJEMPLO

SUMA DE FUNCIONES x 3 5 9

f(x) 4 8 -1

x 3 7 9

g(x) 1 3 0

11

3

11

1

15

2

16

-2

• Naturalmente que si los dominios de dos funciones no tienen elementos en común entonces éstas no se pueden sumar.

Finalmente, en este caso si podremos sumar aquellos valores donde los dominios eran comunes

x

(f + g)(x)

3

4+1=5

9 -1 + 0 = -1 11 3 + 1 = 4

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES x 3 5 9

f(x) 4 8 -1

x 3 7 9

g(x) 1 3 0

11

3

11

1

15

2

16

-2

• De forma similar trabajaremos con las operaciones de resta, multiplicación y división. • Aunque debemos tener cierto cuidado con la operación de división pues hay que excluir aquellos elementos que hacen el denominador igual a cero.

EJEMPLO

OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES

x 3 5 9

f(x) 4 8 -1

x 3 7 9

g(x) 1 3 0

x

(f – g)(x)

x

(f · g)(x)

3

3

3

4

9

-1

9

0

11

3

11

1

11

2

11

3

15

2

16

-2

Como g(9) = 0, la función f / g no puede estar definida, así que ese valor queda excluido en la división

x

(f / g)(x)

3

4

11

3

DEFINICIONES PARA LAS OPERACIONES CON FUNCIONES • Sean f y g funciones, y sea D = {dominio de f} ∩ {dominio de g} entonces se definen las siguientes funciones para todo x  D. ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) • La función ( f / g)(x) = f(x) / g(x) está definida en el conjunto que contiene elementos de D que no hacen cero el denominador {x  D | g ≠ 0}

EN OTROS CASOS • Estas operaciones pueden realizarse para producir nuevas funciones, sin importar en que representaciones están definidas. • Al hacer las operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.

EJEMPLO

Si f ( x)  3 x  x  4 y h( x )  5 x  1 realiza las siguientes operaciones 3

2

( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f / h)( x)

( f  h)( x)  f ( x)  h( x)  (3 x  x  4)  (5 x  1) 3

2

 3x  x ()  4  5 x  1 3

2

 3x  x  5 x  3 3

D=

2

EJEMPLO

Si f ( x)  3 x  x  4 y h( x )  5 x  1 realiza las siguientes operaciones 3

2

( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f / h)( x)

( f  h)( x)  f ( x)  h( x)  (3 x  x ()  4)( )  (5 x  1) 3

2

 3 x  x  4  5 x  1 3

2

 3 x  x  5 x  5 3

D=

2

EJEMPLO

Si f ( x)  3 x  x  4 y h( x )  5 x  1 realiza las siguientes operaciones 3

2

( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f / h)( x)

( f  h)( x)  f ( x)  h( x)  (3x  x ()  4)(5 x  1) 3

2

 15 x  5 x  20 x  3x  x  4 4

3

3

2

 15 x  8 x  x  20 x  4 4

D=

3

2

EJEMPLO

Si f ( x)  3 x  x  4 y h( x )  5 x  1 realiza las siguientes operaciones 3

2

( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f  h)( x) , ( f / h)( x)

( f / h)( x)  f ( x) / h( x) 3x  x ()  4  5x  1 3

(Dominio Restringido)

D = , pero x ≠

2



1 5

EJERCICIOS DE PRÁCTICA x

f(x)

x

g(x)

-50

5

-50

4

-20

3.2

-21

-8

-3

8

-3

-3

-1.1

-1

-1.4

4

-1

4

-1.2

7.2

0

3

10

8

2

10.5

2

0

e

9

e

-1

17.3

6

16

-1

41

-5

41

4

109

14

109

3.9

• Utiliza las tablas de la izquierda para realizar las siguientes operaciones

1) ( f  g ) 2) ( f  g ) 3) ( f  g ) 4) ( f / g )

Utiliza la tabla de la próxima página para contestar estos ejercicios

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Puedes utilizar esta tabla para contestar los ejercicios anteriores x

f + g

f –g

f ∙g

f /g

EJERCICIOS DE PRÁCTICA x

f(x)

x

g(x)

-50

5

-50

4

-20

3.2

-21

-8

-3

8

-3

-3

-1.1

-1

-1.4

4

-1

4

-1.2

7.2

0

3

10

8

2

10.5

2

0

e

9

e

-1

17.3

6

16

-1

41

-5

41

4

109

14

109

3.9

• Utiliza las tablas de la izquierda halla los siguientes valores, si es posible

5) ( g  f )(e) 6) ( g  f )( 3) 7) ( g  g )(1) 8) ( f  f )( 20) 9) ( f / g )(0)

EJERCICIOS DE PRÁCTICA • Sean f (n)  3n 2  5n  1

h( n)  e

n2

g (n)  5n  4

j (n)  3e

n

Escribe en su forma más simple y especifica su dominio.

10) f  g

14) g

11) f  g

15) h  j

12) g  f

16) h  j

13) f / g

17) j / h

3

18) h

1 2

REPASO Dudas o Preguntas

REFERENCIAS • PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas • PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill