Intercepto Valor Máximo Valor Mínimo Version Blog

INTERCEPTOS EN X y Y, VALOR MÁXIMO Y VALOR MÍNIMO UNIDAD I

J. Pomales

FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.2.2

J. Pomales Naguabo, PR

agosto 2013 Curso: Funciones y Modelos

Objetivos Al finalizar podrás identificar en una función de grado 1, 2 o 3: – Interceptos en “y” (ordenada en el origen) – Puntos máximos o mínimos (vértice) – Ceros de la función (raíces)

Todas las gráficas presentadas aquí fueron creadas con el GeoGebra. A menos que se especifique lo contrario todas son infinitas en sus extremos.

¿Cuál es el grado de cada función? f(x) = 2x g(x) = x2 + x + 1 h(x) = x3 + x2 + x + 1

¿Cuál es el grado de cada función? f(x) = 2x

GRADO 1

g(x) = x2 + x + 1

GRADO 2

h(x) = x3 + x2 + x + 1

GRADO 3

¿Recuerdas cómo es la forma de las gráficas de estas funciones?

Gráficas f(x) = 2x

LINEAL

Gráficas g(x) = x2 + x + 1

CUADRÁTICA

Gráficas h(x) = x3 + x2 + x + 1

CÚBICA

¿Qué es intercepto en y? 1.Es el lugar donde la gráfica toca o corta el eje de y 2.Se le conoce por ordenada en el origen. 3.Valor de f(0) = y, esto es cuando la x=0

¿Cómo calcular el intercepto en y? 1.Evalúa la función f(0). Esto es, sustituir las x por 0 y luego resolver las operaciones. 2.Escribir la solución usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:

(0,y)

La y corresponderá al valor obtenido en el Paso 1.

Ejemplos Calcula los interceptos en y

1) f ( x)  x  4 f (0)  0  4 f (0)  4

Intercepto en y (0,4)

Representación gráfica de la solución

Ejemplos Calcula los interceptos en y

2) f ( x)  x  4 x  3 2

f (0)  0  4(0)  3 f (0)  0  0  3 2

Representación gráfica de la solución

f (0)  3

Intercepto en y (0,3)

Ejemplos Calcula los interceptos en y

3) f ( x)  x  2 x  x 3

2

f (0)  0  2(0)  0 f (0)  0  0  0 3

2

Representación gráfica de la solución

f (0)  0

Intercepto en y (0,0)

Calcula el intercepto en y de cada función.

¿Reconoces algún procedimiento más corto para lograr ésto?

Calcula el intercepto en y de cada función. (0,-4)

(0,7) (0,0) (0,-1) (0,-10) (0,6) (0,0) ¿Reconoces algún procedimiento más corto para lograr ésto?

¿Qué son valores máximos o mínimos? 1. Son los puntos más altos y más bajos en la gráfica de una función

2. La función lineal y la cúbica tienen valores máximos y mínimos infinitos. 3. La función cuadrática tendrá valor máximo o mínimo según su forma.

4. También se le llama vértice.

Datos de la función cuadrática • Forma general: f(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0 • Su gráfica es una curva en forma de U • Dependiendo del coeficiente de la variable cuadrada (a) será la forma en que abre la gráfica – Coeficiente (+) : U abre hacia arriba, con un mínimo – Coeficiente (–) : ∩ abre hacia abajo, con un máximo

• Su gráfica se llama parábola

Datos de la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0 • Eje de simetría: recta vertical que divide la gráfica en 2 partes iguales. Su ecuación es

b x 2a • Esta ecuación me permite calcular los valores máximos o mínimos de la parábola

J. Pomales

¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una parábola?

¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una parábola? • La ecuación cuadrática debe estar en la forma estándar: f(x) = ax2 + bx + c • Calcula el eje de simetría y sustituye ese valor en la función dada. • El valor obtenido forma parte del par ordenado que corresponde al valor máximo o mínimo según sea el caso.

EJEMPLOS

J. Pomales

RECUERDA: Tienes que repasar las operaciones con fracciones y decimales.

Ejemplo 1

Halla el valor máximo o mínimo

f(x) = 3x2 – 5x + 2 En la ecuación dada, a = 3 y b = -5, por lo tanto la ecuación del eje de simetría es 

b 5 5 x  ó x 2a 2(3) 6 Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos

Ejemplo 1

Halla el valor máximo o mínimo f(x) =

3x2

– 5x + 2

a

Como la función tiene a > 0, la gráfica abre hacia arriba y tiene un punto mínimo en

 5 1   ,   6 12   

2

5 5 5 f    3   5   2 6 6 6  25    5   3 ( ) 5   2  36  6 3  25   5  5      2 1  36  1  6  25  25 2    12 6 1 25  50 24    12 12 12  1  12

Ejemplo 1

Halla el valor máximo o mínimo f(x) = 3x2 – 5x + 2 Así se vería la gráfica de esta función: Un valor mínimo en

 5 1   ,   6 12   

 5 1   ,   6 12   

Ejemplo 2

Halla el valor máximo o mínimo de

g(x) =

2 -1.5x

+ 6x + 3

En la ecuación dada, a = -1.5 y b = 6, por lo tanto la ecuación del eje de simetría es

b 6 6 2 x     2 2a 2( 1.5) 3 1 Ahora sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos

Ejemplo 2

Halla el valor máximo o mínimo de g(x) = -1.5x2 + 6x + 3 a

Como la función tiene a < 0, la gráfica abre hacia abajo y tiene un punto máximo en

2,9

f 2 1.52  62  3 

2

 1.54  12  3  

 6  12  3  63 9

Ejemplo 2

Halla el valor máximo o mínimo de g(x) = -1.5x2 + 6x + 3

Así se vería la gráfica de esta función: Un valor máximo en

2,9

Calcula puntos máximos o mínimos de cada función.

¿Qué ocurre cuando el valor de la b = 0?

Conocimientos previos necesarios Para la discusión de la próxima parte debes conocer y repasar los siguientes conceptos discutidos el pasado año: 1. Despejar la variable en una ecuación 2. Factorización de polinomios

3. Fórmula cuadrática

J. Pomales

EN EDU2.0 COLOQUÉ VARIOS ENLACES DE PÁGINAS EN DONDE PODRÍAS REPASAR LOS MISMOS

¿Qué son los ceros de la función? 1. Es la solución de f(x) = 0 2. Se le llama también raíces de la función o interceptos en x. 3. La gráfica de f(x) cruza al eje x en el cero de la función.

J. Pomales

4. Algunas funciones poseen una o más interceptos en x o no tienen raíces.

¿Cómo calcular los ceros de la función? 1. El grado del polinomio determina el máximo de ceros de la función. 2. Iguala la función a cero, f(x) = 0. 3. Despeja la variable. Siempre es favorable tratar de factorizar la función o utilizar la fórmula cuadrática de ser posible.

4. Puedes escribir la solución (si existe) usando pares ordenados. Siempre usarás este formato:

(x,0)

La x corresponderá al valor obtenido en el Paso 3.

Ejemplos Calcula los ceros de la función

1) f ( x)  x  4 x40 x  4  4  0  4 x  4

Intercepto en x (-4,0)

Representación gráfica de la solución

Ejemplos Calcula los ceros de la función

2) f ( x)  x  4 x  3 2

x  4x  3  0 2

( x  1)(x  3)  0 ( x  1)  0 ( x  3)  0 x  1  1  0  1 x  3  3  0  3 x  1

x  3

Interceptos en x (-1,0) y (-3,0)

Representación gráfica de la solución

Ejemplos Calcula los ceros de la función

3) f ( x)  x  2 x  x 3 2 x  2x  x  0 3

2

x( x  2 x  1)  0 2

x( x  1)( x  1)  0 x0

( x  1)  0 x  1  1  0  1 x  1

Interceptos en x (0,0) y (-1,0)

Representación gráfica de la solución

Ejemplos Calcula los ceros de la función

Representación gráfica de la solución

Interceptos en x (2,0) y (3,0)

En resumen • Ordenada en el origen – Punto donde la función toca o corta al eje y • Raíces – Puntos donde la función toca o corta al eje x • Vértice – Punto máximo o mínimo, en este caso de la parábola

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