Composicion Y Descomposicion De Funciones Version Blog

COMBINANDO FUNCIONES COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.2 J. Pomales Naguabo PR

octubre 2013 Curso: Funciones y Modelos

INTRODUCCIÓN •En el tema pasado realizamos combinaciones de funciones a través de la suma, resta, multiplicación y división. •Hoy, trabajaremos con una quinta combinación llamada composición. Se realizarán en: expresiones algebraicas, tablas y gráficas.

•Luego definiremos y haremos ejercicios de su operación contraria: descomposición.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•De forma sencilla, la composición de funciones es colocar una función dentro de otra y simplificarla. •Al igual que con las operaciones básicas, al hacer la composición de funciones (concatenación) generamos una nueva función.

¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•Se denota: (f o g)(x) = f [g(x)] •Se lee: “ g compuesta con f ”

•A g se le llama la función interior, o primera función y a f la función exterior, o segunda función en la composición.

CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

•Cuando se escribe f o g entendemos que g es la primera función que actúa en la cadena, a pesar de que se escribe a la derecha después de f

CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•No necesariamente todos los elementos del dominio de g estarán en el dominio de f o g •La operación de componer funciones no es conmutativa, es decir que en general:

fog ≠ gof (aunque puede haber excepciones)

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

HALLA LAS SIGUIENTES

COMPOSICIONES Si f(x)  2 x  1 y g(x)  x

2

halla:

f

o

g

SOLUCIÓN

(f

o

g )( x)  f [ g ( x)]  f (x ) 2

 2( x )  1 2

 2x2 1

Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

f ( x)  2 x  1  2(

) 1

 2x2 1

2

g ( x)  x 2

HALLA LAS SIGUIENTES

COMPOSICIONES Si f(x)  2 x  1 y g(x)  x

2

halla:

( f o g )(1) SOLUCIÓN Como ya calculamos la composición

(f

o

g )( x )  f [ g ( x )]  2 x  1 2

ahora sustituimos el valor que está entre paréntesis y resolvemos.

(f

o

g )(1)  2(1)  1 2

 2(1)  1  2 1 (f

o

g )(1)  3

HALLA LAS SIGUIENTES

COMPOSICIONES Si f(x)  2 x  1 y g(x)  x

2

halla:

go f

SOLUCIÓN

( g o f )( x )  g[ f ( x)]  g (2 x  1)  (2 x  1)

2

 4x2  4x 1

Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

g ( x)  x 2 (

f ( x)  2 x 11 )2

 4x2  4x 1

HALLA LAS SIGUIENTES

COMPOSICIONES Si f(x)  2 x  1 y g(x)  x

2

halla:

( g o f )( 2)

SOLUCIÓN Como ya calculamos la composición

( g o f )( x )  g [ f ( x )]  4 x  4 x  1 2

ahora sustituimos el valor que está entre paréntesis y resolvemos.

( g o f )( 2)  4(2)  4(2)  1 2

 4(4)  8  1  16  7 ( g o f )( 2)  9

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON TABLAS DE VALORES

CREA LA TABLA DE VALORES DE LA

SIGUIENTE COMPOSICIÓN •Halla

go f

Asegúrate de comenzar por la primera función que en este caso es f (x)

x

f(x)

x

g(x)

1

-3

2

10

2

2

0

3

3

4

4

4

4

6

-9

-6

5

0

1

0

6

1

-3

2

7

-9

6

-5

x

(g o f)(x)

CREA LA TABLA DE VALORES DE LA

SIGUIENTE COMPOSICIÓN •Halla

CUIDADO: No siempre el dominio de la nueva función será el mismo que el dominio de la función original.

go f

x

f(x)

x

g(x)

x

1

-3

2

10

1

2

2

0

3

3

4

4

4

4

6

-9

-6

5

0

1

0

6

1

-3

2

7

-9

6

-5

(g o f)(x) 2

CREA LA TABLA DE VALORES DE LA

SIGUIENTE COMPOSICIÓN •Halla

CUIDADO: No siempre el dominio de la nueva función será el mismo que el dominio de la función original.

go f

x

f(x)

x

g(x)

x

1

-3

2

10

1

2

2

2

0

3

3

4

4

4

2 3

10 4

4

6

-9

-6

4

-5

5

0

1

0

6

1

-3

2

5 6

3 0

7

-9

6

-5

7

-6

(g o f)(x)

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON GRÁFICAS

Detalles importantes 1. Siempre que trabajemos con la composición de funciones en gráficas debemos mirar la gráfica correspondiente a la primera función que se mencione. 2. Si las gráficas originales son lineales su composición será otra función lineal.

Detalles importantes 3. Para construir una gráfica lineal necesitaremos por lo menos dos pares ordenados. 4. Si las gráficas originales en la composición no son lineales debemos conseguir entre 6 a 8 pares ordenados para construir esta gráfica. Mientras más pares ordenados utilices mejor.

DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE

COMPOSICIÓN Halla (m o h)(x)

Dato: La composición de dos funciones lineales siempre será otra lineal.

Asegúrate de comenzar por la primera función m(x)

h(x) 2.5 1.6

-5  -2 -2  1

El valor del recorrido lo uso como dominio en la otra función

-2  2.5 1  1.6

 Cuando no se conoce qué tipo de gráfica será la composición entonces necesitas encadenar muchas parejas de puntos. 

DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE

COMPOSICIÓN •Halla (m o h)(x) (m o h)(x)

-5  -2 -2  1

-2  2.5 1  1.6

Como sabemos que de dos funciones lineales obtenemos la composición de otra función lineal, sólo necesitamos dos puntos para la construcción de la nueva función. ¿Sabes cuáles son estos puntos?

DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE

COMPOSICIÓN •Halla (m o h)(x) (m o h)(x) 2.5 1.6

-5  -2 -2  1

-2  2.5 1  1.6

Utilizo el valor del dominio de la primera función junto al valor del rango de la segunda función

-5  2.5 -2  1.6

¡Y listo!

¿Por qué sólo se utilizaron 2 puntos para construir la nueva gráfica?

DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES

¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•Es identificar cuáles funciones se componen para formar otra. •Es el proceso opuesto a componer funciones. •Este proceso se estudiará más a fondo en los cursos de Cálculo.

¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•La descomposición de una función cualquiera no es única, puede incluir dos o más funciones. •Es necesario que se establezca el orden en que se deben componer las funciones para obtener la función original.

EJEMPLOS DE DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES

DESCOMPONER h(x) EN 2 FUNCIONES

•Recuerda mencionar el orden en que se debe componer la función y comprueba su resultado:

1) h( x)  3 x  2

COMPROBACIÓN:

g ( x)  x y f(x)  3x  2

( g o f )(x)  g[ f ( x)]  g (3x  2)

El orden sería h(x)  (g o f)(x) OTRA SOLUCIÓN PODRÍA SER:

g ( x)  3x y f(x)  x  23 ¿Qué ocurre si cambias el orden? No se genera la función original h(x), a menos que intercambies el nombre de las funciones en la solución.

 3x  2 ( g o f )( x)  g[ f ( x)]  g ( x  23 )  3( x  23 )  3  x  3  23  3x  2

REFERENCIAS • PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas • PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

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