Terjemahan Chapter 8.docx

BAB 8: KRISTAL SEMIKONDUKTOR Perwakilan pembawa representasi dari logam, semimetal, dan semikonduktor busur ditunjukkan pada Gambar. 1. Semikonduktor umumnya diklasifikasikan oleh resistivitas clcctrical mereka pada suhu kamar, dengan nilai-nilai dalam kisaran lo- sampai 10 "hmcm, dan sangat bergantung "11 suhu. Pada absolutc zcro pnre, kristal sempurna dari sebagian besar konduktor akan menjadi isolator, jika kita secara sewenang-wenang menguraikan isolator sebagai memiliki resistivitas di atas 1014 ohm-cm. Uevices berdasarkan semikonduktor termasuk transistor, switch, dioda, photovoltaic cclls, detektor, dan thermistor. Ini dapat digunakan sebagai elemcnts sirkuit tunggal atau sebagai komponen sirkuit terpadu. Anda mendiskusikan dalam bab ini fitur fisik utama dari kristal semikonduktor klasik, khususnya silikon, germanium, dan galliuni arsenide. Beberapa yang berguna tidak ada ~ r ~ enclosure: kompilator se ~ niconductor dari rumus kimia AB, di mana A adalah elemcnt trivalen dan B adalah elemen pentavalent, disebut II1-V (tiga-lima) senyawa. Contohnya adalah indium antimonide dan galliuni arsenide. il'herc A divalen dan B heksavalen, senyawa ini disebut 11-VJ compo ~ lnd; contohnya adalah sulfida seng dan sulfida sulfida. Silikon dan germanium kadang-kadang disebut semikonduktor chamond-h-pe, karena mereka memiliki struktur kristal berlian. Diarriond sendiri lebih merupakan isolator daripada semikonduktor. Silikon karbida SiC adalah senyawa IV-IV. Se ~ r ~ ico ~ iductor yang sangat dimurnikan menunjukkan konduktivitas intrinsik, sebagai distribusial dari konduktivitas pengotor dari spesimen lcss pnre. Dalam kisaran suhu intrinsik sifat-sifat clcctrical dari semikonduktor pada dasarnya tidak dimodifikasi oleh impnritas dalam kristal. Skema band elektronik yang mengarah ke konduktivitas intrinsik ditunjukkan pada Gambar. 2. Band coriduction kosong pada nol mutlak dan dipisahkan oleh am energi gap Misalnya dari band valensi diisi. Band gap adalah perbedaan dalam energi antara titik terendah pita konduksi dan titik tertinggi dari pita valensi. Titik terendah dalam pita konduksi disebut tepi pita konduksi; titik tertinggi di band valencc disebut tepi pita valensi. Karena suhu meningkat, elektron secara termal bersemangat dari pita valensi ke pita konduksi (Gbr. 3). Baik elektron dalam pita konstruksinya maupun orbital atau lubang kosong yang ditinggalkan di dalam band valcnce berkontribusi pada konduktivitas listrik. BAND GAP THC condiictivity intrinsik dan konsentrasi pembawa intrinsik sebagian besar dikendalikan oleh Edk, T, rasio band gap ke suhu. Ketika rasio ini besar, konsentrasi pembawa intrinsik akan rendah dan -. ,. . . . . . . ,. . , I V.wnnt rondu ~ o ~~ hand P 3 I Forbidden band Gambar 2 Skema band untuk konduktivitas intrinsik dalam semikonduktor. Pada 0 K konduktivitas adalah nol karena semua negara bagian dalam pita valensi diisi dan semua keadaan dalam pita konduksi cukup baik. Ketika suhu meningkat, elektron secara termal bersemangat dari pita valensi ke pita konduksi, di mana mereka menjadi bergerak. Pembawa tersebut disebut 'intrinsik. " Suhu, K Suhu, K (a) (b) Gambar 3 Konsentrasi elektron intrinsik sebagai fungsi suhu untuk (a) germanium dan (b) silikon. Di bawah kondisi intrinsik konsentrasi lubang sama dengan konsentrasi elektron.Konsentrasi intrinsik pada suhu tertentu lebih tinggi di Ge daripada di Si karena celah energi lebih sempit di Ge (0,66 eV) daripada di Si (1 11 eV). (Setelah WC Dnnlap.)

Konduktivitas akan Kesenjangan band dari semikonduktor representatif diberikan pada Tabel 1. Nilai terbaik dari celah pita diperoleh dengan absorpsi optik Dalam proses penyerapan langsung, ambang batas penyerapan optik kontinu pada frekuensi wg mengukur celah pita Misalnya = hwg sebagai ditunjukkan dalam Gambar 4a dan 5a, foton diserap oleh kristal dengan pembentukan elektron dan lubang .Dalam proses penyerapan tidak langsung dalam Gambar. 4b dan 5b kesenjangan energi minimum dari struktur band melibatkan elektron dan lubang dipisahkan oleh sebuah 8 Semiconductor C rystals 189 KRISTAL DENGAN DIRECT GAP CRYSTAL DENGAN GAP Onset daritidak langsung INDIRECTfiwgE ~ + fin E ,. ~, Foton energi Qo - + Foton energi fio - + (a) (h) Gambar 4 Penyerapan optik pada isolator murni pada nol mutlak. Dalam (a) ambang menentukan kesenjangan energi sebagai E,: = nop. Dalam (h) penyerapan optik lebih lemah di dekat ambang: pada Qo = E, + sirip foton diserap dengan penciptaan tiga partikel: elektron bebas, lubang bebas, dan fonon energi ha. Dalam (b) energi E ,,, menandai ambang batas untuk penciptaan elektron bebas dan lubang bebas, tanpa fonon yang terlibat. Transisi seperti itu disebut vertikal; ini mirip dengan transisi langsung dalam (a). Plot-plot ini tidak menunjukkan garis serapan yang kadangkadang terlihat berbohong hanya ke sisi energi rendah dari ambang batas. Garis semacam itu disebabkan oleh penciptaan pasangan elektron-lubang hound, yang disebut exciton. Tepi pita tepi pita konduhon / Tepi pita valensi Tepi tangan valensi Gambar 5 Dalam (a) titik terendah dari tangan konduksi terjadi pada nilai yang sama dari k sebagai titik tertinggi dari pita valensi. Transisi optik langsung diambil secara vertikal tanpa perubahan k yang signifikan, karena foton yang terserap memiliki wavevector yang sangat kecil. Ambang batas frekuensi og untuk absorpsi oleh transisi langsung menentukan kesenjangan energi E, = fiw ,. Transisi tidak langsung dalam (h) meliputi apotek dan aphonon karena tepi tangan dari pita konduksi dan valensi secara luas dipisahkan dalam ruang k. Energi ambang untuk proses tidak langsung dalam (h) lebih besar dari jeda pita yang sebenarnya. Ambang penyerapan untuk transisi tidak langsung antara tepi tangan adalah pada fiw = E, + sirip, di mana n adalah frekuensi dari phonon yang dipancarkan dari wavevector K - -kc Pada suhu yang lebih tinggi, phonon sudah ada; jika fonon diserap bersama dengan foton, energi threshold adalah fiw = Eg - fin. Catatan: Gambar hanya menunjukkan transisi ambang. Transisi terjadi secara umum di antara hampir semua titik dari dua tangan di mana gelombang dan energi gelombang dapat dilestarikan. Tabel 1 Kesenjangan energi antara valensi dan pita konduksi (i = gap tidak langsung; d = celah langsung) E, eV - - E ,, eV - - - Celah Kristal 0 K 300 KC ~ ystal Gap 0 K 300 K Berlian i j.4 Si i 1.17 1.11 Ge i 0,744 0,66 aSn d 0,00 0,00 InSb d 0,23 0,17 1114 d 0,43 0,36 InP d 1,42 1,27 Gap i 2,32 2,25 GaAs d 1,52 1,43 GaSb d 0,81 0,68 AlSb i 1,65 1,6

SiC (11rx) i 3,0 Tc d 0,33 HgTea d 0,30 PbS d 0,286 PbSe i 0,165 PhTr i 0,190 CdS d 2,582 CdSe d 1,840 C dTe d 1,607 SnTe d 0,3 Co2O d 2,172 'HgTe adalah semimetal: band-band tumpang tindih substansial wavevector kc. Di sini transisi foton langsung pada energi celah minimum tidak dapat memenuhi persyaratan konservasi wavevector, karena vektor gelombang foton dapat diabaikan pada rentang energi yang menarik. Tetapi jika sebuah fonon dari wa \ ~ evector K dan frekuensi Cl diciptakan dalam proses, maka kita dapat memiliki sesuai dengan hukum konservasi. Sirip energi phonon umumnya akan jauh lebih sedikit daripada E,. Fonon bahkan dari gelombang tinggi adalah sumber momentum kristal yang mudah dijangkau karena energi phonon secara karakteristik kecil (-0,01 sampai 0,03 eV) dibandingkan dengan celah energi. Jika temperatur cukup tinggi sehingga plp yang diperlukan sudah sangat tertarik pada kristal, dimungkinkan juga untuk memiliki proses penyerapan foton di mana phonon ini diserap. Kesenjangan pita juga dapat ia deduksi dari ketergantungan temperatnre dari konduktivitas atau konsentrasi pembawa dalam kisaran intrinsik. Konsentrasi pembawa diperoleh dari pengukuran tegangan Hall (Bab 6), kadang-kadang dilengkapi dengan pengukuran konduktivitas. Optik ~ neasurements menentukan apakah kesenjangan itu langsung atau tidak langsung. Tepi band di Ge dan Si terhubung dengan transisi tidak langsung; tepi band di InSb dan Gaas dihubungkan oleh transisi langsung (Gbr. 6). Kesenjangan dalam aSn adalah 8 Kristal Semikonduktor Gambar 6 Penyerapan optik dalam antimonida indium murni, InSb. Transisi ini langsung karena ronrlnction dan tepi band valencc berada di pusat zona Brilloilin, k = 0. Noticc the tajam threshold. (Setelah 6. W Coheli dan HY Fan.) Langsung dan persis nol; HgTe dan IIgSe adalah semi-netal dan memiliki celah negatif - pita konduksi dan valensi tumpang tindih. PERSAMAAN GERAK Kami mendapatkan persamaan gerak elektron dalam pita energi. Kami melihat gagasan paket gelombang di medan listrik yang diterapkan. Anggaplah bahwa paket gelombang terdiri dari fungsi gelombang yang dirakit dekat suatu wavevector tertentu k. Kecepatan grup menurut definisi adalah cr = dddk. Frekuensi yang diasosiasikan dengan wavefiinction energi E oleh quantum theoly adalah o = dii, dan sebagainya . Pengaruh kristal pada rnotion elektron terkandung dalam relasi dispersi ~ (k). Pekerjaan SE dilakukan pada elektron oleh medan listrik E dalam interval waktu 6t adalah SE = -eEvg 6t. Kami mengamati bahwa SE = (de / dk) Sk = fivg 6k, menggunakan (1). Saat membandingkan (2) dengan (3) kita memiliki

fidkldt = -eE. Kita dapat menulis (4) dalam hal gaya eksternal F karena ini adalah hubungan penting: dalam kristal fidkldt sama dengan gaya eksternal pada elektron. Dalam ruang bebas d (mv) / dt sama dengan gaya. Kami belum melampaukan hukum gerak Newton yang kedua: elektron dalam kristal tunduk pada kekuatan dari kisi kristal maupun dari sumber eksternal. Istilah gaya dalam (5) juga mencakup medan listrik dan gaya Lorentz pada elektron dalam medan magnet, di bawah kondisi biasa di mana medan magnet tidak begitu kuat sehingga memecah struktur pita. Dengan demikian persamaan gerak elektron dari kecepatan grup v dalam medan magnet konstan B adalah dk (CGS) fi- = -sv x B; dt di mana sisi kanan setiap persamaan adalah gaya Lorentz pada elektron. Dengan kecepatan grup v = C1gradp, laju perubahan wavevector adalah dk e (CGS) - = - Vkc XB; dt fizc di mana sekarang kedua sisi persamaan mengacu pada koordinat dalam ruang k. Kita melihat dari vektor produk silang pada (7) bahwa dalam medan magnet elektron bergerak dalam ruang k dalam arah normal ke arah gradien energi E, sehingga elektron bergerak pada permukaan konstan energi. Nilai proyeksi kB k pada B konstan selama gerakan. Gerak dalam ruang k berada di pesawat normal ke arah B, dan orbit didefinisikan oleh perpotongan bidang ini dengan permukaan energi konstan. 8 Kristal Semikonduktor 193 Deriuasi Fisik hk = F \ 't! cons ~ der the Bloch eigenfunction $ k milik thc cncrg): cigcn- nilai ek dan wavevector k: Nilai harapan dari momentum elektron di negara Bloch k menggunakan Z IC (k + 6) j2 = 1. Kami periksalah transfer momentum antara elektron dan laten ketika keadaan k elektron diubah menjadi k + Ak oleh aplikasi gaya eksternal. Kami membayangkan kristal isolasi elektrostatis netral kecuali satu elektron di negara k atau band kosong yang lain. Kami mengira bahwa kekuatan eksternal yang melelahkan diterapkan untuk interval waktu sedemikian rupa sehingga total impulc givcn ke seluruh sistem kristal adalah J = SF dt. Jika elektron kondaksi bebas (mh = m), momentum total yang diberikan ke sistem kristal oleh impuls akan muncul dalam perubahan momentum elektron konduksi: Cqystal netral menderita tidak ada interaksi bersih dengan medan listrik, baik secara langsung atau tidak langsung melalui elektron bebas. Jika elektron konduksi berinteraksi dengan potensi pcriodik dari kisi kisi-kisi, wc harus memiliki Dari hasil (9) untuk pel kita memiliki Ap ,, = fi, Ak + hG [(VkIC (k + G) I2). Ak]. G (12)

Perubahan Apl, dalam kisi ~ rlornentunr yang dihasilkan dari perubahan keadaan elektron dapat diturunkan oleh pertimbangan fisik dasar. Sebuah elektron yang dipantulkan oleh kisi mentransfer momentum ke kisi tersebut. Jika elektron insiden dengan komponen gelombang pesawat momentum hk tercermin dengan momant ~~ mh (k + G), kisi memperoleh momentum -hG, seperti yang diperlukan oleh konservasi momentum. Momentum transfer ke kisi ketika keadaan $ k pergi ke $ k + hk adalah Aplat = -fix G [(Vk / C (k + G) I2. Ak], G (13) karena bagian Vk C (k + 6) 1 '. Ak dari masing-masing komponen individu dari keadaan awal direfleksikan selama perubahan status Ak. Perubahan momentum total oleh karena itu Apa + Ap ~, t = J = fiAk, (15) persis seperti untuk elektron bebas, Persamaan (10) .Jadi dari definisi J, kita memiliki * / dt = F, (16) diturunkan dalam (5) dengan metode yang berbeda. Derivasi yang ketat dari (16) dengan metode yang sangat berbeda diberikan dalam Lampiran E. Lubang Sifat-sifat orbital kosong dalam pita yang diisi othenvise adalah penting dalam fisika semikonduktor dan dalam elektronika keadaan padat. Orbital kosong dalam sebuah band biasanya disebut lubang, dan tanpa lubang tidak akan ada transistor. diterapkan medan listrik dan magnet seolah-olah itu memiliki muatan positif + e. Alasannya diberikan dalam lima stcps di kotak-kotak yang mengikuti. 1. k ,, = -k,. 07) Total wavevector dari elektron dalam mengisi Band ed adalah nol: Zk = 0, di mana jumlahnya melebihi semua negara di zona Brillouin. Hasil ini mengikuti dari geometri syrn ~ rletry zona Brillouin: setiap tipe kisi fundamental memiliki simetris di bawah operasi inversi r + -r tentang setiap titik kisi; Oleh karena itu, Brillouin tidak satupun dari latticc juga memiliki simetri inversi. Jika band diisi, semua pasangan orhitals k dan -k diisi, dan total wavevector adalah nol. Jika suatu elektron hilang dari suatu orbital dari wavevector k, total wavevector dari sistem adalah -k, dan dihubungkan ke lubang. Hasil ini mengejutkan: elektron hilang fro ~ ri k, dan tllt: posisi lubang biasanya ditunjukkan secara grafis sebagai terletak di ke, seperti pada Gambar. 7. Tapi wavevector sebenarnya dari lubang adalah -k ,, yang wavevector dari titik G jika lubang berada di E. The wavevector -k, cntcrs ke sclcction rtilcs untuk penyerapan foton. Lubang adalah deskripsi alternatif dari sebuah band dengan satu elektron yang hilang, dan kita juga mengatakan bahwa lubang memiliki wavevector k, atau bahwa band dengan satu elektron yang hilang memiliki total wavevector -k ,. 8 Kristal Semikonduktor 195

Gambar 7 Penyerapan foton energi fio dan pengalih gelombang diabaikan mengambil elektron dari E dalam pita valensi terisi ke Q pada pita konduksi. Jika k, adalah wavevector elektron pada E, ia menjadi wavevector elektron pada Q. Total wavevector dari band valensi setelah penyerapan adalah - +, dan ini adalah wavevector yang harus kita anggap sebagai lubang jika kita mendeskripsikan pita valensi seperti yang ditempati oleh satu lubang. Jadi kh = -k ,; wavevector lubang sama dengan wavevector elektron yang tetap pada 6. Untuk keseluruhan sistem, total wavevector setelah absorpsi foton adalah k, + = 0, sehingga total wavevector tidak berubah oleh absorpsi foton dan penciptaan elektron bebas dan lubang bebas. 2. = - ~, (k,). (18) Di sini nol energi dari band valensi adalah di bagian atas band. Semakin rendah pada pita elektron yang hilang, semakin tinggi energi sistem. Energi lubang berlawanan dengan tanda energi elektron yang hilang, karena dibutuhkan kerja lebih banyak untuk mengeluarkan elektron dari orbital yang rendah daripada dari orbital yang tinggi. Jadi jika band simetris, 'e, (k,) = € @ (- kg) = -eh (-k) = -ch (kh). Kami membangun pada Gambar. 8 skema band untuk mewakili sifat-sifat lubang. Pita lubang ini merupakan representasi yang membantu karena tampak sisi kanan ke atas. 3. vh = v,. (19) Kecepatan lubang sama dengan kecepatan elektron yang hilang. Dari Gambar. 8 kita melihat bahwa Veh (kh) = Ve, (ke), SO yang vh (kh) = v, (k,). 'Band selalu simetris di bawah inversi k + -k jika interaksi spin-orbit diabaikan. Bahkan dengan interaksi spin-orbit, band selalu simetris jika struktur kristal memungkinkan operasi inversi. Tanpa pusat simetri, tetapi dengan interaksi spin-orbit, pita-pita itu simetris jika kita membandingkan subband yang arah putarannya terbalik. ~ (k, T) = E (-k, J). Lihat QTS, Bab 9. Lubang band yang dibangun k Gambar 8 Setengah bagian atas gambar menunjukkan pita lubang yang mensimulasikan dinamika lubang, dibangun dengan inversi band valensi di titik asal. Vektor gelombang dan energi lubang sama, tetapi berlawanan dalam tanda, dengan gelombang dan energi dari orbital elektron kosong dalam band va- lence. Kami tidak menunjukkan disposisi elektron dihapus dari band valensi di k ,. 4. rnh = -me. (20) Kami menunjukkan di bawah bahwa massa efektif berbanding terbalik dengan kelengkungan d2e / dk2, dan untuk pita lubang ini memiliki tanda berlawanan dengan itu untuk sebuah elektron dalam pita valensi. Dekat bagian atas band valensi m, negatif, sehingga mh positif. mc, 1 5. fi- = e (E +? vhXB) dt. (21) Ini berasal dari persamaan gerak (CGS)

mc, fi- = - 1 dt e (EXB) (22) yang berlaku untuk elektron yang hilang ketika kita mengganti -kh untuk k, dan vh untuk v ,. Persamaan gerak untuk sebuah lubang adalah partikel muatan positif e. Muatan positif konsisten dengan arus listrik yang dibawa oleh pita valensi pada Gambar 9: arus dibawa oleh elektron yang tidak berpasangan pada orbital 6: j = (-e) v (G) = (- e) [- v (E)] = ev (E), (23) yang hanya merupakan arus muatan positif yang bergerak dengan kecepatan yang diberikan ke elektron yang hilang pada E. Arus ditunjukkan pada Gambar. 10. 8 Semikonduktor Kristal 197 Gambar 9 (a) Pada t = 0 semua negara diisi kecuali F di bagian atas band; kecepatan o, adalah nol pada F karena deldk, = 0. (b) Medan listrik E, diterapkan dalam arah + x. Gaya pada elektron berada pada -k, arah dan semua elektron membuat transisi bersama-sama dalam -k, arah, memindahkan lubang ke keadaan E. (c) Setelah interval lebih lanjut elektron bergerak lebih jauh di sepanjang tinta ruang dan lubang sekarang di D Gambar 10 Gerak elektron pada pita konduksi dan lubang di tangan valensi di medan listrik E. Kecepatan loncatan lubang dan elektron berada dalam arah yang berlawanan, tetapi arus listriknya berada pada arah yang sama, arah medan listrik. Massa yang Efektif Ketika kita melihat hubungan energi-wavevector E = (h2 / 2m) k2 untuk elektron bebas, kita melihat bahwa koefisien k2 menentukan kelengkungan E dibandingkan k. Berubah, kita dapat mengatakan bahwa llm, massa timbal balik, menentukan kurun waktu. Untuk elektron dalam sebuah band dapat terdapat daerah dengan kurva tinggi yang tidak biasa di dekat celah pita di batas zona, seperti yang kita lihat dari solusi pada Bab 7 dari persamaan gelombang dekat batas zona. Jika celah energi kecil dibandingkan dengan energi elektron bebas A pada batas, kurvatur akan ditingkatkan oleh faktor MEg. Dalam semikonduktor lebar band, yang seperti energi elektron bebas, adalah urutan 20 eV, sedangkan celah pita adalah dari urutan 0,2 hingga 2 eV. Dengan demikian massa timbal balik ditingkatkan dengan faktor 10 hingga 100, dan massa efektif berkurang menjadi 0,1-0,01 dari massa elektron bebas. Nilai-nilai ini berlaku dekat celah pita; saat kita menjauh dari celah, lekukan dan massa cenderung mendekati elektron-elektron bebas. Untuk meringkas solusi Bab 7 untuk U positif, sebuah elektron di dekat tepi bawah dari pita kedua memiliki energi yang dapat ditulis sebagai E (K) = E, + (h212m,) l? ; m, lm = l / [(W / U) -11. (24) Di sini K adalah wavevector yang diukur dari batas zona, dan saya menunjukkan massa efektif elektron dekat tepi pita kedua. Elektron di dekat bagian atas band pertama memiliki energi Kelengkungan dan karenanya massa akan bc ncgativc ncar thc atas band pertama, tapi kami telah memperkenalkan tanda mimls ke (25) agar simbol m, untuk massa lubang akan memiliki nilai-lihat positif (20) di atas. Kristal tidak menimbang kurang jika massa efektif pembawa kurang dari massa elektron bebas, juga hukum dunia Newton melanggar kristal yang membawa kita keseluruhan, ion ditambah pembawa. Yang penting adalah bahwa sebuah elektron dalam potensi periodik dipercepat relatif terhadap kisi-kisi dalam medan magnetis atau magnetis seolah-olah massa elektron sama

dengan massa efektif yang sekarang kita definisikan. Kami membedakan hasilnya (1) untuk kecepatan kelompok untuk mendapatkan hie know dari (5) bahwa dkldt = Ffi, dari mana Jika kita mengidentifikasi fi2 / (d2 ~ / dk2) sebagai II ~~ SS, the11 (27) ~ SSUIII ~ S for111 hukum kedua Newton. \ Ve tentukan massa efektif m * oleh Ini mudah untuk menggeneralisasi ini untuk memperhitungkan permukaan anisotropic clcctron, seperti untuk elektron di Si atau Ge. Saya memperkenalkan komponen tensor massa timbal balik yang efektif di mana p, v adalah koordinat Cartesian. Interpretasi Fisik dari Mass Effectke Bagaimana sebuah clrctron of mass m whcn dimasukkan ke dalam clystal merespon ke bidang applicd seolah-olah massa itu m * '? Adalah membantu untuk memikirkan proses refeksi Bragg gelombang elektron dalam suatu kisi. Pertimbangkan pendekatan interaksi lemah yang dirawat di Bab 7. Dekat bagian bawah pita bawah orbital diwakili cukup memadai oleh plar ~ e wave exp (ikx) dengan rrionielitn ri ri; komponen gelombang exp [i (k - G) r] dengan mome ~ ltum h (kG) adalah sulall dan 8 Semiconductor Crystals 199 Beam v Gambar 11 Penjelasan massa efektif negatif yang terjadi di dekat, tetapi di bawah, batas zona Brillouin. Dalam (a) energi dari insiden berkas elektron pada kristal tipis sedikit terlalu rendah untuk menenangkan kondisi untuk refleksi Bragg dan pancaran ditularkan melalui kristal. Aplikasi tegangan kecil di grid dapat, seperti pada (b), menyebabkan kondisi Bragg dipenuhi, dan sinar elektron kemudian akan direfleksikan dari set pesawat kristal yang tepat. hanya meningkat secara perlahan saat k dinaikkan, dan dalam regon ini m * = m. Peningkatan komponen yang dipantulkan exp [i (k - G) x] sebagai k meningkat mewakili transfer mentor ke elektron dari kisi. Dekat batas komponen yang dipantulkan cukup besar; pada batas itu menjadi sama dalam amplitudo ke komponen depan, di mana titik eigenfungsi adalah gelombang berdiri, daripada menjalankan gelombang. Di sini komponen momentum h (- k G) membatalkan komponen momentum fi ($ G). Satu elektron tunggal dalam pita energi mungkin memiliki massa efektif positif atau negatif: keadaan massa efektif positif terjadi di dekat bagian bawah pita karena massa efektif positif berarti bahwa pita memiliki kelengkungan ke atas (d2eldk2 positif). Serikat massa efektif negatif terjadi di dekat bagian atas band. Massa negatif yang efektif berarti bahwa pada pergi dari negara k ke negara k + Ak, momentum transfer ke kisi dari elektron lebih besar daripada transfer momentum dari gaya yang diterapkan ke elektron. Meskipun k meningkat oleh Ak oleh medan listrik yang digunakan, pendekatan terhadap refleksi Bragg dapat menghasilkan penurunan keseluruhan dalam momentum maju elektron; ketika ini terjadi massa efektif negatif (Gbr. 11). Ketika kita melanjutkan pada pita kedua dari batas, amplitudo exp [i (k - G) x] menurun dengan cepat dan m *

mengasumsikan nilai positif kecil. Di sini peningkatan kecepatan elektron yang dihasilkan dari impuls eksternal yang diberikan lebih besar daripada yang akan dialami elektron bebas. Kisi-kisi membentuk perbedaan melalui berkurangnya recoil yang dialami ketika amplifier exp [i (k - G) x] berkurang. Jika energi dalam sebuah band hanya bergantung sedikit pada k, maka massa efektif akan sangat besar. Artinya, m * lm% - 1 ketika d2eldk2 sangat kecil. Pendekatan yang mengikat ketat yang dibahas dalam Bab 9 memberikan wawasan cepat ke dalam formasi band sempit. Jika wavefunctions berpusat pada atom yang berdekatan tumpang tindih sangat sedikit, maka integral tumpang tindih kecil; lebar pita sempit, dan massa efektif besar. Tumpang tindih fungsi gelombang yang berpusat pada atom yang berdekatan kecil untuk elektron dalam atau inti. The 4f elektron dari logam tanah langka, misalnya, tumpang tindih sangat sedikit. Massa EfJkctive di Semikonduktor Dalam banyak semikonduktor telah dimungkinkan untuk menentukan dengan siklotron resonansi massa efektif pembawa di pita konduksi dan valensi dekat tepi band. Penentuan permukaan energi setara dengan penentuan tensor massa efektif (29). Cyclotron resonansi dalam semikonduktor dilakukan dengan gelombang sentimeter atau gelombang radiasi gelombang pada konsentrasi pembawa rendah. Operator saat ini dipercepat dalam orbit heliks tentang sumbu medan magnet statis. Frekuensi rotasi sudut w, adalah eB (CGS) w = - m * c 'di mana m * adalah massa efektif siklotron yang sesuai. Penyerapan energi yang resonan dari medan listrik rf tegak lurus terhadap medan magnet statis (Gambar 12) terjadi ketika frekuensi rf sama dengan frekuensi siklotron. Lubang dan elektron berotasi berlawanan dalam medan magnet. Kami menganggap percobaan untuk m * / m = 0,1. Pada f, = 24 GHz, atau w, = 1,5 X 10 "s- ', kita memiliki B = 860 G pada resonansi. Lebar garis ditentukan oleh waktu relaksasi tabrakan T, dan untuk memperoleh resonansi khusus perlu bahwa wcr 3 1. Jalur rata-rata bebas harus cukup panjang untuk memungkinkan pembawa rata-rata untuk mendapatkan satu radian di sekitar lingkaran antara tabrakan.Persyaratan dipenuhi dengan penggunaan radiasi frekuensi yang lebih tinggi dan medan magnet yang lebih tinggi, dengan kristal kemurnian tinggi di helium cair.Dalam semikonduktor langsung-gap dengan band tepi di pusat zona Bril- louin, band memiliki struktur yang ditunjukkan pada Gambar. 13. Tepi pita konduksi adalah bulat dengan mo massa yang efektif: ,,.,,, ..., ... ... 8 ... A8 (shtiel - Gambar 12 Arrangcmcnt bidang di Ef a cvclotron rrso ~~ ancr rxprrllrtrr! T 111 a sr ~~~ icor ~ ductor. Tl ~ r srl !, t. oS sirkulasi berlawanan untuk elektron dan lubang.8 Kristal Semikonduktor 201 ~~ lit. ~ ffh ~ l ~~ Gambar 13 Tampilan sederhana dari struktur tepi pita dari sebuah direct- gap saya semikonduktor. Tabel 2 Efektif massa elektron dan lubang di semikonduktor direct-gap

Electron Lubang berat Lubang cahaya Lubang split-off Spin-orhit Crystal m..Jm A. eV InSb 0.015 0.39 0.021 (0.11) 0.83 InAs 0.026 0.41 0.025 0.08 0.43 InP 0.073 0.4 (0,078) (0,15) 0,11 GaSb 0,047 0,3 0,06 (0,14) 0,80 GaAb 0,066 0,5 0,082 0,17 0,34 Cu, O 0,99 - 0,58 0,69 0,13 diolah kembali ke tepi valensi tangan. Pita valensi berkarakter tiga kali lipat di dekat tepi, dengan lubang berat hh dan lubang cahaya lh band berdenyut di pusat, dan sebuah band soh terpisah oleh spin-orbit yang membelah A: Nilai parameter massa diberikan dalam Tabel 2. Formulir (32) hanya perkiraan, karena bahkan dekat dengan k = O tangan lubang yang berat dan ringan tidak bulat - lihat diskusi di bawah untuk Ge dan Si. Teori perturbasi dari band edgcs (Soal 9.8) menunjukkan bahwa massa efektif elektron harus sebanding dengan band gap, kira-kira, untuk kristal celah langsung. Kami menggunakan Tabel 1 dan 2 untuk menemukan nilai mJ (mEg) = 0,063, 0,060, dan 0,051 dalam (eV) - 'untuk seri InSb, InAs, dan In!?, Sesuai dengan saran ini. Silikon dan Germanium Band konduksi dan katup ger ~ rlaniunl ditunjukkan pada Gambar. 14, berdasarkan kombinasi hasil teoritis dan pengalaman. Tepi pita valensi baik dalam Si dan Ge adalah pada k = 0 dan merupakan turunan dari p ,, dan status pllz dari atom frce, seperti yang jelas dari pendekatan yang sempit (Bab 9) ke wa \ ~ efiinctions. Tingkat p, empat kali lipat berdegenerasi seperti pada atom; keempat negara tersebut berkorespondensi dengan m, nilai & & & $. Tingkat p ,, merosot ganda, dengan mJ =? saya. Negara-negara bagian p31z lebih tinggi dalam hal energi, yaitu; perbedaan energi A adalah ukuran interaksi spin-orbit. Tepi band valensi tidak sederhana. Lubang-lubang ncar thc band ditandai oleh dua massa cffrctivc, ringan dan berat. Ini muncul dari dua tangan yang terbentuk dari tingkat p ,, dari atom. Ada juga sebuah band yang terbentuk dari p ,, level, berpisah dari p ,,, tingkat oleh interaksi spin-orbit. Permukaan energi tidak bulat, tetapi melengkung (QTS, p. 271): ~ (k) = ~ k ~% [FI2k4 + C2 (k: k; + k $: + kfki) J112 (33) Pilihan tanda distiriguishes dua Inasses. Band split-off memiliki ~ (k) = -A + Ak2. Percobaan memberi, dalam satuan h2 / 29ra, Si: A = -4,29; IBI = 0,68; ICI = 4,87; A = 0,044 eV Ge: A = -13,38; IBI = 8,48; ICI = 13.15; A = 0.29eV Secara kasar, lubang ringan dan berat dalam germanium memiliki massa 0,043 m dan 0,34 m; dalam silikon 0,16 nL dan 0,52; dalam berlian 0,7 rn dan 2,12 rn. Tepian pita konduksi di Ge berada pada titik ekivalen L dari zona Brillouin, Gambar. 15a. Setiap band edge memiliki surfvis energi spheroidal yang beralur sepanjang (111) sumbu kristal, dengan massa longitudinal ml = 1,59 nl dan massa transversal m, = 0,082 m. Untuk medan magnet statis pada sudut 0 dengan sumbu longitudinal dari spheroid, massa siklotron efektif m, adalah Hasil untuk Ce ditunjukkan pada Gambar. 16. 111 silicor ~ tepi pita konduksi yang spheroids berorientasi sepanjang ekuivalen (100) arah di zona Brillouin, dengan parameter massa ml = 0,92 m dan m, = 0,19 m, seperti pada Gambar. 17a. Tepi tangan terletak di sepanjang garis yang dilewati A pada zona Gambar. 15a, agak jauh dari titik batas X. Di Gaas kita memiliki A = -6,98, B = -4,5, ICI =

6,2, A = 0,341 eV. Struktur band ditunjukkan pada Gambar. 1%. Ini memiliki celah pita mrect dengan massa elektron konduksi isotropik dari 0,067 masuk Gambar 14 Menghitung struktur pita germanium, setelah CY Fong. Fitur-fitur umum sangat sesuai dengan eksperimen. Empat band valensi ditampilkan dalam warna abu-abu Struktur halus dari tepi band valensi disebabkan oleh pemisahan spin-orbit. Celah energi tidak langsung; tepi pita konduksi berada pada titik (2.rr / a) (: i). Permukaan energi konstan di sekitar titik ini adalah ellipsoidal. Gambar 15 Sta ~~ label dard dari titik simetri dan awes dari zona Rrillouin dari kisi fcc dan hcc. Pusatpusat zona adalah T. Dalam (a) titik batas pada (2m / a) (100) adalah X; titik houndary pada (2w / a) (; jika) adalah L; garis 4 berjalan antara I 'dan X. Dalam (b) sy ~ ribal yang sesuai adalah H, P, dan A. Gambar 16 Massa siklotron efektif elektron dalam germa- nium pada 4 K untuk arah medan magnet dalam a (110) planc. Thcrc adalah empat spheroids mas independen di Ge, satu di sepanjang sumbu [Ill], tetapi dilihat pada (110) pesawat hvo spheroids selalu tampak setara. (Setelah Drcssclhaus, Kip, dan Kittel.). 4ngle dalam derajat dalam (110) bidang dari [001] sumbu 8 Semikonduktor Kristal 205 (a) Gambar 17a Energi ellipsoid konstan untuk elektron dalam silikon, digambar untuk mllm, = 5. 4 3 2 % 1 C. * 8 OBW -1 -2 3 4 L rx (b) Gambar 17b Struktur Band Gaas, setelah S. 6. Louie. KONSENTRASI INTRINSIC CARRIER Kami menginginkan konsentrasi pembawa intrinsik sebagai fungsi tempera- ture, dalam hal kesenjangan pita. We do the calculation for simple parabolic band edges. We first calculate in terms of the chemical potential p the number of electrons excited to the conduction band at temperature T. In semiconductor physics p is called the Fermi level. At the temperatures of interest we may suppose for the conduction band of a semiconductor that E - jt k,T, so that the Fermi-Dirac distribution function reduces to This is the probability that a conduction electron orbital is occupied, in an approximation valid when f, < 1. The energy of an electron in the conduction band is where E, is the energy at the conduction band edge, as in Fig. 18. Here me is the effective mass of an electron. Thus from (6.20) the density of states at E is The concentration of electrons in the conduction band is

whicl~ integrates to give The probleln is solved for when y is known. It is useful to calculate the equilibrium concentration of holes p. The distribution functionfi, for lloles is rclatcd to the electron distribution functionf, byfh = 1 -f,, because a hole is the absence of an electron. Iic: have provided (y - E) % k,T. If the holes near the top of the valence band behave as particles with effcctivc mass mh, the density of hole states is given by where E, is the energy at the valence band edge. Proceeding as in (38) we obtain for the concentration p of holes in the valence band. Wc multiply together the expressions for n and p to obtain the equilibrium relation, with the energy gap E, = E, - E, as in Fig. 18, This useful result does not involve the Ferrrii level p. At 300 K the value of rrp is 2.10 X 10'%m-" 2.89 x 10'%m-" and 6.53 X 10'\1n-" for the actual band structures or Si, Ge, and GaAs, respectively. Lic haw nowhcre assumed in the derivation that the material is intrinsic: the result holds for impnrity ionization as well. The only asslimption made is that the distance of the Fermi level from the edge of both bands is large in comparison with kBT. A simple kinetic argument shows why the product np is constant at a given te~nperature. Suppose that the equilibrium population of electrons and lloles 8 Semiconductor Crystals 207 Figure 18 Energy scale for statistical calcula- tions. The Fermi distribution function is shown on the same scale, for a temperature kgT < Eg. The Fermi level p is taken to lie well within the band gap, as for an intrinsic semiconductor. If E = p, then f = i. is maintained by black-body photon radiation at temperature T. The photons generate electron-hole pairs at a rate A(T), while B(T)np is the rate of the re- combina tion reaction e + h = photon. Then dnldt = A(T) - B(T)np = dpldt . (44) In equilibrium dnldt = 0, dpldt = 0, whence np = A(T)IB(T). Because the product of the electron and hole concentrations is a constant independent of impurity concentration at a given temperature, the introduction of a small proportion of a suitable impurity to increase n, say, must decrease p. This result is important in practice-we can reduce the total canier concentra- tion n + p in an impure crystal, sometimes enormously, by the controlled intro- duction of suitable impurities. Such a reduction is called compensation. In an intrinsic semiconductor the number of electrons is equal to the number of holes, because the thermal excitation of an electron leaves behind a hole in the valence band. Thus from (43) we have, letting the subscript i de- note intrinsic and E, = E, - E,, The intrinsic carrier concentration depends exponentially on Ep12kBT, where Eg is the energy gap. We set (39) equal to (42) to obtain, for the Fermi level as measured from the top of the valence band, If m,, = m,, then p = Eg and the Fermi level is in the middle of the forbid- den gap. Intrinsic Mobility

The mobility is the magnitude of the drift velocity of a charge carrier per unit electric field: p = ~uI/E . (48) The mobility is defined to he positive for both electrons and holes, although their drift velocities are opposite in a given field. By writing pe or p,, with subscripts for the electron or hole mobility we can avoid any confusion be- tween p as the chemical potential and as the mobility. The electrical conductivity is the sum of the electron and hole contributions: where n and p are the concentrations of electrons and holes. In Chapter 6 the drift velocity of a charge q was found to be u = q~E/m, whence where T is the collision time. The mobilities depend om temperature as a modest power law. The tem- perature dependence of the conductivity in the intrinsic region will be dominated by the exponential dependence exp(-Epk,T) of the carrier con- centration, Eq. (45). Table 3 gives experimental values of the mobility at room temperature. The mobility in SI units is expressed in m2N-s and is lo-' of the mobility in practical units. For most substances the values quoted are limited by the scat- tering of carriers by thermal phonons. The hole mohilities typically are smaller than the electron mobilities because of the occurrence of band degeneracy at the valence band edge at the zone center, thereby making possible interband scattering processes that reduce the mobility considerably. Table 3 Carrier mobilities at room temperature, in cm2N-s Crystal Electrons Hohs Crystal Electrons Holm Diamond Si Ge InSb InAs InP A1 As AlSb GaAs GaSb PbS PhSe PbTe AgCl KBr (100 K) SIC 8 Semiconductor Crynials 209 In some crystals, particularly in ionic crystals, the holes are essentially immobile and get about only by thermally-activated hopping from ion to ion. The principal cause of this "self-trapping" is the lattice distortion associated with the Jahn-Teller cf'fect of degenerate states. The orbital degeneracy neces- sary for self-trapping is much more frequent for holcs than for electrons. There is a tendency for crystals with small cncrgy gaps at direct barid edges to havc high values of the electron mobility. Small gaps lead to small effcctive masses, which favor high mobilities. The highest mobility observed in a bulk semiconductor is 5 X lo6 cm2117-s in PbTe at 4 K, where the gap is 0.19 eV. IMPURITY CONDUCTIVITY Certain impurities and imperfections drastically affect the rlectrical prop- erties of a se~niconductor. The addition of boron to silicon in the proportion of 1 boron atom to lo5 silicon atoms increases the conductivity of pure silicorl at room temperature by a factor of 10'. I11 a componnd semiconductor a stoichio- ~netric deficiency of one constituent will act as an impurity; such semiconduc- tors are known as deficit semiconductors. The deliberate additioil of impuri- ties to a semiconductor is called doping. We consider the affect of impurities in silicon and germanium. These ele- ments crystallize in the diamond structure. Eacli atom lorms f'oiir covalent bonds, one with each of its nearest neighbors, corresponding to the chemical valence four. II an impurity atom of valence five, such as phosphorus, arsenic, or antimony, is slibstituted in the lattice in place of a normal atom, there will be

one valcnce electron from the impurity atom left over after the four cova- lent bonds are establislied with the ncarest neighbors, that is, after the impii- rity atom has been acco~nmodated in the structure wit11 as little disturbance as possible. Impurity atoms that can give up an electron are called donors. Donor States. The structure in Fig. 19 has a positive charge on the impurity atom (which has lost one electron). Lattice constant studies have verified that the pentavalent impurities enter the lattice by substitution for normal atorns, and not in interstitial positions. The crystal as a wholc remains neutral because the electron remains in the crystal. The extra electron moves in the coulomb potential e/~r of the impurity ion, where E in a co\~alent crystal is the static dielectric constant of the medium. The factor l/e takes account of the reduction in the coulomb force between charges caused by thc electronic polarization of the mcdi~im. This treatment is valid for orbits large in compariso~l with the distance between atoms, aid for slow motions of the electron such that thc orbital frequency is low in comparison with the frequency wg corrcsponding to the energy gap. These conditions are satisfied quite well in Ge and Si by the donor electron of P, As, or Sb. Figure 19 Charges associated with an arsenic ~mpurity atom in silicon. Arsenic has five valence electrons, but silicon has only four valence electrons. Thus four electrons on the arsenic form tetrahedral covalent bonds similar to silicon, and the fifth electron is available for conduction. The arsenic atom is called a donor because when ionized it donates an electron to the conduction band. We estimate the ionization energy of the donor impurity. The Bohr theory of the hydrogen atom may be modified to take into account the dielectric constant of the medium and the effective mass of an electron in the periodic potential of the crystal. The ionization energy of atomic hydrogen is e4m/2fi2 in CGS and -e4m/2(4wc0fi)' in SI. In the semiconductor with dielectric constant E we replace e2 by e% and m by the effective mass me to obtain e4% - (13.6 me) ev ; (CGS) Ed =-- -- 2c2A2 €2 as the donor ionization energy of the semiconductor. The Bohr radius of the ground state of hydrogen is ti2/me2 in CGS or 4wc0A2/me2 in SI. Thus the Bohr radius of the donor is €ti2 - (0.53~) ; (CGS) ad = -- - - m,e2 m$m The application of impurity state theory to germanium and silicon is com- plicated by the anisotropic effective mass of the conduction electrons. But the dielectric constant has the more important effect on the donor energy because it enters as the square, whereas the effective mass enters only as the first power. To obtain a general impression of the impurity levels we use me = 0.1 m for electrons in germanium and m, = 0.2 m in silicon. The static dielectric constant is given in Table 4. The ionization energy of the free hydrogen atom is 13.6 eV. For germanium the donor ionization energy Ed on our model is 5 meV, reduced with respect to hydrogen by the factor m$me2 = 4 x The corresponding result for silicon is 20 meV. Calculations using the correct 8 Semiconductor Cqstah 211 Table 4 Static relative dielectric constant of semiconductors Crystal Crystal E

Diamond Si c:c I11SI-r InAs InP GaS b GaAs AlAs AlSb Sic cu,o Table 5 Donor ionization energies Ed of pentavalent impurities in germanium and silicon, in meV anisotropic niass tensor predict 9.05 meV for germanium and 29.8 meV for silico~i. Observed values of donor ionizatioli energics in Si and Ge are given in Table 5. In GaAs donors have Ed = 6 meV. The radius of the first Bohr orbit is increased by em/rr~, over the value 0.53 A For the free hydrogen atom. Thc corresponding radius is (160)(0.53) = 80 in germanium and (60)(0.,53) = 30 A in silicon. These arc large radii, so that donor orbits overlap at relatively low donor concentrations, compared to the number of host atoms. With appreciable orbit overlap, an "impurity band" is formed from the donor states: see the discussion of the metal-insulator tran- sition in Chaptcr 14. The semiconductor can conduct in the impurity band by electrons hop- pi~lg from donor to donor. The process of impurity band conduction sets in at lowcr donor concentratiori levels if there are also some acceptor atoms pre- sent, so that some of the donors are always ionized. It is easier for a donor electron to hop to an ionized (unoccupied) donor than to an occupied donor atom, in order that two electrons will not have to occnpy the same site during charge transport. Acceptor States. A hole may be bound to a trivalent impurity in germanium or silicon (Fig. 20), just as an electron is hound to a pentavalent impurity. Trivalent impurities such as B, Al, Ga, and In are called acceptors because they accept electrons from thc valence band i11 order to complete the covalent bonds with neighbor atoms, leaving holes in the band. Figure 20 Boron has only three valence electrons; it can complete its tetrahedral bonds only by taking an electron from a Si-Si bond, leaving behind a hole in the silicon valence band. The positive hole is then available for conduction. The boron atom is called an acceptor because when ionized it accepts an electron from the valence band. At 0 K the hole is hound. Table 6 Acceptor ionization energies E, of trivalent impurities in germanium and silicon, in meV When an acceptor is ionized a hole is freed, which requires an input of energy. On the usual energy band diagram, an electron rises when it gains energy, whereas a hole sinks in gaining energy. Experimental ionization energies of acceptors in germanium and silicon are given in Table 6. The Bohr model applies qualitatively for holes just as for electrons, but the degeneracy at the top of the valence band complicates the effective mass problem. The tables show that donor and acceptor ionization energies in Si are com- parable with k,T at room temperature (26 meV), so that the thermal ionization of donors and acceptors is important in the electrical conductivity of silicon at room temperature. If donor atoms are present in considerably greater num- bers than acceptors, the thermal ionization of donors will release electrons into the conduction band. The conductivity of the specimen then will be con- trolled by electrons (negative charges), and the material is said to be n type. If acceptors are dominant, holes will be released into the valence band and the conductivity will be controlled by holes (positive charges): the mater- ial is p type. The sign of the Hall voltage (6.53) is a rough test for n or p type. 8 Semiconductor Crystaln 213

A-type annealed 1000/T Figure 21 Temperature dependence of the free carrier concentration in ultrapure Ge, after RN Hall. The net cuncentration of electrically active irnpuritics is 2 X 10" ~rn-~, as determined by Hall coefficient measurements. The rapid onset of intrinsic excitation as tlic temperature is in- creasrd is evident at low values of 1/T. The carrier corrccntration is closely constant between 20 K and 200 K. Another handy laboratory test is the sign of the thermoelectric potential, dis- cussed below. The numbers of holes and electrons arc equal in the intrinsic regime. The intrinsic electron concentration ni at 300 K is 1.7 X loi3 cm-3 in germanium and 4.6 X 10' cm-3 in silicon. Thc electrical resistivity of intrinsic material is 43 ohm-cm for germanium and 2.6 X 10' ohm-crn for silicon. Germanium has 4.42 x 10" atoms per cm! The pi~rification of Ge has been carried further than any other element. The concentration of the comIrlon electrically active impurities-the shallow donor and acceptor impurities-has been reduced below 1 impurity atom in 10" Ge atoms (Fig. 21). For example, the concentration of I' in Ge can be reduced below 4 X 10'' cm-! There are irnpuritics (H, 0; Si, C) whose conccntrations in Ge cannot usually be reduced below 10"- loL4 ~rn-~ , but these do not affect electrical measure~nents and therefore may be hard to detect. Thermal Ionization of Donors and Acceptors The calcl~lation of the equilibrium concentration of conduction electrons from ionized donors is identical with thc standard calculatio~l in statistical me- chanics of the thermal ionization of hydrogen atoms (TP, p. 369). If there are no acceptors present, the result in the low temperature limit kBT 4 Ed is Electron concentration, cm-3 Figure 22 Electrical conductivity and hole concentration p calculated as a function of electron co~ice~~tration n for a semicondnctor at a temperature such that np = lVU cmP The conductivity is symmetrical about n = 10'" cm-! For n > lO"', the specimen is n type; for n < lo"', it is p hFe. We have taken p, = ph, for the niobilities. with no = 2(rnJ~,T/2d~)~/~; here Nd is the concentration of donors. To obtain (53) we apply the laws of chemical eqililibria to the concentration ratio [e][@]/[Nd], and then set [Nil = [el = n. Identical reslllts hold for acceptors, under the assumption of no donor atoms. If the donor and acceptor concentrations are comparable, affairs are com- plicated and the equations are solved by numerical methods. However, the law of mass action (43) requires the np product to be constant at a given tempera- ture. An excess of donors will increase the electron concentration and de- crease the hole concentration; the sum n + p will increase. The conductivity will increase as n + p if the mobilities are equal, as in Fig. 22. THERMOELECTRIC EFFECTS Consider a selniconductor maintained at a constant temperature while an electric field drives through it an electric current density j,. If the current is carried only by electrons, th e charge flux is where p, is the electron mobility. The average energy transported by an elec- tron is referred to the Fermi level p,

8 Semiconductor Crystals 215 where E, is the energy at the conduction band cdge. R7e refer the energy to the Fermi level because different conductors in contact have the saIne Fermi level. The energy flux that acco~npanies the charge flux is The Peltier coefficient II is defined hy j, = IIjy; or the energy carried per unit charge. For electrons, II,= -(~,-p+$k~~)le (56) and is negative because the energy flux is opposite to the charge flux. For holes jq = pep~E ; j~, = p(p - E, + $kBT)phE , (57) where E, is thc energy at the valence band edge. Thus and is positive. Equations (56) and (58) are the result of our simple drift veloc- ity tbeo~~; a trcatment by the Boltzn~ann transport cqliation gives minor nu- merical difkrence~.~ The absolute thermoelectric power Q is defined from the open circuit electric field created by a temperature gradient: E = Q grad T . (59) The Peltier coefficient II is related to the thcrmoelectric power Q by This is thc famous Kelvin relation of irreversible thermodjmamics. A measure- ment of the sign of the voltage across a scrniconductor specirr~en, one end of which is heated, is a rough and ready uray to tell if the speci~nen is n typc or p type (Fig. 23). SEMIMETALS In semimetals the conduction band edge is very slightly lower in energy than the valence band edge. A small overlap in energy of the cor~duction and valence bands leads to small concentration of holes in the valence band and of electrons in the conduction band (Tahle 7). Three of the semimetals, arsenic, antimony, and bismuth, are in group V of the periodic table. Their atoms associate in pairs in the crystal lattice, with two ions and ten valence electrons per primitive cell. The even number of valence electrons 'A si111ple discussion of Uoltzmann transport theory is given in Appendix I?.'. Figure 23 Peltier coclficient of n and p silicon as a function uf ternperaturc. Above 600 K the specimens act as intlirrsic scmiconduc- tors. The curves are ralci~lated and tlre points are experimentd. (After T H. Gehalle and G. \V, Hull.) Table 7 Electron and hole concentrations in semimetals Semimetal n,, in ern? Arsenic Antirrrony Bismuth Graphite

could allow these elements to be insulators. Like semiconductors, the serni- metals may be doped with suitable impurities to vary the relative numbers of holes and electrons. Their concentrations may also be varied with pressure, for the band edge overlap varies with pressure. SUPERLATTICES Consider a multilayer crystal of alternating thin layers of different composi- tions. Coherent layers on a nanometer thickness scale may be deposited by moleciilar-beam epitaxy or metal-organic vapor deposition, thus building up a sriperperio&c structure on a large scale. Systems of alternate lay.ers of GaAs and GaAlAs have been studied to 50 periods or more, wit11 lattice spacing A of per- haps 5 nm (50 A). A superperiodic crystal potential arises from the sulperperiodic structure and acts on the conduction electrons and holes to create new (small) Brillouin zoncs and mini energy bands superposed on the hand structures of the 8 Semiconductor Crystals 217 constitnent layers. Here we treat the motion of an electron in a superlatticc in an applied electric field. Bloch Oscillator Consider a collisionless electrori in a periodic lattice in one dimension, with motion normal to the planes of the superlattice. The equation of motion in a constant electric field parallel to k is fidkldt = -eE or, for motion across a Brillouin zone with reciprocal lattice vector G = 27r/A, we have fLG = fi2?r/A = eET, where T is the period of the motion. Thc Bloch frequency of the motion is o, = 2v/T = eEA/fi. The electron accelerates from k = 0 towarcl the zonc hoiinda~y; when it reaches k = ?r/A it reappears (as by an Unrklapp proccss) at the zone boundaly at the identical point -dA, using the argument of Chapter 2. \Ve consider the motion in a rnodel systcm in real space. We suppose that the clcctron lies in a simple energy band of width 6,: The velocity in k-space (momentum space) is v = fi-'de/tlk = (AedfL) sin kA , (62) and the position or the clectron in real space, with the initial condition z = 0 at t = 0, is given by z = $0 dt = Jclk v(k)(dtldk) = (Aedfi) Jdk(-fileE) sin kA =(-~~leE)(coa kA - 1) = (-e,leE)(cos(-eEAtlTc) -1) . (63) This confirins that the Bloch oscillation frequency in real space is w, = eEAfi. The motion in the periodic lattice is quite different from the motion in free space, for which the acceleration is constant. Zener Tunneling Thus far we have considered the effect of the electrostatic potential -eEz (or -eEnA) on onc energy band; the potential tilts the urhole band. Higher bands will also he tilted similarly, creating the possibility of crossing between ladder levcls of different bands. The interaction hctween different band levels at thc same energy opens the possibility for an electron in one band at n to cross to

another band at n'. This field-indnced interband tunneling is an example of Zener breakdown, met most often at a single junction as in the Zener diode. SUMMARY The motion of a wave packet centered at wavevector k is described by F = f&dt, where F is the applied force. The motion in real space is ob- tained from the group vclocity vg = fi"Vkc(k). The smaller the energy gap, the smaller is the effective mass Im* ncar thc A crystal with one hole has one empty electron state in an otherwise filled bald. The properties of the hole are those of the N - 1 electrons in this band. (a) If the electron is lnissilig from the state of wavevector k,, then the wavevector of the hole is k,, = -k,. (h) The rate of change of kh In an applied ficld rcquirrs thc assignmrnt of a positive charge to the hole: eh = e = -e,. (c) If u, is the velocity an electron would have in the state k,, then the veloc- ity to be ascribed to the hole of wavevector kh = - k, is uh = u,. (d) The energy of the hole referred to zero for a filled band is positive and is eh(kh)= 4,). (e) The effective mass of a hole is opposite to the effective mass of an elec- tron at the same point on thc energ hand: mh = -me. Problems 1. Impurity orbits. Indium antilnonidc has Eg = 0.23 eV; rlielectric cons tant E = 18; electron cffcctivc mass 7n, = 0.015 m. (:alcnlate (a) the donor ioniratiorr enerc; (b) thc radius of thc ground state orbit. (c) At what miriimilnr donor corrcer~tratior~ will appreciable overlap effects hetween the orbits of acljacerrt impurity atorrls occur? This overlap tends to prodllce an in~pnrity band-a havrd of energy levels which permit cond~~ctivity presi~mabl~ by a hopI>ing rr~ecl~ariisrn in url~id~ electroris iiiove froin one inipurity site to a neighboring ionized impurity site. 2. Ionization of donors. Irr a particular semiconductor there are 1013 donors/cm3 wit11 a11 iomizatio~r energy Ed of 1 meV and an effective mass 0.01 m. (a) Estimate the coricrrrtratio~l of curlduction electrons at 4 K. (b) What is the value of the Hall coeff- icelit? Assurne no acceptor atoms are present and that Eg % kgT. 3. Hall effect with two carrier types. Assuming concentration n; p; relaxation times T,, .rjb; and masses m,, mi,, show that the Hall coefficient in the drift velocity approxi- mation is where b = p,/CLI, is the mobi lity ratio. In the derivation neglect terms of order B2. In SI we drop the c. Hint: In the presence of a longitudinal electric field, find the transverse electric field such that the transverse current vanishes. The algebra may seem tedious, but the result is worth the trouble. Use (6.64), but for two carrier types; neglect (w,:~)' in comparison with w,:~. 8 Semiconductor Crystals 219 4. Cyclotron resonance for a spheroidal energy surface. Consider the energy surface whcrc m, is the transverse mass parameter and rrLl is the longitudinal mass parame- ter. A surface on which c(k) is constant will be a spheroid. Use the equation of mo- tion (6). with v = fi- lVkc. to show that w, = eBl(mlm,)'"c when the static magnetic field B lics in the xy plane. This result agrees with (34) when 0 = d2. The rcsult is in CGS: to obtain SI, omit the c.

5. Magnetoresistance with two carrier types. Problerri 6.9 shows thal in the drift velocity approximation the motion of charge carriers in electric and magnetic ficlds does not lead to transverse magnetoresistance, The result is different with two car- rier types. Considcr a conductor with a concentration n of electro~is of effective n~ws me anrl rclaxation time 7,; and a concentration p of holes of effective rnws 7nh and relaxation time rh. Treat the limit of \rely strong magnetic fields, w,~ * 1. (a) Slrow in this limit that uyr = (n - p)ec/B. (h) Show that the Hall field is given by, with Q = wc7, which vanishes if n = p. (c) Show that the effective conductivity in the x direction is If n = p, u B-'. If 71 + p, u saturatcs in strong fields; that is, it approaches a limit independent ofB as B + m.