Tema1_0

Contenidos del curso Tema 0: Introducción „ BLOQUE 1 „ Tema 1: Capitalización y descuento simple „

„

Tema 2: Capitalización y descuento compuesto

„ BLOQUE 2 „

Tema 3: Rentas

„ BLOQUE 3 „

Tema 4: Préstamos

„

Tema 5: Empréstitos

SUMARIO 1. Concepto de interés simple 2. Concepto de descuento simple 3. Equivalencia de capitales en simple 4. Vencimiento medio 5. Intereses anticipados 6. Descuento bancario de letras 7. La letra de resaca

1-Concepto de interés simple „

Un banco nos prestó 800€ durante 6 meses cobrándonos un interés trimestral del 2%. ¿Cuántos intereses pagaremos?

„

Operación financiera „

Corto plazo

„

Los intereses se pagan al final

Solución „

Gráfica financiera

800 0

1

2

3................................6

„

Capital: C=800 Rédito: r=2% trimestral Tiempo: t=2 trimestres (6 meses)

„

Interés: I=800*2%*2=32 €

„ „

Otra pregunta: ¿cuánto devolveremos en total? „

Gráfica financiera

Vf=M

800 0 „ „ „ „ „

1

2

3................................6

Capital: C=800 Intereses I=32 € Total a devolver: Montante= Capital + Intereses=832€ Lo mismo de otra forma: Montante=800+800*0,02*2=800(1+0,02*2)=832

Generalizando.... „ El interés en capitalización simple: „

I=C*r*t

„ El Montante en capitalización simple „

M=C(1+r*t)

„ La capitalización simple es un Ley Financiera

a c/p en la que los intereses no se acumulan al capital: Los intereses se abonan al final de la operación

Observaciones „ Es necesario que el tiempo y el rédito vengan dados

en la misma unidad temporal y de no ser así deben ser trasladados: „ „

Interés trimestral 2% Tiempo 6 meses= 2 trimestres

„ Año civil o comercial: „ En principio se pueden emplear las dos „ Comercial suele emplearse en operaciones a plazo fijo „ Civil en operaciones en las que el banco es mero intermediario (letras)

Ejercicio 1 „

Un capital de 500.000 € es invertido durante 8 meses al 7% de interés simple anual. Determinar: a) b) c)

El montante obtenido a los 8 meses El interés generado El tanto mensual equivalente

Solución al ejercicio 1 C8

500.000 0

1

2

3............................ ....8 meses

„

8 C8=C0(1+r*n)=500.000(1+0,07* )=523.333€ 12

„

I= C8- C0=523.333-500.000=23.333€

„ „

8 I= C0*i*n=500.000*0,07* =23.333€ 12 r 0, 07 r(12)= = =0,583% m 12

Ejercicio 2 „

Se solicita a un banco un préstamo por 20.000 €. La devolución del mismo se realizará dentro de 2 meses mediante la entrega de 20.600€ „

Determinar cuál es el tipo de interés aplicado en la operación.

Solución al ejercicio 2 20.600

20.000 0

1

2 meses

„

2 20.600=20.000(1+i* ) 12

i=18%

Ejercicio 3 „

Un comerciante adquiere una mercancía por 3.500€ que acuerda pagar entregando al contado 1.500€ y el resto a los 4 meses con un 3% de interés bimensual. „

¿Cuánto deberá pagar en esta última fecha?.

Solución al ejercicio 3 3.500-1.500

0

C4 1

2

3

4 meses

C4=2.000*(1+0,03*2)=2.120€

Ejercicio 4 „

Una persona deposita 150.000€ en una entidad financiera que le garantiza un rendimiento mensual del 2,4%. „

Si se retira dicha imposición a los 48 días, determinar cuál es el montante obtenido.

Solución al ejercicio 4 C48

150.000 0

„

1

2

3............................ ....48 días

48 C48=C0(1+r*n)=150.000(1+0,024* )=155.760€ 30

Ejercicio 5 „

Un individuo presta a otro 3.000€ que se compromete a devolver a los 14 meses. Durante este periodo, el prestatario abonará un interés del 3,5% mensual. „

¿Cuál es el importe que se entregará cada mes en concepto de intereses?

„

Si los intereses se abonaran al final de la operación junto con el principal del préstamo, ¿Cuál sería su importe?

Solución al ejercicio 5 3.000

I1

I2

0

1

2

I3

I14

3............................ ....14 meses

„

Imes=3.000*0,035=105€

„

Itotales=Imes*14=1.470€

„

Itotales=C14-Co=3.000(1+0,035*14)-3.000=1.470€

Ejercicio 6 „

¿En cuánto tiempo se obtendrían 5.000€ si se depositaran en el momento actual 3.000€ al 1,95% de interés mensual simple?

Solución al ejercicio 6 5.000

3.000 0

1

2

3............................ ....t meses

„

5.000=3.000*(1+0,0195*n)

n=34,18803 meses

„

0,18803 meses

„

solución= 34 meses y 6 días

6 días

Ejercicio 7 „

Una persona decide adquirir un ordenador ofreciéndosele dos alternativas para el pago: „ „

„

Pagar al contado 2.150€ Pagar al contado 700€ y el importe restante en dos letras: Una de 480€ a 90 días y otra de 1.000€ a 180 días.

Si el tipo de interés de mercado es del 7,25%, ¿Cuál habrá sido la oferta mas conveniente al final de los pagos?

Solución al ejercicio 7 C180

2.150 0

1

2

3............................ ..180 días

180 C180=2.150*(1+0,0725* )=2.227,94€ 360

„

700

480

1.000

C180 0 „

1

2............90............................ ..180 días

180 90 C180=700*(1+0,0725*360 )+480*(1+0,0725*360

)+1.000= 2.214,075€

EJERCICIOS A RESOLVER „ Manual de “Gestión Financiera”

1a5 „7 „ 9 a 12 „ 15 „ 17 a 19 „ 24 „

2-Concepto de descuento simple 2.1 descuento simple racional (descapitalización) „

El banco nos anticipa 832€ que vencen dentro de 6 meses siendo el tipo de interés trimestral del 2%. ¿Cuánto nos ha anticipado el banco?

„

Operación financiera „

Corto plazo

„

Matemáticamente inversa a la operación de capitalización

Solución „

Gráfica financiera 832 =C

V0=E 0

1

2

3................................6

„

Capital : C=832

„

Rédito: r=2% trimestral

„

Tiempo: t=2 trimestres (6 meses)

„

Si 832=E*(1+0,02*2) 832 Despejando E “de forma racional” E= (1 + 0, 02* 2) =800

„

Otra pregunta: ¿cuánto nos ha descontado el banco? „

Capital: C=832

„

Efectivo percibido E=800

„

Descuento: Descuento= Capital – Efectivo percibido=32€

„

Lo mismo de otra forma: 832 Descuento=832(1 + 0, 02* 2)

832*0, 02* 2 = =32 (1 + 0, 02* 2)

Generalizando.... „ El descuento simple racional (descapitalización): „

Dr=C-E=

C *t * r (1 + t * r )

„ El Valor efectivo en descuento simple racional „

C E= =C*(1+t*r)-1 (1 + t * r )

Observaciones „ Es necesario que el tiempo y el rédito vengan

dados en la misma unidad temporal y de no ser así deben ser trasladados: Interés trimestral 2% „ Tiempo 6 meses= 2 trimestres „

2-Concepto de descuento simple 2.2 descuento simple comercial (bancario) „

El banco anticipa a nuestra empresa 832€ que nos debe un cliente y que vencen dentro de 6 meses siendo la tasa de descuento trimestral del 2%. ¿Cuánto le ha descontado el banco?

„

Operación financiera „

Corto plazo

„

El banco anticipa una cantidad y realiza un descuento del importe final

Solución „

Gráfica financiera 832 =C

V0=E 0

1

2

3................................6

„

Capital : C=832

„

Tasa de descuento: d=2% trimestral

„

Tiempo: t=2 trimestres (6 meses)

„

D=832*0,02*2=33,28

Otra pregunta: ¿cuánto recibirá efectivamente nuestra empresa? „

Capital: C=832

„

Descuento: D= 33,28

„

Efectivo: Efectivo= Capital – Descuento=832-33,28=798,72€

„

Lo mismo de otra forma: Efectivo=832- 832*0,02*2=832*(1-0,02*2)=798,72€

Generalizando.... „ El descuento simple comercial : „

Dc=C*d*t

„ El Valor efectivo en descuento simple comercial „

E=C-Dc=C-C*d*t=C*(1-d*t)

Observaciones „ Si nos dan una tasa de interés habrá que

aplicar descuento racional „ Si nos dan una tasa de descuento habrá que aplicar descuento comercial

EQUIVALENCIA ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL RACIONAL „ Si quisiéramos que ambos descuento fueran

equivalentes: „ Dr=Dc C *t * r „ =C*t*d, despejando... (1 + t * r )

d „ r= (1 − d * t ) „ En la práctica el descuento racional se aplica para obtener el valor actual de un capital no materializado en documento negociable, mientras que el descuento comercial se aplica en la negociación de efectos (letras, pagarés...), para hallar su valor efectivo

Ejercicio 1 „

„

Se firma el 10 de abril un pagaré de 1.200€ a 8 meses con un interés del 6%. El 10 de Julio es vendido sobre la base de un rendimiento en la inversión del 6,25%. „

¿Cuál es el importe pagado en la segunda fecha?

Solución al ejercicio 1 1.200 10-4........

V10-12

V10-7 10-7......

10-12

8 )=1.278 12

„

V(10-12)= 1.200*(1+0,06*

„

5 -1 V(10-7)=1.248*(1+0,0625* ) =1.216,32 € 12

Ejercicio 2 „

„

Un inversionista presta una suma de dinero a un cliente mediante un pagaré cuyo valor nominal es 8.000€ con vencimiento a 90 días, que descuenta al 12%. Hallar: „ La suma que recibe el cliente

Solución al ejercicio 2 X

0 „

„

Y

30 días

Suma que recibe el cliente: 90 X=8.000(1-0,12* )=7.760€ 360

8.000 90 días

3-EQUIVALENCIA DE CAPITALES „ Queremos calcular el valor actual de las

siguientes inversiones 670.000 € que vencen dentro de 30 días si la tasa de descuento es del 1% mensual „ 690.937,5 € que vencen dentro de 120 días si la tasa de descuento es del 1% mensual „

Solución „

Gráfica financiera 670.000=C

V0=E 0

1

2

3................................30

30 Efectivo=670.000*(1-0,01* )=663.300€ 30 „

V0=E

0 „

Gráfica financiera 1

2

690.937,5=C

3................................120

120 )= 663.300 € 30

Efectivo=690.937,5*(1-0,01*

Podemos concluir... „ Si dos capitales con vencimientos distintos en

el tiempo, en un mismo momento del tiempo son idénticos SON EQUIVALENTES „ GENERALIZANDO: Un conjunto de capitales puede ser equivalente a un capital, si trasladados al mismo momento temporal son idénticos „ Un conjunto de capitales puede ser equivalente a otro conjunto de capitales si... „

Ejercicio 16 (Manual Carlos Gimeno) „

Un comerciante tiene una deuda de 57.500€ al 24 de junio. Para saldarla se obliga a pagar 25.000€ al 9 de agosto y 18.000€ al 12 de octubre. ¿Cual debe ser el importe del pago que hará el 15 de noviembre si el tipo de descuento es del 9%?

Solución al ejercicio 16 (57.500) 25.000 18.000 24-6

9-8

12-10

X 15-11

46 110 57.500=25.000*(1-0,09* )+18.000*(1-0,09* )+X*(1-0,09* 365 365 „ X=15.834

144 ) 365

Ejercicio 1 „

„

„

Una persona tiene que hacer frente al pago de 3 letras de idéntico nominal y vencimientos periódicos bimensuales siendo el 1º de ellos el 15 de junio. El 1 de mayo decide sustituirlas por dos pagos el 20 de mayo y el 20 de julio de 7.000 y 3.000€ respectivamente. „ ¿Cuál es el nominal de las letras si el tanto de descuento es del 6,5%? Si el 15 de mayo desea saldar su deuda mediante un único pago el 15 de septiembre, „ ¿Cuál es el importe a entregar si el tanto de interés es del 5%?

Solución al ejercicio 1 C

C

1-5

15-6 15-8 7.000 3.000

1-5

20-5

C 15-10

20-7

167 45 106 C*(1-0,065* )+C*(1-0,065* )+C*(1-0,065* )= 365 365 365 19 80 7.000*(1-0,065* )+3.000*(1-0,065* ) 365 365 „

C=3.374,8988€

Solución al ejercicio 1 (7.000) (3.000) 15-5

20-5

20-7

X 15-9

5 123 66 -1 -1 7.000*(1+0,05* ) +3.000*(1+0,05* ) =X*(1+0,05* )-1 365 365 365 „

X=10.136,287

Ejercicio 2 „

Un comerciante debía: „ „ „

„

300€ con vencimiento en 2 meses 600€ con vencimiento en 5 meses 900€ con vencimiento en 8 meses.

sustituyó dichas deudas por dos efectos iguales con vencimiento dentro a 6 y 10 meses, respectivamente. „

Si el tanto de valoración es del 5,75%, ¿cuál es el importe de dichos pagos, valorados en el 10º mes?

Solución al ejercicio 2 0

300

600

900

2

5

8

X 0 „

„

6

10 meses X 10 meses

4 8 5 X+X(1+0,0575* )=300(1+0,0575* )+600(1+0,0575* )+ 12 12 12 2 +900(1+0,0575* ) 12 X=908,54€

Ejercicio 3 „

„ „ „

El 10 de junio una persona solicitó un préstamo de 50.000€ al 6% de interés simple. El 15 de julio de ese mismo año amortizó 2.000€, el 20 de octubre 400€ y el 25 de enero del siguiente año 25.000€. „ ¿Cuál es el saldo el 15 de marzo del año siguiente?

Solución al ejercicio 3 (50.000) 2.000 400 10-6

15-7

20-10

25.000

¿X?

25-1.........................15-3

Valoración el 15 de marzo 146 278 243 50.000*(1+0,06* )= 2.000*(1+0,06* ) +400(1+0,06* )+ 365 365 49 365 „

+25.000(1+0,06* „

365 )+X

X=24.729,10625€

Ejercicio 4 „

„ „

La empresa X debe a su banco las siguientes letras descontadas al 8%: „ Letra 1: nominal 2.000€ con vencimiento el 31 de agosto „ Letra 2: nominal 4.000€ con vencimiento el 30 de septiembre „ Letra 3: nominal 6.000€ con vencimiento el 31 de octubre En caso de mora, se aplica un interés del 15%. El 10 de septiembre, la empresa acuerda con el banco sustituir las tres letras por una sola con vencimiento el 31 de diciembre del mismo año. „ Determinar el nominal de la nueva letra.

Solución al ejercicio 4 (2.000) 31-8

(4.000) (6.000) 10-9

30-9

31-10

C 31-12

10 20 51 )+4.000*(1-0,08* )+6.000*(1-0,08* ) 365 365 365 112 =C*(1-0,08* ) 365

2.000*(1+0,15*

„

C=12.223,683€

4-VENCIMIENTO MEDIO „ Juanito tiene las siguientes deudas „ 1.000 € que vencen dentro de 43 días „ 2.000 € que vencen dentro de 52 días „ 3.450€ que vencen dentro de 67 días „ 12.761€ que vencen dentro de 89 días „ Desea sustituirlas todas por una única deuda

de nominal la suma matemática de las anteriores o sea 19.211 €. Tanto de descuento 1% mensual „

¿cuándo vencerá esa letra para que sea financieramente equivalente al conjunto de las otras?

Solución „

0

1.000

2.000

3.450

43

52

67

12.761

89

Gráfica financiera de la única letra

„ 0 „

Gráfica financiera del conjunto

1

2

19.211

3................................ t

Como son financieramente equivalentes:

89 43 52 67 1.000*(1-0,01* )+ 2.000*(1-0,01* ) +3.450*(1-0,01* ) +12.761*(1-0,01* 30 30 30 30 t )=19.211*(1-0,01* ) 30 t=78,8= 6 meses y 17 días

Diremos... „ ...que un momento del tiempo t es el

vencimiento medio de un conjunto de capitales, a la fecha en la que su suma financiera es financieramente equivalente a la suma matemática de dichos capitales

Añadimos... „ ...que un momento del tiempo t es el

vencimiento común de un conjunto de capitales, a la fecha en la que su suma financiera es financieramente equivalente a otro capital o a la suma financiera de otro conjunto de capitales

5-INTERESES ANTICIPADOS „ Compramos una letra del tesoro de nominal

500 € que vence dentro de seis meses y que devenga un interés del 13%. „

¿cuánto pagaremos por ella?

Solución „

Gráfica financiera 500

¿E? 0

1

2

3................................6

„

Pago real= Nominal-intereses

„

E=500-500*0,13*0,5=467,5

Otra pregunta... „ ¿qué rentabilidad nos ha generado? 467,5 0

500 1

2

500=467,5(1+r*0,5) r=0,139=13,9%

3................................6

Diremos... „ Que estamos pagando intereses por

anticipado si el abono de los intereses de una operación se realiza en el instante de la constitución de la operación. „ La rentabilidad de la operación será la tasa de rendimiento que nos produce una vez deducidos gastos y comisiones

6-DESCUENTO BANCARIO DE LETRAS „ El 12 de noviembre Juanito lleva a descontar

una letra de 6.000 € que le había girado a su cliente Pepito que vence el 30 de diciembre, es descontada el 14 de noviembre, habiendo pactado con el banco: Tanto de descuento 16% „ Comisión del banco 0,4% del nominal, mínimo 2,5 € „ Gastos fijos: 2€ „

„

¿cuánto recibiremos por parte del banco?

Solución „

Gráfica financiera ¿E?

12-11 „

E=6.000*

14-11...............

6.000 .......... 30-12

46 (1-0,16* 365 )-0,004*6000-2=5.853,02€

Generalizando „ En el descuento bancario de letras el efectivo

que recibimos es el nominal menos el descuento comercial menos las comisiones menos los gastos „ Se le llama Valor Efectivo de la operación al nominal menos el descuento. „ Se le llama Valor Líquido de la operación al valor efectivo menos comisiones y gastos.

7-DESCUENTO BANCARIO DE LETRAS: Devolución: letra de resaca „ Llegado el vencimiento de la letra anterior (30

de diciembre), el cliente Pepito (librado) no paga, por lo tanto el banco (tenedor de la letra) le reclama el cobro a Juanito (emisor de la letra, librador) por el total del nominal (6.000 €) mas unos gastos por las molestias ocasionadas que consisten en: Comisión de devolución 1,5% , mínimo 5 € „ Gastos de correo, 50 céntimos de € „

„

¿Cúanto le cargarán en cuenta a Juanito?

Solución „

Cargo=6.000+ 6.000*0,015+0,5=6.090,5 €

¿Juanito no hace nada? „ Evidentemente Juanito se pone en contacto con Pepito para

reclamarle el impago de la letra,amenazándole con enviarle el “cobrador del Frac”. „ Pepito se disculpa y llega al acuerdo con Juanito de que le

vuelva a girar una nueva letra a 60 días de nominal tal que permita recuperar los gastos ocasionados por la devolución mas los nuevos ocasionados por el giro y posterior descuento de la nueva letra: „ Comisión 0,7% „ Gastos, 35,54 € „ d=16% „

¿Cuál será el importe de esta nueva letra?

SOLUCIÓN „ Cantidad a recuperar=6.090,5 60 „ Descuento=N* *0,16 365 6.090,5 „ Comisión=0,007*N „ Gastos=35,54

0

„ Ecuación de equivalencia financiera

Nueva letra-gastos=6.090,5 „ N-N*

60 *0,16-0,007*N-35,54=6.090,5 365

„ N=6.337

N

60

Ejercicio 23 (Carlos Gimeno) „

Calcular el nominal de la letra que deberemos girar a 90 días a un cliente que no ha atendido al pago de una letra de 100.000 €, si los gastos derivados del protesto han sido de 2.230€, el coste de la nueva letra 500 €, la comisión bancaria del 0,3%, siendo el descuento que nos va a aplicar el banco del 15%.

SOLUCIÓN „ Cantidad a recuperar=100.000+2.230+500=102.730

90 „ Descuento=N* *0,15 365 „ Comisión=0,003*N 102.730

0 „ Ecuación de equivalencia financiera

90 „ N-N*365 *0,15-0,003*N=102.730 „ N=107.066

N

90

CONCLUSIÓN „ A la letra que se le gira a un cliente por

habernos devuelto una girada anteriormente, que hace que no perdamos dinero en la transacción se le denomina LETRA DE RESACA. „ Con ella recuperamos el importe y los gastos de una letra devuelta.

EJERCICIOS A RESOLVER „ Manual de “Gestión Financiera” „ (tema 2) „

„

(tema 4) „ „ „ „

„

25 a 28 1 a 10 12 14 a) y b) 23

(tema 5) „ „ „

1a3 5 a 10 11 a) y b)

EJERCICIOS A RESOLVER „ Manual “Valoración de las operaciones

financieras” „

(tema 2) „ „ „ „

1a4 9 15 a 17 19

EJERCICIO EVALUACIÓN CONTINUA Compramos un televisor de plasma que al contado vale 2.500 €, y lo pagamos de la siguiente manera: „ Hoy 600 € „ Tres pagos mas de los siguientes importes: „ „ „

Dentro de un mes 600 € Dentro de dos meses 700 € Dentro de cuatro meses el resto

Si el tipo de interés que nos exigen por el aplazamiento es del 2% simple mensual, averiguar la cuantía del último pago.

Por los anteriores importes el vendedor del electrodoméstico nos gira tres letras que lleva al banco (el mismo día de la compra) a descontar. Sabiendo que el tipo de descuento que le aplica el banco es del 1% mensual, los gastos fijos por letra descontada son de 2€ y las comisiones sobre el nominal del 0,2%, calcular el efectivo recibido hoy por el vendedor.

Llegado el vencimiento de la última letra que nos han girado, no pagamos. Puesto el banco al habla con el vendedor le carga en cuenta corriente el importe de la letra más una comisión del 3%, más unos gastos de protesto de 30 €. Prometemos al vendedor pagarle esta última letra si nos la gira a 90 días. Sabiendo que las nuevas condiciones de descuento del banco al vendedor son: „ „ „

Tanto de descuento: 1,5% mensual Gastos fijos por letra: 1,5 € Comisiones sobre el nominal: 0,5%

Calcular el importe de la nueva letra que nos girará el vendedor.