Site Ts-p 05 La Decroissance Radioactive

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LA DECROISSANCE RADIOACTIVE

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COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES : pour n !!,

log10 n = n

log a p b q = p log a + q log b .

pour x !!,

ln e x = x

ln a p b q = p ln a + q ln b d (e!.t )" = e!.t = ! e!.t . dt

pour x !! "+ ,

e ln x = x

ea + b = ea .e b

;

1. Loi de décroissance 1.1. Désintégration d’un noyau radioactif

Un noyau radioactif ne vieillit pas, sa transformation en un autre noyau se fait d’un seul coup sans modification progressive au préalable. La désintégration est imprévisible : il est impossible de prévoir la date de désintégration d’un noyau donné. Le phénomène de désintégration est aléatoire : dans un ensemble de noyau, il est impossible de prévoir ceux qui seront désintégrés à une date donnée. L’aspect aléatoire de la désintégration permet d’utiliser les probabilités. On applique donc des méthodes statistiques pour prévoir avec précision certaines propriétés d’une collection d’un très grand nombre de noyau (de l’ordre de NA). 1.2. Constante radioactive

On note :

N 0 le nombre de noyaux présents à t = 0, N le nombre de noyaux présents à la date t.

Pendant une durée !t très brève, un certain nombre de noyaux radioactifs se sont désintégrés. Soit N + !N le nombre de noyaux radioactifs non désintégrés à la date t + !t (avec !N < 0 car N diminue). La variation du nombre moyen de noyaux désintégrés pendant la durée !t est : N t +!t " N t = (N + !N) " N = !N . Cette variation du nombre de noyaux désintégrés est négative et proportionnel : au nombre de noyaux N présents à l’instant t à la durée !t . 1 !N On traduit cela par la relation !N = " # N !t soit " = # . N !t ! est la constante radioactive, elle dépend de la nature du noyau radioactif, c’est la proportion de noyaux qui se désintègre par unité de temps. Une constante radioactive est l’inverse d’un temps, elle s’exprime en s !1 . Le nombre de noyaux désintégrés est égal à !N (il est positif). 1.3.Loi de décroissance radioactive

!N = "# N !t dN !N dN +! N =0. = = #$ N soit Lorsque !t tend vers zéro, lim !t "0 !t dt dt L’équation obtenue est une équation différentielle du 1er ordre, elle comporte une fonction et sa dérivée. La solution de cette équation (donnée par les mathématiques) est une fonction dont la dérivée et proportionnelle à la fonction elle-même : elle est de type exponentielle.

On a !N = " # N !t que l’on peut également l’écrire :

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La loi de décroissance radioactive s’écrit : N(t) = N 0 e !"t où N 0 est le nombre de noyaux initialement présents dans l’échantillon. N(t) le nombre de noyaux encore présents à la date t. Remarque : Au niveau macroscopique, le nombre moyen N(t) d’un grand nombre de noyaux suit une loi bien déterminée, bien qu’au niveau microscopique la désintégration des noyaux soit un phénomène aléatoire.

2. Constante de temps et demi-vie 2.1. Constante de temps

La constante de temps caractéristique, notée ! d’un élément radioactif est l’inverse de la constante radioactive. Elle s’exprime donc en s 1 != " dN N + =0 Donc dt ! On peut aussi écrire la loi de décroissance radioactive sous la forme : N(t) = N 0 e

!

t "

.

 Détermination graphique de la constante de temps : N dN(0) N 0 dN(0) + =0 ! =" 0 À la date t = 0 , dt # dt # Donc la tangente à la courbe, à la date t = 0 , a pour pente !

N0 et coupe l’axe des abscisses en t = ! . "

Nm , x (x) 4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

t (ms) 1

!

2

De plus, à la date t = ! , N(!) = N 0 e

3

"

! !

4

5

6

7

8

9

= N 0 e "1 = 0,37 N 0 .

2.2.Demi-vie

La demi-vie t1 2 d’un échantillon de noyaux radioactifs est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés. La demi-vie est une constante caractéristique d’un élément radioactif.

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t

12 ! N0 = N 0 e " , si on prend le logarithme népérien de cette expression on obtient : 2 t1 2 # $ ! t1 2 ln 2 #N $ ln & 0 ' = ln & N 0 e " ' % ln(N 0 ) ! ln 2 = ln(N 0 ) ! % t1 2 = " ln 2 = . & ' " ( ) 2 * ) *

N(t1 2 ) =

Nm , x (x) 4,0

3,5

3,0

2,5

N0 2 N0 4 2,0

1,5

1,0

0,5

t (ms) 1

2

t1 2

3

4

5

6

7

8

9

2 t1 2

Les valeurs de la demi-vie sont très variées, de quelques nanosecondes pour les plus éphémères à plusieurs milliards d’années pour d’autres.

3. Activité d’un échantillon radioactif 3.1. Définition

L’activité A d’une source contenant N noyaux radioactifs à la date t est égale au nombre de noyaux qui se désintègrent chaque seconde. !N dN A(t) = lim # =# . !t " 0 !t dt L’activité se mesure en becquerel Bq, un becquerel correspond à une désintégration par seconde. C’est une unité très petite, aussi utilise-t-on souvent des multiples. 3.2. Évolution de l’activité t t ! ! dN(t) " " A(t) = ! = # N(t) = # N 0 e = A 0 e avec A 0 = ! N 0 activité initiale de l’échantillon. dt L’évolution de l’activité suit une loi exponentielle et donc l’activité diminue de moitié au bout de t = t1/ 2 . On peut également exprimer l’activité en fonction de la demi-vie : t t ! ! ln 2 ln 2 ln 2 A(t) = # N(t) = N(t) = N0 e " = A0 e " $ A0 = N0 . t1/ 2 t1/ 2 t1/ 2 Pour une masse donnée d’élément radioactif, l’activité est d’autant plus grande que la demi-vie est petite, la décroissance et l’élimination du radioélément est alors plus rapide.

Exemple : comparaison de l’évolution de l’activité d’une même masse de 2 éléments de t1/ 2 différents. 1g de radium 226, t1/ 2 = 1620 ans et 1g d’iode 131, t1/ 2 = 8,1 jours. (Rappel : N = n N A ) ln 2 ln 2 m A0 = n NA = N A . On trouve : pour le radium 3, 7 !1010 Bq et pour l’iode 4, 6 !1015 Bq . t1/ 2 t1/ 2 M t ln 2 t1/ 2

t1/ 2 . ln 2 On trouve : pour le radium 3, 7 !1010 Bq et pour l’iode 1,3 !102 Bq .

Après 1 an, A(t) = A 0 e

!

car t1/ 2 = ! ln 2 " ! =

3.3.Effets biologiques

Effets ionisants nocifs et utilisation médicale (radiodiagnostic et radiothérapie) 3.4. Dangers et protection

Exp avec le CRAB pour les radioactivité β– et γ. Cf. TP. P.PECORELLA

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4. Application à la datation 4.1. Principe

Pour les objets issus du monde vivant : Échange dynamique entre certains organismes vivants et leur milieu extérieur (ex : le carbone 14, le potassium 40 …) maintenant constant le nombre de noyaux radioactifs dans l’organisme. À leur mort, les échanges n’ont plus lieu et on observe une décroissance qui suit la loi exponentielle. Cf. livre page 102 et 103. 4.2. Choix du radioélément

Ce choix dépend de l’utilisation : En archéologie : carbone 14 En géologie : on utilise souvent des isotopes à longue demi-vie comme l’uranium 238. Exemple : Datation d’une roche par le plomb. 206 207 208 Le plomb ordinaire d’origine non radioactive est un mélange des isotopes 204 82 Pb , 82 Pb , 82 Pb et 82 Pb . Les différentes désintégrations radioactives des isotopes de l’uranium et du thorium produisent tous les isotopes du plomb, sauf le 204 82 Pb . Si le plomb contient l’isotope 204, alors on ne peut pas dater la roche. Si le plomb présent dans une roche ne contient pas de 204 82 Pb , cela indique que le plomb présent est le résultat final de désintégrations radioactives. Il est alors possible de dater l’échantillon. Si la roche contient encore des noyaux radioactifs d’uranium (ou de thorium de demi-vie plus courte), on N! détermine le rapport r = entre le nombre N de noyaux d’uranium et le nombre N' de noyaux de plomb à N un instant donné. Le bilan de toutes les désintégrations au sein de la famille de l’uranium entraîne que chaque atome de plomb formé provient d’un seul atome d’uranium. Donc le nombre initial de noyaux d’uranium était N 0 = N + N! = N + r N = (1 + r) N . 1 N(t) La loi de décroissance radioactive concernant l’uranium N(t) = N 0 e ! " t soit t = ! ln . " N0 1 N 1 1 ln(1 + r) ln(1 + r) ln 2 ln 2 = ! ln = Donc t = ! ln et t1 2 = don t = t1/ 2 . ! "= " (1 + r)N " (1 + r) " ln 2 " t1 2 Comme t1/ 2 ( 238 U) = 4,5 !109 ans , si dans un échantillon de roche on mesure r = 0,8 alors on en déduit un ln1,8 = 3,8 !109 ans . âge t = 4,5 !109 ln 2

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Matériel : Ordinateur + vidéo + powerpoint Disquette ou CD-R avec la simulation de la désintégration radioactive par une série de lancer de dés. CRAB avec ordinateur équipé de logicrab et d’un tableur (plutôt excel) Générateur de radon pour la demi vie mais possible aussi pour le caractère aléatoire http://www.colorado.edu/physics/2000/isotopes/radioactive_decay3.html http://www.walter-fendt.de/ph14f/lawdecay_f.htm http://www.cea.fr/fr/jeunes/Animation/LesFondamentaux.htm (l’animation 10-décroissance radioactive ne fonctionne bien que dans IE, elle est toute petite dans FireFox ⇒ installer le module complémentaire IEtab, puis dans « outils -> option de IE tab mettre l’URL du site)

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