Producto De Una Matriz Por Un Escalar - Copia.docx

Producto de una matriz por un escalar Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar. Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz. Ejemplo

Propiedades del producto de un escalar por una matriz

Propiedades Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

Asociatividad Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que

debido a que

para todo

.

Distributividad respecto de la suma de matrices Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que que

para todo

debido a

.

Distributividad respecto de la suma en el campo Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que que

para todo

debido a

.

Producto por el neutro multiplicativo del campo Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que que

para todo

debido a

.

Por cómo se definió la operación de producto por escalares se dice que

es cerrado bajo

producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes. En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo

entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que es un módulo sobre . Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que todo

para

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que

para

todo

debido a que

para todo

.

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces

para todo

implica que

o

para

todo , i.e. . No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que que

para todo

.

Este último resultado permite usar la notación

sin riesgo de ambigüedad.

debido a

Producto de una matriz por un número El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij. Ejemplo El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Propiedades del producto de una matriz por un escalar 1. 2. 3. 4.

k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª) (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª) k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 1·A = A (elemento unidad)