Triple Producto Escalar

El paralelogramo de la izquierda está formado por los vectores u y v . La medida h, viene dada por h  u sen , y como el área de un paralelogramo se define como el producto de la base y la altura, se deduce que: A  bh  v h  v u sen , pero como u  v  v u sen , entonces A  u  v . De tal forma que una interpretación geométrica del producto cruz de dos vectores es que su módulo es igual al área del paralelogramo que forman esos dos vectores. Obsérvese que el vector p es el vector proyección de w sobre el vector u × v , y por la definición de proyección,  w g(u × v)  u × v w g(u × v) p u× v   (1)  2 u× v  u× v  u× v

V

u× v es unitario y en la expresión (1) u× v determina la dirección del vector proyección. w g(u × v) Por otro lado, el coeficiente escalar es la u× v magnitud del vector proyección p , y por lo tanto es la componente de w sobre u × v . El vector

p

p

w g u  v  u v

2

 u  v

Ahora, con esos resultados, veamos lo que resulta de la combinación de estos tres vectores no coplanares v, u y w . El volumen de un paralelepípedo se define como el producto del área de la base y la altura, es decir: V  Ah . El área de la base es el módulo del vector u × v , u × v y la altura está dada por h h

wg u  v  uv

h

wg u  v  uv

w g u  v  , por lo que u v V  Ah  u  v

w g u  v  u v

 w g u  v 

De esa cuenta, se deduce que el triple producto escalar se puede interpretar como el volumen del paralelepípedo formado por tres vectores no coplanares.

Luis Solórzano EFPEM/USAC 28/02/09