De Angel Argueta

Universidad Tecnológica de Honduras Campus San Pedro Sula

ASIGNATURA Diseño y experimentación

CATEDRATICO Ing. Alejandro Bosco Menocal

TEMA Tipos de censura en confiabilidad

ALUMNO: Ángel Isacc Argueta

1. Introducción a la confiabilidad No es suficiente que un producto cumpla las especificaciones y criterios de calidad establecidos sino que además es necesario que tenga un buen desempeño durante su vida útil es decir que sea confiable. Esto cada vez cobra una importancia mayor dado que cambia la tecnología, los productos son cada vez más complejos, los clientes se tornan cada vez más exigentes y la competencia es alta.

TIPOS DE CENSURA  Censura por la derecha (tipo I y II): La tipo I es cuando se tienen unidades sin falla limitando el tiempo de observación o censura por tiempo. Cuando se limita el tiempo hasta que fallan r unidades, se tiene censura tipo II para las unidades sobrevivientes (n-r).

 Censura por la izquierda: Ocurre cuando al inspeccionar las unidades después de un periodo de tiempo se encuentra que algunas fallaron, pero no se sabe el momento de su ocurrencia.  Censura por intervalo cuando se inspecciona en intervalos de tiempo y se observan fallas en cierto intervalo pero no se conoce exactamente en que momento ocurrieron, se censuran los productos sobrevivientes.

 Censura múltiple: Cuando en el mismo estudio se tienen diferentes tipos de censura. Ejemplo: A B C

X ¿

¿ ¿

D

Fig. 1 Tipos de censura: A sin censura; B Censura por la izquierda; C Censura por la derecha; D censura por intervalo.

2. Distribuciones de probabilidad Verosimilitud (probabilidad de los datos) La Verosimilitud proporciona un método general y versátil de estimación, se prefieren las combinaciones de Modelo/Parámetros con Verosimilitud grande. Permite censura, intervalos, y datos truncados. La forma de la verosimilitud dependerá del: propósito del estudio, modelo asumido, sistema de medición e identificación y parametrización. La contribución por diferentes tipos de censura es como sigue:

Por ejemplo para la función de distribución:

La verosimilitud en censura por intervalo es:

Si una unidad continua operando en el tiempo T=1.0 pero ha fallado en t= 1.5, Li =F(1.5) - F(1) = 0.231 La verosimilitud de censura por la izquierda es:

Si una falla se detecta en la primera inspección a un tiempo t=0.5, Li = F(0.5) = .265 La verosimilitud de censura por la derecha es:

Si una unidad continua operando en la ultima inspección en el tiempo T=2.0, Li =1 - F(2) = 0.0388 Para una tabla de tiempos de vida se tiene: Los datos son: el número de las fallas (di), censuradas por la derecha (ri), y censuradas por la izquierda (li) en cada uno de los intervalo (no

traslapadas) (ti-1, ti ], i = 1. . . m, m+1, t0 = 0. La verosimilitud (probabilidad de los datos) para una sola observación, en (t i-1, ti ] es:

Si se supone que la censura es en ti:

Análisis no para métrico de los tiempos de falla Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en la teoría binomial para datos con censura simple de intervalo se tiene: Con los datos: n = tamaño de muestra Di = # de fallas en el iesimo intervalo De la distribución binomial se tiene:

Por ejemplo si en una muestra de n = 100, en el primer intervalo se obtienen d1 = 2 fallas, en el segundo periodo se obtienen d2 = 2 fallas y en el periodo

d3 = 2 fallas, entonces:

está definida sólo al final del intervalo

Es el estimador de máxima verosimilitud de F(t). El incremento en

a cada valor de ti es

El nivel de confianza expresa la confianza (no probabilidad) de que un intervalo específico contiene la cantidad de interés. La probabilidad de cobertura es la probabilidad de que el procedimiento dará lugar a un intervalo que contiene la cantidad de interés. Un intervalo de confianza es aproximado si el nivel especificado de la confianza no es igual a la probabilidad real de la cobertura. Con datos censurados la mayoría de los intervalos de confianza son aproximados, para mejorar las aproximaciones se requieren más cálculos. El intervalo de confianza de F(ti) con base en la distribución binomial es:

Donde y es el cuantil 100(1-/2) de la distribución F con (1, 2) grados de libertad. Usando la aproximación normal del intervalo de confianza para F(ti), el intervalo aproximado del cuantil 100(1-) en % para F(ti) esta dado por:

Es el cuantil 100(1-/2) de la distribución normal estándar. Es

una

estimación

desviación estándar de Del ejemplo para un nivel de confianza del 95% se tiene:

de

la

Cuando el número de inspecciones se incrementa, el ancho del intervalo (ti1, ti) tiende a cero y los tiempos de falla son exactos. F(t) está definido para todo t en el intervalo (0, tc ] donde tc es el tiempo de censura F(t) es el estimador de mv de F(t). La estimación es una función escalonada con un paso del tamaño 1/n en cada tiempo de falla, algunas veces es múltiplo de 1/n porque hay tiempos de falla similares. Cuando no hay censura, el F(t) es el fda empírico bien conocido. Para la estimación no paramétrica de F(ti) con base en datos por intervalo y censura múltiple por la derecha se tiene:

n=tamaño de muestra di = numero de fallas en el intervalo i ni = conjunto bajo riesgo al tiempo t-1 ri = numero de observaciones censuradas al tiempo ti En el límite, si el numero de intervalos aumenta, el ancho del intervalo tiende a 0 y obtenemos el estimador Kaplan Maier o producto limite. Las fallas se concentran en intervalos con ancho de intervalo infinitesimal. El estimador será constante sobre todos los intervalos que no tienen fallas. La función cambia cuando existe alguna falla,

Función de densidad de probabilidad La función de densidad f(t) es continua si cumple para f(t) >= 0 el área bajo la curva es igual a 1, en confiabilidad el intervalo es de cero a infinito o sea: 



f (t ) dt  1



Para el caso de la distribución exponencial se tiene que: f (t )e  t ; t  0

Función de distribución acumulada Esta función se define como la integral de la función de densidad desde cero hasta el tiempo t y representa la probabilidad de fallar antes del tiempo t (P(t)  t), es decir: t

P(T  t )  F (t )   f ( x )dx  1 0

Para el caso de la distribución exponencial se tiene: t

P(T  t )  F (t )   e x dx  e x

t 0

 1  e t , t  0

0

Función de confiabilidad Es una función decreciente denominada también función de supervivencia es la probabilidad de sobrevivir hasta el tiempo t, se representa como: R(t)= 1 – F(t) Para el caso de la función exponencial es: R (t ) e  t