Rango De Una Matriz

RANGO DE UNA MATRIZ Mediante el análisis de sus menores

Posibles valores del ran(A) A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

5

6

El primer paso es analizar la dimensión de la matriz. Dimensión: 4 x 5 Los posibles valores del rango estarán limitados por debajo por cero y por encima por el mínimo de los valores entre número de filas y columnas. Posibles valores: 0, 1, 2, 3, 4

RANGO DE UNA MATRIZ Dado que es menor el número de filas que el de columnas resulta más sencillo trabajar con las primeras.

Vamos a buscar el número de filas L.I.

Menor de orden UNO A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

5

6

Cualquier elemento de la matriz se puede considerar como un menor de orden uno. Cada uno de los elementos que no sean nulos me indica que su fila forma un conjunto de un solo elemento L.I. Cada una de las filas son L.I. ya que sus elementos no son todos cero.

Menor de orden UNO A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

5

6

En este momento no es adecuado escoger un menor de orden uno. Lo importante es advertir que el rango de la matriz es como mínimo 1. Posibles valores: 0, 1, 2, 3, 4

Menor de orden DOS A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

5

6

La elección del menor de orden 2 es fundamental. Necesitamos que contenga elementos sencillos (0, 1,..) para facilitar todos los cálculos posteriores pero sobre todo debe ser diferente de cero.

Menor de orden DOS A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos la primera y la segunda fila y la primera y la tercera columna para que el menor sea diferente de cero y de fácil cálculo.

5

6

–1

0

0

1

= –1= 0

Menor de orden DOS A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos la primera y la segunda fila y la primera y la tercera columna para que el menor sea diferente de cero y de fácil cálculo.

5

6

–1

0

0

1

= –1= 0

Menor de orden DOS A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

5

6

Como el menor es diferente de cero –1 0 podemos asegurar que las dos = –1= 0 filas/columnas que lo forman son L.I. 0 1 Como consecuencia las filas 1 y 2 de la matriz A son L.I. Posibles valores: 0, 1, 2, 3, 4

RANGO DE UNA MATRIZ Ya podemos asegurar que: Filas 1 y 2 de A son L.I. Columnas 1 y 3 de A son L.I. A continuación vamos a analizar la dependencia lineal de las tres primeras filas. Para determinar que son L.I. bastaría encontrar un menor de orden tres formado con elementos de estas filas diferente de cero.

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos las tres primeras filas y las tres primeras columnas.

5

6

–1

3

0

5

0

1 =0 –3 –1 –2

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Como el menor es igual a cero podemos asegurar que las tres filas/columnas que lo forman son L.D. Pero NO podemos asegurar todavía que ocurre con las tres primeras filas de A.

5

6

–1

3

0

5

0

1 =0 –3 –1 –2

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos las tres primeras filas y las columnas 1, 3 y 4.

5

6

–1

0

0

1

1

2 =0 –3 –2 –1

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Como el menor es igual a cero podemos asegurar que las tres filas/columnas que lo forman son L.D. Pero NO podemos asegurar todavía que ocurre con las tres primeras filas de A.

5

6

–1

0

0

1

1

2 =0 –3 –2 –1

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos las tres primeras filas y las columnas 1, 3 y 5.

5

6

–1

0

2

0

1

3 =0 0

–3 –2

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Como el menor es igual a cero podemos asegurar que las tres filas/columnas que lo forman son L.D.

5

6

–1

0

2

0

1

3 =0 0

–3 –2

RANGO DE UNA MATRIZ Hemos formado todos los posibles menores de orden tres con elementos de las tres primeras filas y que contienen al menor de orden dos obtenido anteriormente. Todos son nulos por lo que:

Las tres primeras filas son L.D. La tercera es combinación lineal de las dos primeras.

RANGO DE UNA MATRIZ A continuación vamos lineal de las filas 1, 2 y L.I. bastaría encontrar formado con elementos cero.

a analizar la dependencia 4. Para determinar que son un menor de orden tres de estas filas diferente de

Recuerda: los menores de orden 3 deben contener al menor de orden 2 que obtuvimos en el paso anterior.

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos las filas 1, 2 y 4 y las tres primeras columnas.

5

6

–1

3

0

0

5

1 =0 4

3 11

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Como el menor es igual a cero podemos asegurar que las tres filas/columnas que lo forman son L.D. Pero NO podemos asegurar todavía que ocurre con las tres primeras filas de A.

5

6

–1

3

0

0

5

1 =0 4

3 11

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos las filas 1, 2 y 4 y las columnas 1, 3 y 4.

5

6

–1

0

1

0

1

2

3

4

5

=0

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Como el menor es igual a cero podemos asegurar que las tres filas/columnas que lo forman son L.D. Pero NO podemos asegurar todavía que ocurre con las tres primeras filas de A.

5

6

–1

0

1

0

1

2

3

4

5

=0

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Escogemos las filas 1, 2 y 4 y las columnas 1, 3 y 5.

5

6

–1

0

2

0

1

3

3

4

6

=0

Menor de orden TRES A=

–1

3

0

1

2

0

5

1

2

3

–3 –1 –2 –1

0

3 11

4

Como el menor es igual a cero podemos asegurar que las tres filas/columnas que lo forman son L.D.

5

6

–1

0

2

0

1

3

3

4

6

=0

RANGO DE UNA MATRIZ Hemos formado todos los posibles menores de orden tres con elementos de las filas 1, 2 y 4 y que contienen al menor de orden dos obtenido anteriormente. Todos son nulos por lo que:

Las filas 1, 2 y 4 son L.D. La cuarta es combinación lineal de las dos primeras.

RANGO DE UNA MATRIZ El máximo orden del menor no nulo ha sido dos por lo que el rango de la matriz A es dos.

ran(A) = 2