Interpretazione Fisica Delle Soluzioni Dell’ Equazione Di Schrödinger

Interpretazione fisica delle soluzioni dell’ equazione di Schrödinger Riprendiamo la soluzione generale della equazione di Schrödinger data dalla SGS-1) e supponiamo, inoltre, che sia uns(x) sia uEs(x) siano normalizzate secondo le equazioni seguenti: < un’s’  uns > = δn n’ δs s’

< uns’  uEs > = 0

< u E’s’  uEs > = δs s’ δ(E –E’)

Si può notare che ψ(x,t) così come indicata dalla SGS-1) è sovrapposizione di un certo numero di Componenti Monocromatiche Discrete, con frequenze di valore νn =  En /h e di Componenti Monocromatiche Continue con frequenze di valore ν = E/h. Si soffermi sul fatto che, la comparsa di uno spettro di frequenze discreto accanto a quello continuo, è la principale novità rispetto all’ usuale fenomeno della propagazione ondosa in un mezzo dispersivo. Ad esempio supponiamo che il potenziale V(x) si annulli per | x | → ∞ ed abbia un andamento “sufficientemente” semplice come mostrato qui di seguito:

Osservando le soluzioni della ES-6) per E < 0 si osserva che esse, in generale, divergono all’ infinito molto rapidamente (tipicamente in modo esponenziale). In corrispondenza, tuttavia, di particolari valori ( E1, E2, …) di E compresi tra –V0 e 0 esistono delle soluzioni u1(x), u2(x), … che si annullano rapidamente in tutte le direzioni all’ esterno della regione definita da: V(x) ≤ E. Queste soluzioni corrispondono alle autofunzioni proprie di

e forniscono la parte discreta dello sviluppo

13). Per E > 0, le soluzioni della ES-6) si mantengono finite in tutto lo spazio qualunque sia E,

corrispondono alle autofunzioni improprie e forniscono la parte continua dello sviluppo SGS-1). Concentriamoci, ora, sull’ interpretazione della soluzione SGS-1). Cominciamo con il restringere la nostra attenzione al caso in cui ψ(x,t) si riduca ad una singola componente discreta, sia cioè della forma: IFSS-1)

ψns(x,t) = uns(x) e[(-i/

) En t]

Secondo l’ interpretazione Statistica di Born, l’ espressione: ψns(x,t)2 = uns(x)2 d3x rappresenta la probabilità di osservare la particella entro l’ elemento di volume d3x centrato in x. Le proprietà della uns(x) sopra descritte, esprimono il fatto che la probabilità di trovare la particella molto al di fuori della regione definita da V(x) ≤ En è trascurabile. La funzione d’ onda descritta dalla IFSS-1) descrive una situazione in cui la particella è vincolata a restare nelle prossimità della regione in cui il potenziale è apprezzabilmente diverso da zero; rappresenta, cioè, quello che si chiama uno Stato Legato per la particella. D’ accordo con le idee generali di de Broglie –En = h νn sarà interpretato come Energia di Legame della particella; la regione definita da V(x) ≤ En rappresenta, allora, la regione in cui la particella Risulterebbe Confinata secondo la meccanica classica ed i valori E1, E2, … danno i Livelli Energetici relativi al potenziale considerato. Consideriamo, ora, una funzione d’ onda della forma: ∞ IFSS-2) ψ(x,t) = ∑ ∫ cs(E) ψEs(x) e[(-i/ t] dE

)E

s 0

formata dalla sovrapposizione di sole componenti continue e supponiamo che i vari cs(E) siano apprezzabilmente diversi sa zero solo nell’ intorno di un certo valore E, l’ equazione IFSS-2), rappresenta, quindi, un Pacchetto d’ Onde di frequenza media ν = E/h. L’ espressione ψ(x,t)2 risulta anch’ essa apprezzabilmente diversa da zero, ad un dato, istante solo in una certa regione dello spazio, del resto anche ψ(x,t) appartiene per ipotesi ad L2(R3). Comunque, a differenza di quello che accade per ψns(x,t)2, la regione in cui ψ(x,t)2 è diversa da zero cambia col tempo ed al trascorrere di questo si può allontanare indefinitamente dalla regione in cui V(x) risulta apprezzabile. E’ interessante notare che se il potenziale V(x) non varia apprezzabilmente per spostamenti del punto x dell’ ordine della lunghezza d’ onda media λ, definita da:

il pacchetto d’ onda in questione si comporta come una particella classica di energia E. Inoltre se la particella è descritta in una data situazione da un pacchetto d’ onde di tale tipo, si potrà sempre affermare che essa possiede una energia E sia che la precedente ipotesi di Lenta Variabilità del potenziale sia soddisfatta sia che non lo sia. Pertanto la quantità ψ(x,t) rappresenta una situazione in cui il moto della particella Viene Modificato dalle forze agenti senza che si abbia, però, la formazione di un sistema legato. Concludendo soluzioni del tipo date dalla IFSS-2) intervengono, tipicamente, nella descrizione dei processi di Diffusione. Nel caso di un potenziale Colombiano, le soluzioni del tipo IFSS-1) corrispondono alle Orbite Ellittiche della meccanica classica, quelle del tipo IFSS-2) alle Orbite Iperboliche. Si osservi che il fatto che nel caso degli stati legati l’ energia possa assumere solo dei valori discreti e nel caso di soluzioni del tipo IFSS-2) possa variare con continuità, ha un semplice significato fisico. Nel secondo caso, infatti, l’ energia può essere predisposta a piacere dallo sperimentatore. L’ interpretazione degli stati stazionari e dei pacchetti d’ onda come stati di energia determinata, deve considerarsi propriamente come una Definizione, di ciò che deve intendersi in meccanica quantistica, per particella di data energia. La definizione classica di energia come somma dell’ energia cinetica e dell’ energia di posizione (energia potenziale) perde, infatti, senso per le relazioni di incertezza di Heisemberg che non permettono di attribuire ad una particella simultaneamente una posizione ed un momento determinati.