Equazione Di Eckart

M. G. BUSATO

PROPRIETA FORMALI DELLA EQUAZIONE DI STATO DI ECKATR

mgbstudio.net

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SOMMARIO In questo scritto vengono riportate le principali proprietà formali della equazione di stato di Eckart. Dopo una introduzione di carattere generale nella quale è discussa brevemente l’equazione, vengono ricavate le sue forme esplicite rispetto al volume specifico, alla pressione ed alla densità.

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1. INTRODUZIONE L’equazione di Eckart è una delle numerose formule semiempiriche studiate per rappresentare il legame fra pressione, volume e temperatura in una sostanza chimicamente pura allo stato liquido. Essa ha la forma seguente:

[v − α v (T )][ p + α p (T )] = λ (T )

1.1

dove v è il volume specifico, p è la pressione e α v (T ), α p (T ), λ (T ) sono tre funzioni della temperatura caratteristiche della sostanza presa in esame e determinate sperimentalmente.( 1 ) L’equazione di Eckart 1.1 appartiene ad un’ampia famiglia di equazioni cinetiche di stato semiempiriche la cui forma può essere giustificata avvalendosi della nozione di “covolume” e di “pressione interna”, sulle quali Van der Waals basò la deduzione della sua omonima equazione.( 2 ) In ogni caso comunque è evidente che anche prescindendo da un’eventuale interpretazione fisica, le funzioni α v (T ), α p (T ), λ (T ) che caratterizzano l’equazione di Eckart, devono soddisfare ad alcuni requisiti generali, cioè da ritenersi validi supponendo che l’equazione sia in grado di descrivere correttamente la relazione che intercorre fra volume specifico, pressione e temperatura per tutti i valori di v, p e T in corrispondenza dei quali una sostanza chimicamente pura si trova allo stato liquido. Queste condizioni sono una diretta conseguenza del fatto che sia v che p sono grandezze positive, e risultano le seguenti:

α v (T ) > 0

;

λ (T ) > 0

;

α p (T ) <

λ (T ) v − α v (T )

1.2

Le 1.2 devono ovviamente essere soddisfatte per ogni valore di T e v per i quali la 1.1 con le assegnate funzioni α v (T ), α p (T ), λ (T ), rappresenta l’equazione cinetica di stato di una data sostanza. E’ altresì evidente che la variabilità di v deve essere sempre limitata ad un intervallo del tipo ]α v (T ), vMax ] dove vMax non può assumersi maggiore del volume che alla temperatura considerata è individuato nel diagramma pv dall’intersezione della isoterma di compressione con la curva limite inferiore. Solitamente per le funzioni α v (T ), α p (T ), λ (T ) si utilizza una rappresentazione di tipo polinomiale, cioè della forma:

α v (T ) = α v(0) + α v(1) T + α v(2) T 2 + " + α v α T (n v )

nαv

α p (T ) = α p(0) + α p(1) T + α p(2) T 2 + " + α p α T (n

p

)

1.3

nα p

1.4

λ (T ) = λ (0) + λ (1) T + λ (2) T 2 + " + λ ( nλ ) T nλ

1.5

1)

Ciò comporta che nelle applicazioni pratiche alla 1.1 devono necessariamente essere associati i campi di variabilità di due delle tre variabili di stato v, p e T entro i quali l’equazione 1.1 con assegnate funzioni αv, αp, λ, rappresenta correttamente l’equazione cinetica di stato della sostanza che si considera. 2) Per maggiori dettagli sulle natura delle equazioni cinetiche di stato semiempiriche e le corrispondenti principali grandezze termodinamiche, si veda M. G. Busato, “Sulle Equazioni Cinetiche di Stato Semiempiriche dei Fluidi”, mgbstudio.net. Per maggiori dettagli sulle nozioni di “covolume” e “pressione interna” si veda esempio in P. Fleury, J. P. Mathieu, “Calore, Termodinamica, Stati della materia”, Zanichelli, Paragrafo 11.4, pag. 187 e Paragrafo 11.5, pag. 189.

1

per cui l’equazione 1.1 risulta in pratica determinata quando sono date, per un assegnato intervallo di temperatura, le tre n-uple delle costanti α v αv , α p

( iα p )

(i )

e λ ( iλ ) . In generale, si trova che in prima ap-

prossimazione le funzioni α v (T ), α p (T ), λ (T ) variano di poco con la temperatura, soprattutto

α v (T ) , per cui una forma approssimata della 1.1 utile per studiare qualitativamente le proprietà termodinamiche dei liquidi secondo il modello fornito dall’equazione di Eckart, è la seguente: (0)  (1) ⎤ ⎡⎣ v − α v(0) ⎤⎦ ⎡⎣ p + α (0) (1 + λ (1) T ) p (1 + α p T ) ⎦ = λ

1.6

dove si è posto:

α (1) p =

α (1) p (0) αp

;

λ (1) =

λ (1) λ (0)

1.7

E’ anche da rilevare che di norma nella 1.6 si può assumere:

α v(0) << 1

;

(0) α (0) >> 1 p , λ

;

 (1) << 1 α (1) p , λ

1.8

Per l’acqua pura ad esempio, utilizzando le unità di misura del SI ed assumendo valori di p nell’intervallo [0, 1 ⋅108 ] Pa e valori di T nell’intervallo [−2, 40] °C, si ha:( 3 )

α v (T ) = 6.879735 ⋅10−4 m3/Kg

1.9

α p (T ) = 6.207262 ⋅108 [1 + 0.00596352 T − 0.0000475951T 2 ] Pa

1.10

λ (T ) = 1.936310 ⋅105 [1 + 0.00587311T − 0.0000267075 T 2 ] J/Kg

1.11

Così, per il campo di valori di p e T considerati, l’equazione cinetica di stato dell’acqua pura è determinata, secondo il modello fornito dall’equazione di Eckart, da 7 costanti, che in prima approssimazione, o per valori di T relativamente piccoli, diventano 5 costanti. In tal caso infatti, come equazione cinetica di stato dell’acqua pura si può assumere la seguente: −4 8 5 ⎣⎡ v − 6.880 ⋅10 ⎦⎤ ⎣⎡ p + 6.207 ⋅10 (1 + 0.00596 T ) ⎤⎦ = 1.936 ⋅10 (1 + 0.00587 T )

1.12

2. FORME ESPLICITE DELL’EQUAZIONE ECKART L’equazione di Eckart è lineare sia in v che in p e quindi può essere esplicitata rispetto ad entrambe queste variabili. Così facendo si ottengono le seguenti due forme equivalenti della equazione 1.1, la seconda delle quali è particolarmente utile in molte applicazioni pratiche: v = α v (T ) +

λ (T ) p + α p (T )

2.1

3)

Le formule riportate sono tratte da D. G. Wright, “An Equation of State for Use in Ocean Models: Eckart’s Formula Revisited”, Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 1979, Vol. 14. Ricordiamo che nel campo dei valori di p e T presi in considerazione la densità dell’acqua pura è dell’ordine di grandezza di 1000 Kg/m3.

2

p=

λ (T ) + α p (T ) v − α v (T )

2.2

Si noti che supposte valide le sole condizioni 1.2, dal punto di vista concettuale la 2.1 può rappresentare l’equazione cinetica di stato di un liquidi solo per valori di p e T in corrispondenza dei quali la sostanza che si considera è allo stato liquidi, cioè per p maggior di un valore minimo della pressione e per T minore di un valore massimo per la temperatura; si deve cioè sempre supporre nella 2.1 che sia p > pmin e T < TMax dove pmin e TMax sono valori caratteristici per la sostanza presa in esame. Un discorso analogo vale per la 2.2 dove v, che non potrà mai essere inferiore di α v (T ), dovrà essere comunque minore di un certo valore massimo vMax . In realtà invece, come si è detto, le 2.1 e 2.2 saranno sempre date per valori di p, T o v, T appartenenti ad assegnati intervalli, che ne individuano l’ambito di validità. In molte applicazioni di fluidodinamica, al posto del volume specifico v è più comodo utilizzare la densità ρ, che altro non è che il reciproco di v: ρ = 1/ v . In termini della densità, le 2.1 e 2.2 assumono la forma seguente:

ρ=

α p (T ) + p λ (T ) + α v (T ) p

2.3

p=

λ (T ) ρ − α p (T ) 1 − α v (T ) ρ

2.4

dove si è posto:

λ (T ) = λ (T ) + α v (T ) α p (T ) Anche per queste forme della equazione di Eckart vale ovviamente quanto precisato a proposito delle 2.1 e 2.2. ____________________________

3

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BIBLIOGRAFIA GENERALE [1]

D. G. Wright, “An Equation of State for Use in Ocean Models: Eckart’s Formula Revisited”, Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 1979, Vol. 14.

[2]

R. C. Reid – J. M. Prausnitz – B. E. Poling, “The Properties of Gases & Liquids” IV Edizione, McGraw-Hill, Cap. 3.

[3]

P. Fleury – J. P. Mathieu, “Calore, Termodinamica, Stati della Materia, Zanichelli.

[4]

M. G. Busato, “Sulle Equazioni Cinetiche di Stato Semiempiriche dei Fluidi”, mgbstudio.net

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INDICE GENERALE 1. INTRODUZIONE

1

2. FORME ESPLICITE DELL’EQUAZIONE DI ECKART

2

BIBLIOGRAFIA GENERALE

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