Equazione Di Shrodinger

Equazione di Schrödinger

Un modo assai semplice per la determinazione dell’ equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, consiste nel considerare, come punto di partenza, l’ equazione delle onde in ambito classico ad 1 Dimensione, ovvero:

Utilizzando la tecnica di separazioni delle variabili e ponendo: u(x,t) = ψ(x) f(t) Nell’ equazione

otteniamo:

Sostituendo, ora, ad f(t) una soluzione standard delle onde del tipo eiωt (definita a meno della costante moltiplicativa) otteniamo:

ES-1)

Ricordando che ω = 2πν e νλ = v, Il termine ω2/v2 può essere riscritto come:

ES-2)

L’ equazione ottenuta è un’ equazione differenziale ordinaria che descrive l’ ampiezza spaziale ψ(x) delle onde materiali (onde di de Broglie) in funzione della coordinata “x”. La sostituzione della ES2) nella ES-1) conduce alla Famosa equazione di Schrödinger indipendente nel tempo ad 1 Dimensione; ovvero in formule:

che può essere riscritta come

ES-3)

La generalizzazione della ES-3) al caso 3D conduce a:

L’ energia della particella è data dalla somma dell’ energia cinetica e dell’ energia potenziale ovvero:

Utilizzando la formula di de Broglie p = h/λ ed utilizzando la relazione

possiamo

ricavare la quantità λ, ovvero la lunghezza d’ onda dell’ onda materiale associata alla particella in oggetto ottenendo:

E’ interessante notare che l’ analogia utilizzata con l’ equazione d’ onda classica (come si può notare il formalismo classico è sempre stato di grande aiuto) non può essere utilizzata per la derivazione dell’ equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.

L’ equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, non può essere derivata utilizzando metodi elementari (come nel caso dell’ equazione di Schrödinger indipendente dal tempo), pertanto viene data come postulato della meccanica quantistica. L’ equazione di Schrödinger della singola particella dipendente dal tempo a 3D assume la forma:

ES-4) dove V è una funzione reale ed esprime l’ energia potenziale del sistema

Tale equazione, non tiene conto dello spin della particella e di eventuali effetti relativistici. Da tale equazione è possibile derivare l’ equazione di Schrödinger dipendente dal tempo con templi argomentazioni come di seguito mostrato a puro titolo informativo:

Se scriviamo la funzione d’ onda complessiva come prodotto di due funzioni separate, una temporale (ovvero dipende solo dalla variabile indipendente t) l’ altra spaziale (ovvero dipende solo dalle coordinate di posizione) ovvero:

ψ(r,t) = ψ(r) f(t) l’ equazione ES-4) assume la forma:

o alternativamente:

considerato che il membro di sinistra dipende solo dalla variabile indipendente t mentre il membro di destra solo dalla variabile indipendente r,si conclude che i due membri devono essere uguali ad una costante. Se poniamo tale costante pari ad E, che ha le dimensioni di un’ energia (basta fare un semplice controllo dimensionale dei due membri), possiamo scrivere le seguenti due equazioni (equazioni differenziali ordinarie)

ES-5) ed

ES-6) quest’ ultima equazione rappresenta l’ equazione di Schrödinger indipendente nel tempo.

A titolo informativo, la risoluzione dell’ equazione ES-5), fornisce:

Si dimostrerà più avanti che l’ Operatore Hamiltoniano nell’ equazione ES-6), è Ermitiano e poiché gli autovalori di un tale operatore sono reali, E è reale. Questo stato di cose significano che le soluzioni f(t) sono del tipo puramente oscillanti (si rammenti quanto dice la formula di eulero). Pertanto se

ES-7)

la funzione d’ onda totale ψ(r,t) differisce da ψ( r ) solamente da un fattore di fase di ampiezza costante. Questo implica che la quantità  ψ(r,t) 2 è indipendente dal tempo essendo data dalla seguente relazione:

inoltre il valore dell’ aspettazione di ogni Operatore indipendente dal tempo è esso stesso indipendente dal tempo se ψ(r,t) soddisfa l’ equazione ES-7) , matematicamente si ha:

Le funzioni d’ onda del tipo ES-7) sono chiamate Stati Stazionari. L’ equazione ES-7) rappresenta una soluzione particolare dell’ equazione ES-4). La soluzione generale del ES-4) sarà, ovviamente, una combinazione lineare di queste soluzioni particolari, ovvero: