Resumo Funções Hiperbólicas

Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas directas e inversas

C. Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas directas Vamos agora introduzir as fun¸c˜ oes hiperb´ olicas, apresentar algumas das suas propriedades e esbo¸car os seus gr´ aficos.

C1. Seno hiperb´ olico O seno hiperb´ olico ´e a fun¸c˜ ao sh : R −→ R ex − e−x x 7−→ . 2

(15)

Trata-se de uma fun¸c˜ ao cont´ınua, ´ımpar e estritamente crescente, logo injectiva. Possui um u ´nico zero, a origem. Al´em disso, lim sh x = +∞, lim sh x = −∞. x→+∞

x→−∞

y

y

x

2

x

y = sh x, x ∈ R, CDsh = R

y = ch x, x ∈ R, CDch = [1, +∞[

C2. Cosseno hiperb´ olico O cosseno hiperb´ olico ´e a fun¸c˜ ao ch : R −→ R ex + e−x x 7−→ . 2

(16)

Trata-se de uma fun¸c˜ ao cont´ınua e par. Logo, n˜ ao ´e injectiva. N˜ao possui zeros e atinge um m´ınimo na origem, com valor ch 0 = 1. Al´em disso, lim ch x = lim ch x = +∞. x→+∞

x→−∞

C3. Tangente hiperb´ olica A tangente hiperb´ olica ´e a fun¸c˜ ao definida por th : R −→ R sh x , x 7−→ ch x

(17)

ou seja, por th x =

ex − e−x , ex + e−x 4

x ∈ R.

(18)

Trata-se de uma fun¸c˜ ao cont´ınua, ´ımpar e estritamente crescente, logo injectiva. Possui um u ´nico zero, em 0. Al´em disso, 1 1 − 2x ex − e−x e2x − 1 e lim th x = lim x = lim 2x = lim = 1, 1 x→+∞ x→+∞ e + e−x x→+∞ e + 1 x→+∞ 1 + 2x e

(19)

pelo que o gr´ afico da th possui uma ass´ımptota horizontal de equa¸c˜ao y = 1, para x → +∞. Da imparidade da th, existe outra ass´ımptota horizontal de equa¸c˜ao y = −1, para x → −∞. Tem-se ainda CDth = ] − 1, 1[ . y

y 1

1 x

x -1

-1

y = th x, x ∈ R, CDth = ] − 1, 1[

y = coth x, x ∈ R\{0}, CDcoth = R\[−1, 1]

C4. Cotangente hiperb´ olica A cotangente hiperb´ olica ´e a fun¸c˜ ao definida por coth : R\{0} −→ R ch x x 7−→ , sh x

(20)

ou seja, por coth x =

ex + e−x , ex − e−x

x ∈ R\{0}.

(21)

Trata-se de uma fun¸c˜ ao cont´ınua, ´ımpar e sem zeros. Apesar de n˜ ao ser mon´ otona, ´e estritamente decrescente para x > 0, onde toma valores positivos, e para x < 0, onde toma valores negativos. Logo ´e injectiva. Da defini¸c˜ao (21), sai que lim coth x = +∞ ,

lim coth x = 1,

x→0+

(22)

x→+∞

pelo que o gr´ afico da coth possui uma ass´ımptota horizontal de equa¸c˜ao y = 1, para x → +∞, e uma ass´ımptota vertical de equa¸c˜ao x = 0. Da imparidade da coth , existe outra ass´ımptota horizontal de equa¸c˜ao y = −1, para x → −∞. Tem-se ainda CDcoth = R\[−1, 1] .

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C5. Algumas propriedades A partir das defini¸c˜ oes (15), (16), (18) e (21) das fun¸c˜oes hiperb´ olicas, com manipula¸c˜oes alg´ebricas simples, ´e f´acil verificar que estas fun¸c˜oes verificam as seguintes propriedades: (i) ch2 x − sh2 x = 1 ,

∀x ∈ R;

(ii) ch x + sh x = ex ,

∀x ∈ R;

(iii) sh(−x) = − sh x , (iv) ch(−x) = ch x , (v) th2 x +

∀x ∈ R; ∀x ∈ R;

1 =1, ch2 x

(vi) coth2 x −

∀x ∈ R;

1 =1, sh2 x

∀x ∈ R\{0};

(vii) sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y ,

∀x, y ∈ R;

(viii) ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y ,

∀x, y ∈ R;

(vii) sh(x − y) = sh x ch y − ch x sh y ,

∀x, y ∈ R;

(viii) ch(x − y) = ch x ch y − sh x sh y ,

∀x, y ∈ R.

Demonstra¸ca ˜o (i) Seja x ∈ R, qualquer. Ent˜ ao ch2 x − sh2 x =



=

ex + e−x 2

2

−



ex − e−x 2

2


1 2x e + 2 + e−2x − e2x + 2 − e−2x = 1. 4

(viii) Sejam x, y ∈ R, quaisquer. Ent˜ ao ch x ch y + sh x sh y

=

ex − e−x ey − e−y ex + e−x ey + e−y · + · 2 2 2 2

=

ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y ex+y + ex−y + e−x+y + e−x−y + 4 4

=

ex+y + e−x−y = ch(x + y). 2

As restantes al´ıneas demonstram-se de maneira semelhante.

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D. Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas inversas Vamos agora definir as fun¸c˜ oes hiperb´ olicas inversas. Como vimos na subsec¸c˜ao C, as fun¸c˜oes sh, th e coth s˜ ao injectivas, enquanto que a fun¸c˜ao ch n˜ ao ´e injectiva e, portanto, n˜ ao ser´ a invert´ıvel. Para esta u ´ltima, iremos considerar uma restri¸c˜ao apropriada.

D1. Argumento do seno hiperb´ olico A fun¸c˜ao sh definida em (15) ´e cont´ınua, bijectiva e possui inversa cont´ınua. Trata-se da fun¸c˜ao argumento do seno hiperb´ olico, que se define por argsh : R −→ R y 7−→ argsh y,

(23)

x = argsh y , y ∈ R ⇐⇒ y = sh x , x ∈ R.

(24)

onde

Mas, para x ∈ R , tem-se ex − e−x 2 e2x − 1 ⇐⇒ e2x − 2yex − 1 = 0. ⇐⇒ y = 2ex

y = sh x ⇐⇒ y =

(25)

A u ´ltima condi¸c˜ ao em (25) traduz uma equa¸c˜ao do segundo grau na inc´ ognita ex . Tratando-a com a f´ormula resolvente, sai ex = y ±

p

y2 + 1 ,

sendo a solu¸c˜ ao com o sinal + a u ´nica admiss´ıvel, uma vez que ex > 0 , ∀x ∈ R

e

y−

p

y 2 + 1 < 0 , ∀y ∈ R.

Mas ex = y + donde

p

  p y 2 + 1 ⇐⇒ x = log y + y 2 + 1 ,

  p argsh y = log y + y 2 + 1 ,

∀y ∈ R.

(26)

As express˜ oes (23) e (26) definem completamente a fun¸c˜ao argsh.

D2. Argumento do cosseno hiperb´ olico A fun¸c˜ao ch definida por (16) n˜ ao ´e injectiva, logo, n˜ ao ´e invert´ıvel. Como tal, definiremos a inversa da seguinte restri¸c˜ ao bijectiva e cont´ınua ch : [0, +∞[ −→ [1, +∞[ x 7−→ ch x, 7

(27)

y y

x

1

y = argsh x, x ∈ R, CDargsh = R

x

y = argch x, x ∈ [1, +∞[ , CDargch = [0, +∞[

que se designa por argumento do cosseno hiperb´ olico e que ´e tamb´em uma fun¸c˜ao cont´ınua. Representa-se por argch : [1, +∞[ −→ [0, +∞[ y 7−→ argch y,

(28)

x = argch y , y ∈ [1, +∞[ ⇐⇒ y = ch x , x ∈ [0, +∞[ .

(29)

onde

Mas, para x ≥ 0 , tem-se ex + e−x 2 e2x + 1 ⇐⇒ e2x − 2yex + 1 = 0. ⇐⇒ y = 2ex

y = ch x ⇐⇒ y =

(30)

Au ´ltima igualdade de (30) traduz uma equa¸c˜ao do segundo grau em ex , donde p ex = y ± y 2 − 1 . Como x ≥ 0 =⇒ ex ≥ 1, a solu¸c˜ ao com o sinal + ´e a u ´nica admiss´ıvel (a solu¸c˜ao com o sinal − corresponderia ` a inversa da restri¸c˜ao do ch para x ≤ 0). Mas   p p ex = y + y 2 − 1 , x ≥ 0 , y ≥ 1 ⇐⇒ x = log y + y 2 − 1 , x ≥ 0 , y ≥ 1, donde   p argch y = log y + y 2 − 1 , y ∈ [1, +∞[ .

(31)

A fun¸c˜ao argumento do cosseno hiperb´ olico fica completamente definida por (28) e (31).

D3. Argumento da tangente hiperb´ olica A fun¸c˜ao tangente-hiperb´ olica definida em (17) ´e injectiva mas n˜ ao ´e sobrejectiva. Para poder inverter, basta considerar th : R −→ ] − 1, 1[ x 7−→ th, 8

(32)

que ´e bijectiva e, portanto, ´e invert´ıvel. Sendo cont´ınua num intervalo, a sua inversa ´e cont´ınua. Trata-se da fun¸c˜ ao argumento da tangente hiperb´ olica, que se define por argth : ] − 1, 1[ −→ R y 7−→ argth y,

(33)

x = argth y , y ∈ ] − 1, 1[ ⇐⇒ y = th x , x ∈ R.

(34)

onde

Para x ∈ R , y ∈ ] − 1, 1[ , tem-se y = th x ⇐⇒ y =

2x

⇐⇒ e

ex − e−x e2x − 1 ⇐⇒ y = ex + e−x e2x + 1

(1 − y) = 1 + y ⇐⇒ x = log

donde argth y = log

r

1+y 1−y



r

1+y 1−y



,

, y ∈ ] − 1, 1[ ,

(35)

completando-se a defini¸c˜ ao do argumento da tangente hiperb´ olica com (33) e (35). y y

1 x 1

-1

x

-1

y = argth x, x ∈] − 1, 1[, CDargth = R

y = argcoth x, x ∈ R\[−1, 1] , CDargcoth = R\{0}

D4. Argumento da cotangente hiperb´ olica A fun¸c˜ao cotangente-hiperb´ olica definida em (20) ´e injectiva mas n˜ ao ´e sobrejectiva. Consideremos ent˜ ao coth : R\{0} −→ R\ [−1, 1] (36) x 7−→ coth que ´e bijectiva e, portanto, ´e invert´ıvel. A sua inversa ´e cont´ınua. Trata-se da fun¸c˜ao argumento da cotangente hiperb´ olica, que se define por argcoth : R\ [−1, 1] −→ R\{0} y 7−→ argcoth y 9

(37)

onde x = argcoth y , y ∈ R\ [−1, 1] ⇐⇒ y = coth x , x ∈ R\{0}.

(38)

Para x ∈ R\{0} , y ∈ R\ [−1, 1] , tem-se y = coth x ⇐⇒ x = log

r

y+1 y−1



,

pelo que argcoth y = log

r

y+1 y−1



, y ∈ R \ [−1, 1],

(39)

ficando assim completa a defini¸c˜ ao da fun¸c˜ao argumento da cotangente hiperb´ olica, atrav´es das express˜ oes (37) e (39).

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