Resumo-primitivas

Primitivas imediatas por partes por substitui¸c˜ ao de fun¸c˜ oes racionais

1

Introdu¸ c˜ ao

O problema central desta sec¸c˜ ao ´e o de, dada uma fun¸c˜ao f : I −→ R, definida num intervalo I, determinar uma nova fun¸c˜ao F : I −→ R tal que F 0 (x) = f (x),

∀x ∈ I.

(44)

Trata-se do chamado problema da primitiva¸c˜ao da fun¸c˜ao f no intervalo I. Existindo solu¸c˜ao do problema, dizemos que f ´e primitiv´ avel em I e cada fun¸c˜ao F verificando a condi¸c˜ao (44) ´e chamada uma primitiva ou uma antiderivadas de f em I. Escrevemos Z   F (x) = P f (x) ou F (x) = f (x)dx. (45) Em particular, na segunda express˜ ao de (45), o s´ımbolo

R

representa um “S” alongado

e “dx” ´e uma part´ıcula formal usada para denotar a vari´avel independente em rela¸c˜ao `a qual se est´ a a primitivar. Da defini¸c˜ao, ´e imediato que   F (x) = P f (x) , ∀x ∈ I sse F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I, ou seja, que F ´e uma primitiva de f

sse

f ´e a derivada de F.

Fica assim claro que a primitiva¸c˜ ao ´e o processo inverso da deriva¸c˜ao. Exemplo 1 (a) A fun¸c˜ ao definida por F (x) = sen x, x ∈ R, ´e uma primitiva de f (x) = cos x, x ∈ R. 0

De facto, basta atender a que (sen x) = cos x, x ∈ R.

(b) A fun¸c˜ ao definida por F (x) = 0

Basta recordar que (ln x) =

2

1 , x ∈ R+ , ´e uma primitiva de f (x) = ln x, x ∈ R+ . x

1 , x ∈ R+ . x

Consequˆ encias

Da defini¸c˜ ao de primitiva, extraem-se algumas consequˆencias que passamos a enunciar. Consequˆ encia 1 Se F ´e uma primitiva de f no intervalo I ent˜ao toda a fun¸c˜ao F (x) + C,

x ∈ I,

com C uma constante real arbitr´ aria, ´e tamb´em uma primitiva de f . 0

Basta notar que [F (x) + C] = F 0 (x) = f (x), x ∈ I.

15

(46)

Consequˆ encia 2 Se F1 e F2 s˜ ao duas primitivas de f em I ent˜ao F2 (x) = F1 (x) + C, x ∈ I. 0

Basta atender a que F10 (x) = F20 (x) = f (x), x ∈ I, resultando [F1 (x) − F2 (x)] = 0, x ∈ I. Como I ´e um intervalo, conclui-se que F1 (x) − F2 (x) = C, x ∈ I, ou seja que F1 (x) = F2 (x) + C, x ∈ I.

Observa¸ c˜ ao 1 (a) Das Consequˆencias 1 e 2 sai que, quando o problema da primitiva¸c˜ao de uma fun¸c˜ao num intervalo ´e poss´ıvel, ele admite uma infinidade de solu¸c˜oes, que se obtˆem de uma primitiva conhecida adicionando uma constante real arbitr´aria. Para al´em destas, n˜ ao h´ a outras primitivas de f no intervalo I. Representamos a express˜ao geral das primitivas de f por F (x) + C, C constante, onde F ´e uma primitiva conhecida, e escrevemos P (f (x)) = F (x) + C.

(47)

(b) A t´ıtulo de curiosidade, note-se que o problema da primitiva¸c˜ao de uma fun¸c˜ao ´ o que se passa, por exemplo, num intervalo pode tamb´em n˜ ao possuir solu¸c˜ao. E com a fun¸c˜ ao  f (x) =

0 se x ∈ Q 1 se x ∈ R \ Q

em qualquer intervalo e com a fun¸c˜ao  1 se 0 ≤ x ≤ 2 g(x) = 2 se 0 < x ≤ 4 no intervalo [0, 4]. Estas fun¸c˜oes n˜ao podem ser a derivada de fun¸c˜ao alguma num intervalo, porque a derivada de uma fun¸c˜ao num intervalo, ainda que seja descont´ınua, possui a propriedade do valor interm´edio, n˜ao passando de um valor a outro sem passar por todos os valores interm´edios. Este resultado ´e conhecido por Teorema de Darboux do valor interm´edio para a derivada de uma fun¸c˜ao num intervalo (cf. a bibliografia recomendada). As descontinuidades de uma derivada num intervalo, se existirem, s˜ ao bastante complexas, e nunca descontinuidades de salto. (c) Mais adiante vamos abordar algumas regras de primitiva¸c˜ao muito u ´teis. Conv´em, no entanto, registar que estas regras n˜ao permitem determinar as primitivas de todas as fun¸c˜ oes primitiv´ aveis. Um exemplo bem conhecido (cf. a bibliografia 2

recomendada) ´e o da fun¸c˜ ao definida por e−x , x ∈ R, que, como ficar´a claro mais adiante, ´e primitiv´ avel em qualquer intervalo I e, no entanto, as regras que iremos abordar n˜ ao permitem determinar as primitivas desta fun¸c˜ao. 16

Exemplo 2 P (cos x) = sen x + C;   1 = ln x + C. P x

3

Primitivas imediatas

Chamamos primitivas imediatas ` aquelas primitivas que se obtˆem por simples revers˜ao das regras de deriva¸c˜ ao, recorrendo, eventualmente, a alguns artif´ıcios de c´alculo. A partir de um quadro de derivadas do tipo Fun¸c˜ ao ex sen x cos x ax xk

Derivada ex cos x − sen x a kxk−1

facilmente construimos um quadro de primitivas imediatas. Para tal, basta fazer uma troca de colunas, adicionar uma constante arbitr´aria aos elementos da coluna da direita e, eventualmente, ajustar constantes. Resulta Fun¸c˜ ao x e cos x sen x a xk−1

Primitiva ex + C sen x + C − cos x + C ax + C xk /k + C

Mais em geral, sendo f : I −→ R deriv´avel num intervalo I e a, α constantes reais, alguns exemplos de primitivas imediatas s˜ ao: (i) P (a) = ax + C (a ∈ R)  (iii) P

f 0 (x) f (x)

 = ln |f (x)| + C

(v) P (cos f (x)f 0 (x)) = sen f (x) + C

(ii) P (f 0 (x)f α (x)) =

f α+1 (x) + C (α 6= −1) α+1

  af (x) (iv) P af (x) f 0 (x) = + C (a ∈ R+ \1) log a (vi) P (sh f (x)f 0 (x)) = ch f (x) + C

´ assim poss´ıvel construir uma tabela de primitivas imediatas (Apˆencice 1 deste cap´ıtulo) E que mais n˜ ao ´e do que uma lista de regras obtidas por leitura revertida de regras de deriva¸c˜ao. Em cada caso, pˆ os-se dentro do sinal P ( · · · ) uma “express˜ao” na forma de “derivada de alguma fun¸c˜ ao”. A tabela diz-nos, no segundo membro, qual ´e essa fun¸c˜ao. Por exemplo, a regra (vi) afirma que a primitiva de uma “express˜ao” do tipo 17

sh f (x) f 0 (x) ´e igual a ch f (x) + C; isto acontece porque a derivada de ch f (x) + C ´e precisamente igual a sh f (x)f 0 (x). Para que a tabela seja u ´til, devemos ser capazes de traduzir a “express˜ ao” a primitivar numa das formas contempladas na tabela dentro do s´ımbolo P ( · · · ). Este passo representa a u ´nica dificuldade do processo de primitiva¸c˜ao imediata. Ele requer um conhecimento razo´avel das regras de deriva¸c˜ao. Exemplo 3 [Primitivas imediatas]
cos6 x 1. P − sen x cos5 x = + C. 6  2. P

ex 1 + e2x



 =P

ex 1 + (ex )2



[Regra 4. da tabela]

= arctg ex + C.

 x  e 3. P = ln(7 + ex ) + C. 7 + ex

[Regra 15. da tabela]

[Regra 3 da tabela]

    ex (5 + ex )−3/4+1 x x −3/4 4. P p +C = P e (5 + e ) = 4 −3/4 + 1 (5 + ex )3 √ = 4 4 5 + ex + C. [Regra 4 da tabela]

4

Regras de primitiva¸ c˜ ao

O c´alculo das primitivas de uma fun¸c˜ao baseia-se num conjunto de regras, as chamadas regras de primitiva¸c˜ ao, que se obtˆem a partir das regras de deriva¸c˜ao.

4.1

Regra de primitiva¸c˜ ao por decomposi¸c˜ ao

Resulta da regra da deriva¸c˜ ao da soma de fun¸c˜oes e da regra de deriva¸c˜ao do produto de uma fun¸c˜ao por uma constante. Se u e v s˜ao fun¸c˜oes deriv´aveis e α e β s˜ao constantes reais, ent˜ao [αu(x) + βv(x)]0 = αu0 (x) + βv 0 (x).

(48)

Em termos de primitivas, a regra (48) traduz-se por   P αu0 (x) + βv 0 (x) = αu(x) + βv(x) + C. Pondo, mais em geral, u0 (x) = f (x), v 0 (x) = g(x) e u(x) = F (x), v(x) = G(x), com F e G primitivas de f e de g, respectivamente, vem P [αf (x) + βg(x)] = αF (x) + βG(x) + C. Podemos ent˜ ao estabelecer o seguinte resultado.

18

Conclus˜ ao 1 [Primitiva¸c˜ao por decomposi¸c˜ao] Sejam f e g fun¸c˜ oes primitiv´ aveis num intervalo I e α, β duas constantes reais.. Ent˜ao αf + βg ´e primitiv´ avel em I, tendo-se  

P αf (x) + βg(x) = α P f (x) + β P g(x) . (49) Exemplo 4    
2
2 x 3 sen x − sen x x = 5 P cos x − P e − 3 P P 5 cos x − e + 5 1 + cos2 x 5 1 + cos2 x 2 = 5 sen x − ex − 3 arctg(cos x) + C 5

4.2

Regra de primitiva¸c˜ ao por partes

Resulta da regra de deriva¸c˜ ao de um produto de fun¸c˜oes. Se u e v s˜ao fun¸c˜oes deriv´aveis, ent˜ao [u(x)v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x).

(50)

Em termos de primitivas, podemos traduzir a igualdade (50) por   P u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = u(x)v(x) + C. Numa forma mais u ´til, e atendendo ao que se vimos na subsec¸c˜ao 4.1, podemos escrever     P u0 (x)v(x) = u(x)v(x) − P u(x)v 0 (x) + C. Pondo agora u0 (x) = f (x), v(x) = g(x), u(x) = F (x), onde F ´e uma primitiva de f , sai     P f (x)g(x) = F (x)g(x) − P F (x)g 0 (x) , ou ainda,    
P f (x)g(x) = P [f (x)] g(x) − P P f (x) g 0 (x) .

(51)

Podemos ent˜ ao estabelecer a seguinte conclus˜ao. Conclus˜ ao 2 [Primitiva¸c˜ao por partes] Sejam f : I −→ R primitiv´ avel, F : I −→ R uma primitiva de f e g : I −→ R deriv´avel, tais que o produto F g 0 ´e primitiv´ avel em I. Ent˜ao f g ´e primitiv´avel em I, tendo-se     P f (x)g(x) = F (x)g(x) − P F (x)g 0 (x) . (52) Podemos ler a f´ ormula (52) da seguinte forma: a primitiva de um produto ´e igual ` a primitiva do primeiro factor a multiplicar pelo segundo factor, menos a primitiva do novo produto que resulta de multiplicar o factor que j´ a est´ a primitivado pela derivada do segundo factor. A regra de primitiva¸c˜ao expressa na f´ormula (52) evidencia que a primitiva de um produto pode ser calculada em duas partes: na primeira, primitivase apenas o primeiro factor, que depois ´e multiplicado pelo segundo; na segunda parte, primitiva-se o produto da fun¸c˜ ao que j´a est´a primitivada pela derivada do segundo factor. 19

Observa¸ c˜ ao 2 (a) Para que o m´etodo de primitiva¸c˜ao por partes tenha sucesso, pelo menos um dos factores deve ter primitiva imediata; o m´etodo resulta quando se sabe primitivar o produto que aparece na segunda parte (cf. o exemplo 5 (a)). (b) Em geral, conhecendo a primitiva de ambos os factores, escolhe-se para primeiro aquele que menos se simplifica a derivar (cf. o exemplo 5 (b)). (c) O m´etodo de primitiva¸c˜ ao por partes pode ser aplicado com suceso para primitivar uma fun¸c˜ ao que n˜ ao tem primitiva imediata, digamos f (x), interpretando-a como o produto 1f (x) e come¸cando por primitivar o factor 1,       P f (x) = P 1f (x) = xf (x) − P xf 0 (x) = · · ·

(53)

Este ´e o processo habitualmente utilizado para primitivar, por exemplo, logar´ıtmos, arcos trigonom´etricos e argumentos hiperb´olicos (cf. o exemplo 5 (c)). (d) Ao aplicar o m´etodo de primitiva¸c˜ao por partes duas ou mais vezes sucessivas, ´e frequente reencontrarmos a primitiva inicial afectada de um certo coeficiente (diferente de 1). A primitiva proposta pode ser obtida como solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ ao cuja inc´ ognita ´e precisamente essa primitiva (cf. o exemplo 5 (d)). Exemplo 5 x2 (a) P(x ln x) = ln x − P 2



x2 1 2 x

 =

x2 x2 ln x − + C. 2 4

Repare-se que o factor ln x n˜ ao possui primitiva imediata. Devemos, portanto, primitivar primeiro o factor x. (b) P(xex ) = x ex − P(ex ) = x ex − ex + C. Aqui conhecemos a primitiva de ambos os factores. Mas o polin´omio “complica-se” ´ ent˜ao quando primitivado, porque aumenta de grau, e simplifica-se quando derivado. E conveniente guard´ a-lo para segundo factor. 

 1 (c) P(arctg x) = P 1 arctg x = x arctg x − P x 1 + x2   1 2x 1 = x arctg x − P = x arctg x − ln(1 + x2 ) + C. 2 2 1+x 2


O arco-tangente n˜ ao tem primitiva imediata, mas foi muito simples usar o m´etodo de primitiva¸c˜ ao por partes para o primitivar. (d) P ex sen x






 = ex sen x − P ex cos x = ex sen x − ex cos x + P ex sen x
= ex sen x − ex cos x − P ex sen x . 20

E para a primitiva proposta podemos escrever

P ex sen x = ex (sen x − cos x) − P ex sen x .
Resolvendo esta u ´ltima equa¸c˜ ao a respeito da inc´ognita P ex sen x , resulta
ex (sen x − cos x) + C. P ex sen x = 2

4.3

Primitiva¸c˜ ao de potˆ encias de fun¸co ˜es trigonom´ etricas e hiperb´ olicas

H´a um conjunto de regras pr´ aticas para a primitiva¸c˜ao de potˆencias com expoente natural de fun¸c˜ oes trigonom´etricas e de fun¸c˜oes hiperb´olicas, que se baseiam em algumas propriedades destas fun¸c˜ oes. Passemos `a apresenta¸c˜ao destas regras, apenas no caso das fun¸c˜oes seno e cosseno, bem como das fun¸c˜oes seno hiperb´ olico e cosseno hiperb´ olico. A - Potˆ encias pares de fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas e hiperb´ olicas No caso da primitiva¸c˜ ao de potˆencias de expoente par de fun¸c˜oes trigonom´etricas, ´e conveniente passar para o arco duplo, recorrendo `as f´ormulas 1 + cos 2x 1 − cos 2x , cos2 x = . (54) sen2 x = 2 2 De modo perfeitamente equivalente, no caso da primitiva¸c˜ao de potˆencias de expoente par de fun¸c˜ oes hiperb´ olicas, ´e conveniente passar para o argumento duplo, tendo em conta que sh2 x =

ch 2x − 1 , 2

ch2 x =

ch 2x + 1 . 2

Exemplo 6    
1 1 + cos 2x 1 1 (a) P(cos x) = P = P 1 + cos 2x = x + sen 2x + C 2 2 2 2 2

x 1 + sen x cos x + C. 2 2   
ch 2x + 1 2 1 4 (b) P(ch x) = P = P ch2 2x + 2 ch 2x + 1 2 4  
1
x 1 1 ch 4x + 1 1 x 2 = P ch 2x + P ch 2x + = P + sh 2x + 4 2 4 4 2 4 4 =

=


x 1 x 1 x 1 x 1 P ch 4x + + sh 2x + = sh 4x + + sh 2x + + C 8 8 4 4 32 8 4 4

=

1 3 1 sh 2x ch 2x + x + sh x ch x + C 16 8 2

=

1 3 1 sh x ch x(ch2 x + sh2 x) + x + sh x ch x + C 8 8 2

21

(55)

B - Potˆ encias ´ımpares de fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas e hiperb´ olicas No caso da primitiva¸c˜ ao de potˆencias de expoente ´ımpar de fun¸c˜oes trigonom´etricas ou hiperb´olicas, ´e conveniente destacar uma unidade `a potˆencia ´ımpar e passar o outro factor para a co-fun¸c˜ ao, atrav´es das f´ormulas cos2 x + sen2 x = 1 ,

ch2 x − sh2 x = 1.

(56)

Exemplo 7  
2 (a) P(cos x) = P cos x cos x = P cos x 1 − sen x 3

2






1 = P cos x − P cos x sen2 x = sen x − sen3 x + C. 3
  (b) P(ch5 x) = P ch x ch4 x = P ch x(1 + sh2 x)2
= P ch x + 2 ch x sh2 x + ch x sh4 x 1 2 = sh x + sh3 x + sh5 x + C. 3 5

4.4

Regra de primitiva¸c˜ ao por substitui¸c˜ ao

Resulta da regra de deriva¸c˜ ao de uma fun¸c˜ao composta. Se u e v s˜ao fun¸c˜oes deriv´aveis e a composta u ◦ v est´ a bem definida, ent˜ao [u (v(t))]0 = u0 (v(t)) v 0 (t).

(57)

Em termos de primitivas, podemos escrever   P u0 (v(t)) v 0 (t) = u (v(t)) + C. Pondo u0 (x) = f (x), u(x) = F (x), v(x) = g(x) e v 0 (x) = g 0 (x), onde F ´e uma primitiva de f , vem   P f (g(t)) g 0 (t) = F (g(t)) + C.

(58)

A express˜ao (58) pode adquirir uma forma mais u ´til, atendendo a que F (g(t)) + C indica uma primitiva gen´erica de f (x) calculada em x = g(t). De facto, podemos escrever   
0    P f g(t) g (t) = P f (x) , (59) x=g(t)

mas a express˜ ao (59) ainda n˜ ao ´e bem o que nos interessa. No entanto, tendo em conta   que, em geral, o problema que nos ´e proposto ´e o de calcular P f (x) , basta ent˜ao desfazer a substitui¸c˜ ao x = g(t) na f´ ormula (59), atrav´es de t = g −1 (x). Legitimando as “manobras” anteriores, a conclus˜ ao ´e a seguinte. 22

Conclus˜ ao 3 [Primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao] Sejam f : I −→ R uma fun¸c˜ ao primitiv´avel no intervalo I, F uma primitiva de f em I, e g : J −→ I uma fun¸c˜ ao bijectiva com derivada n˜ao nula em cada ponto de J. Ent˜ao F ◦ g ´e uma primitiva de (f ◦ g) g 0 em J, tendo-se      0 P f (x) = P f (g(t)) g (t)]

.

(60)

t=g −1 (x)

A express˜ ao (60) exprime a regra de primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao de vari´avel. Mais concretamente, ela indica que o c´ alculo da primitiva de f (x) pode ser efectuado da seguinte forma: • faz-se a substitui¸c˜ ao x = g(t);   • calcula-se depois a nova primitiva P f (g(t)) g 0 (t) ; • desfaz-se a substitui¸c˜ ao, regressando `a vari´avel inicial x, atrav´es de t = g −1 (x). Observa¸ c˜ ao 3 Em geral, aplica-se o m´etodo de primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao quando n˜ao se sabe primitivar a fun¸c˜ ao dada por outro processo, ou ainda quando o c´alculo da primitiva dada se simplifica significativamente. O sucesso do m´etodo depende, obviamente, da substitui¸c˜ao adoptada. A dificuldade est´a em intuir uma substitui¸c˜ao adequada para a primitiva que nos ´e proposta. Para a escolha da substitui¸c˜ao, podemos recorrer a uma tabela onde se listam substitui¸c˜ oes de sucesso para os casos mais importantes (Apˆendice 2 deste cap´ıtulo). Exemplo 8 (a) Para calcular P x

√


x − 1 , fa¸ca-se a substitui¸c˜ao definida por x − 1 = t2 , t ≥ 0.

Vem x = 1 + t2 , t ≥ 0, e no ˆ ambito da f´ormula (60), tem-se g(t) = 1 + t2 . Ent˜ao g 0 (t) = 2t e somos conduzidos ao c´alculo da nova primitiva,   √ 2 2 2t = 2P(t2 + t4 ) = t3 + t5 + C. P (1 + t2 ) t2 |{z} 3 5 0 g (t)

√ Para regressar ` a vari´ avel x, desfaz-se a substitui¸c˜ao, notando que t = x − 1 com x ≥ 1, uma vez que t ≥ 0. Resulta finalmente   √ 2p 2p (x − 1)3 + (x − 1)5 + C. P x x−1 = 3 5 p
(b) Para calcular P 1 − x2 , fa¸ca-se a substitui¸c˜ao x = cos t, com t ∈ [0, π]. Neste caso, tem-se g(t) = cos t e g 0 (t) = − sen t, para t ∈ [0, π]. Calculemos ent˜ao   p 
∗ 1 − cos 2t 2 2 P 1 − cos t (− sen t) = −P sen t = −P | {z } 2 g 0 (t)

=

1 1 1 P (cos 2t − 1) = sen t cos t − t + C, 2 2 2 23

∗

onde na igualdade = se usou o que vimos na subsec¸c˜ao 4.3, parte A. Para regressar `a vari´ avel x, atenda-se a que x = cos t, t ∈ [0, π] ⇔ t = arccos x, x ∈ [−1, 1] e a que, p para t ∈ [0, π], cos t = x ⇔ sen t = 1 − x2 , uma vez que sen2 t + cos2 t = 1, ∀t ∈ R. Ent˜ao p  1 p 1 2 P = x 1 − x2 − arccos x + C. 1−x 2 2  √  arcsen x √ (c) Para calcular P , fa¸ca-se x = t2 , t > 0. Depois de introduzir a subsx titui¸c˜ ao, caimos numa primitiva que podemos determinar recorrendo ao m´etodo de primitiva¸c˜ ao por partes. Vem  

arcsen t P 2t = 2P arcsen t = 2P 1 arcsen t |{z} t derivada    1 = 2 t arcsen t − P t √ 1 − t2 h i = 2t arcsen t + P (−2t)(1 − t2 )−1/2 p = 2t arcsen t + 2 1 − t2 + C, donde, regressando ` a vari´ avel x, resulta  √  √ √ √ arcsen x √ P = 2 x arcsen x + 2 1 − x + C. x  √  x− x √ , fa¸ca-se x = t6 , t ≥ 0. A solu¸c˜ao ´e (d) Para calcular P 1+ 3x  √  x− x 3 6 6 3 3 √ P = x5/3 − x4/3 − x7/6 + x + x5/6 − x2/3 3 5 4 7 5 2 1+ x = −2 x1/2 + 6 x1/6 − 3 ln(1 + x1/3 ) − 6 arctg(x1/6 ) + C. (e) Para calcular P x

√ 4


1 + x , fa¸ca-se 1 + x = t4 , t ≥ 0. Vem

P x

5

√ 4


4p 4p 1 + x = 4 (1 + x)9 − 4 (1 + x)5 + C. 9 5

Primitiva¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes racionais

A primitiva¸c˜ ao de fun¸c˜ oes definidas como quociente de polin´omios (fun¸c˜oes racionais), f (x) =

P (x) , Q(x)

x ∈ R\{x ∈ R : Q(x) = 0} ,

(61)

´e feita com uma t´ecnica muito pr´ opria que se baseia na decomposi¸c˜ao da frac¸c˜ao P (x)/Q(x) em frac¸c˜oes mais simples, ditas elementares. Para obter uma tal decomposi¸c˜ao, ´e crucial a determina¸c˜ ao dos zeros do polin´omio Q, bem como a especifica¸c˜ao da natureza 24

e da multiplicidade de cada zero. Omitindo aqui alguns resultados sobre polin´omios, passemos ` a descri¸c˜ ao desta t´ecnica. Passo 1 Divis˜ ao dos polin´ omios (nem sempre ´e necess´ario). Se grau Q ≥ grau P ent˜ ao efectua-se a divis˜ao dos dois polin´omios. Resulta P (x) R(x) = S(x) + , Q(x) Q(x) onde S e R s˜ ao polin´ omios e grau R < grau Q. A frac¸c˜ao

(62) R(x) deve agora ser Q(x)

decomposta, como vir´ a explicado nos passos seguintes. Passo 2 Decomposi¸c˜ ao de

R(x) em frac¸c˜oes simples. Q(x)

(a) Determinam-se os zeros de Q, atendendo a que: • se Q ´e um polin´ omio de grau n ent˜ao Q possui exactamente n zeros, que podem ser reais ou complexos; • os zeros complexos ocorrem sempre aos pares de conjugados, isto ´e, se a + bi ´e um zero de Q ent˜ao a − bi tamb´em ´e um zero de Q; • cada zero de Q pode ser simples ou de multiplicidade um, quando anula Q mas n˜ ao anula a sua derivada Q0 , e pode ser m´ ultiplo com multiplicidade k > 1, quando anula Q e todas as suas derivadas at´e `a ordem k − 1 mas n˜ ao anula a derivada de ordem k; • o polin´ omio Q possui o zero real x = a com multiplicidade k ≥ 1 se, na factoriza¸c˜ ao de Q, o factor (x − a) ocorre exactamente k vezes; • o polin´ omio Q possui o par de zeros complexos x = a ± bı com multiplicidade k ≥ 1 se, na factoriza¸c˜ao de Q, o factor [(x − a)2 + b2 ]k ocorre exactamente k vezes. R(x) numa soma de frac¸c˜oes simples, com base nos zeros de Q Q(x) encontrados em (a), atendendo a que:

(b) Decomp˜ oe-se

• cada zero real x = a, com multiplicidade k, contribui com k frac¸c˜oes simples da forma A2 Ak A1 , , ··· , , x−a (x − a)k (x − a)k−1

(63)

onde A1 , A2 , . . . , Ak s˜ ao constantes reais a determinar; • cada par de zeros complexos conjugados x = a ± bı, com multiplicidade k, contribui com k frac¸c˜oes simples da forma P1 x + Q1 P2 x + Q2 Pk x + Qk , , ··· , 2 2 k 2 2 k−1 (x − a)2 + b2 [(x − a) + b ] [(x − a) + b ] onde P1 , Q1 , P2 , Q2 , . . . , Pk , Qk s˜ao constantes reais a determinar. 25

(64)

(c) Calculam-se as constantes Ai , Pi , Qi que figuram nos numeradores das frac¸c˜oes simples (63) e (64), recorrendo ao chamado m´etodo dos coeficientes indeterminados, que vir´ a exposto nos exemplos que se apresentam a seguir. Na pr´ atica, recorre-se muitas vezes a outras regras bastante simples que, conjugadas com o m´etodo anterior, simpificam significativamente os c´alculos a efectuar. Passo 3 C´ alculo das primitivas. O c´alculo da primitiva inicial ´e efectuado a partir do que se viu nos passos anteriR(x) ores, nomeadamente, a partir da express˜ao (62), onde se escreve como uma Q(x) soma de parcelas dos tipos (63) e (64). Ent˜ao    R(x) P (x) = P [S(x)] + P P Q(x) Q(x) 

onde a primeira primitiva no segundo membro ´e imediata, por se tratar de um polin´ omio, e a segunda primitiva ´e a soma das primitivas das frac¸c˜oes simples envolvidas na decomposi¸c˜ ao. Todas as frac¸c˜oes da forma (63) tˆem primitiva imediata (regra 4. da potˆ ancia e regra 3. do logar´ıtmo). As frac¸c˜oes da forma (64) podem ser primitivadas atrav´es de uma substitui¸c˜ao de vari´avel. A u ´ltima, em particular, pode ser tratada como primitiva imediata, depois de algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas (regra 15. do arco-tangente). Exemplo 9  2x5 − 4x4 + 4x3 − 4x2 + 3x 1. Calcular P . (x2 + 1)(x − 1)2 

Passo 1 Neste caso, grau P = 5 e grau Q = 4, pelo que ´e necess´ario efectuar a divis˜ ao dos dois polin´ omios. Resulta x 2x5 − 4x4 + 4x3 − 4x2 + 3x = 2x + 2 . 2 2 (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1)2 Passo 2 Vamos decompor a frac¸c˜ao no segundo membro da u ´ltima equa¸c˜ao em frac¸c˜ oes simples. (a) Os zeros de Q(x) = (x2 + 1)(x − 1)2 s˜ao: x=1,

real com multiplicidade 2;

x = ±i , complexos conjugados com multiplicidade 1.

26

(b) A frac¸c˜ ao decomp˜ oe-se numa soma de trˆes frac¸c˜oes simples, duas delas associadas ao zero real de multiplicidade 2 e a outra associada ao par de complexos conjugados de multiplicidade 1, x A1 A2 Px + Q = + + 2 , (x2 + 1)(x − 1)2 (x − 1)2 x−1 x +1

(65)

onde A1 , A2 , P e Q s˜ ao constantes a determinar. (c) Da equa¸c˜ ao (65), reduzindo ao mesmo denominador, sai que x = A1 (x2 + 1) + A2 (x − 1)(x2 + 1) + (P x + Q)(x − 1)2 = (A2 + P )x3 + (A1 − A2 − 2P + Q)x2 + (A2 + P − 2Q)x + (A1 − A2 + Q), donde A2 + P = 0 ,

A1 − A2 − 2P + Q = 0 ,

A2 + P − 2Q = 1 ,

A1 − A2 + Q = 0,

e, portanto A1 =

1 , 2

A2 = 0 ,

P = 0,

1 Q=− . 2

(66)

A concluir este segundo passo, da equa¸c˜ao (65) e das express˜oes (66), resulta 1 1 − x 2 = + 2 2 . (x2 + 1)(x − 1)2 (x − 1)2 x +1 Passo 3 Do que se viu anteriormente, sai  5   
2x − 4x4 + 4x3 − 4x2 + 3x x = P 2x + P (x2 + 1)(x − 1)2 (x2 + 1)(x − 1)2    
1 1 1 1 = P 2x + P − P 2 2 (x − 1)2 2 x +1 = x2 −

1 1 − arctg x + C. 2(x − 1) 2

 4x2 + x + 1 . 2. Calcular P x3 − x 

Passo 1 N˜ ao ´e necess´ ario dividir os polin´omios. −1 2 3 4x2 + x + 1 = + + . 3 x −x x x+1 x−1  2  4x + x + 1 |x − 1|3 (x + 1)2 Passo 3 Resulta P = ln + C. x3 − x |x| Passo 2 Obter

27

 x+1 . 3. Calcular P x(x2 + 1)2 

Passo 1 N˜ ao ´e necess´ ario dividir os polin´omios. Passo 2 Obter

x+1 1 −x + 1 −x = + 2 + 2 . 2 2 2 x(x + 1) x (x + 1) x +1

Passo 3 Resulta r     1 x2 x+1 |x| 1 √ + P = ln + arctg x + + C. x(x2 + 2)2 2(x2 + 1) 2 1 + x2 x2 + 1

28

Tabela de primitivas imediatas

DMCT, Universidade do Minho C´alculo A e B / An´alise Matem´atica I

2007/2008 MIEEIC, MIECOM. MIEMAT, MIEPOL, MIEMEC / LEC

Primitivas Imediatas Na lista de primitivas que se segue, f : I −→ R ´e uma fun¸c˜ao deriv´avel no intervalo I e c denota uma constante real arbitr´ aria.

 3. P

f0 f

 = ln |f | + c

5. P (f 0 cos f ) = sen f + c  7. P

f0 cos2 f

11. P

f0 cos f

p 

15. P

= tg f + c



1 + tg f + c = log cos f = arcsen f + c

1 − f2

f0 1 + f2



p 

 12. P

14. P

20. P

! = arccos f + c

 = arccotg f + c

f0 sh2 f

p 

24. P

 = − coth f + c !

f0

22. P

 = argth f + c

1 − cotg f + c = log sen f

1 − f2

−f 0 1 + f2

! = argsh f + c



18. P (f 0 sh f ) = ch f + c 

f2 + 1

f0 1 − f2

f0 sen f

p

16. P

 = th f + c

= − cotg f + c

−f 0

 = arctg f + c



10. P (f 0 cotg f ) = log |sen f | + c



f0

21. P

23. P

f0 ch2 f

8. P

f0 sen2 f

!

17. P (f 0 ch f ) = sh f + c 19. P

6. P (f 0 sen f ) = − cos f + c 

f0

13. P


af 4. P af f 0 = + c (a ∈ R+ \1) log a



9. P (f 0 tg f ) = − log |cos f | + c 

f α+1 + c (α 6= −1) α+1

2. P (f 0 f α ) =

1. P (a) = ax + c

f2 − 1

f0 1 − f2

= argch f + c

 = argcoth f + c

Tabela de substitui¸ c˜ oes

DMCT, Universidade do Minho C´alculo A e B / An´alise Matem´atica I

2007/2008 MIEEIC, MIECOM. MIEMAT, MIEPOL, MIEMEC / LEC

Primitivas por Substitui¸c˜ao Na lista de substitui¸c˜ oes que se segue, a, b e c s˜ao constantes reais arbitr´arias. A nota¸c˜ao R(· · · ) indica uma fun¸c˜ ao racional dos mon´omios que se encontram dentro dos parˆentesis. Na coluna da esquerda, figuram diferentes tipos de fun¸c˜oes primitiv´aveis Na coluna da direita sugere-se, em cada caso, uma substitui¸c˜ao adequada `a fun¸c˜ao indicada na coluna da esquerda.

Tipo de Fun¸c˜ao

Substitui¸c˜ao

1.

1 , k ∈ N, k > 1 (x2 + a2 )k

x = a tg t

2.

Q(x) , k ∈ N, k > 1, b2 − 4ac < 0 (ax2 + bx + c)k

ax +

b =t 2

onde Q(x) ´e um polin´ omio de grau inferior a 2k 3.

Q(x) , k ∈ N, k > 1 [(x − p)2 + q 2 ]k

x = p + qt

onde Q(x) ´e um polin´ omio de grau inferior a 2k 4. R(arx , asx , . . .)

amx = t com m = m.d.c.(r, s, . . .)

5. R(loga x)

t = loga x

 6. R x,

ax + b cx + d

! p/q  r/s ax + b , , ... cx + d

ax + b = tm com m = m.m.c.(q, s, . . .) cx + d

  7. R x, (ax + b)p/q , (ax + b)r/s , . . .

(ax + b) = tm com m = m.m.c.(q, s, . . .)

  8. R x, xp/q , xr/s , . . .

x = tm com m = m.m.c.(q, s, . . .)

 p  9. R x, a2 − b2 x2

x=

a a a sen t ou x = cos t ou x = th t b b b

 p  10. R x, a2 + b2 x2

x=

a a tg t ou x = sh t b b

  p 11. R x, b2 x2 − a2

x=

a a sec t ou x = ch t b b

 √ √  12. R x, x, a − bx

x=

a a sen2 t ou x = cos2 t b b

 √ √  13. R x, x, a + bx

x=

a 2 tg t b

Tipo de Fun¸c˜ao

Substitui¸c˜ao

 √ √  14. R x, x, bx − a

x=

a sec2 t b √

  p 15. R x, ax2 + bx + c

√ ax2 + bx + c = x a + t √ √ se c > 0 faz-se ax2 + bx + c = c + tx se ax2 √ + bx + c = a(x − r1 )(x − r2 ) faz-se 2 √ax + bx + c = (x − r1 )t ou ax2 + bx + c = (x − r2 )t

16. xm (a + bxn )p/q

se

m+1 n

se

m+1 n

se a > 0 faz-se

∈ Z faz-se a + bxn = tq +

p q

∈ Z faz-se a + bxn = xn tq

17. R (sen x, cos x) com (a) R ´ımpar em sen x isto ´e R (− sen x, cos x) = −R (sen x, cos x)

cos x = t

(b) R ´ımpar em cos x isto ´e R (sen x, − cos x) = −R (sen x, cos x)

sen x = t

(c) R par em (sen x, cos x) isto ´e R (− sen x, − cos x) = R (sen x, cos x)

(d) nos restantes casos (e at´e nos anteriores)

tg x = t , sendo ent˜ao (supondo x ∈ ]0, π/2[ ) t 1 sen x = √ , cos x = √ 2 1+t 1 + t2 tg

x 2t 1 − t2 = t , sendo sen x = , cos x = 2 1 + t2 1 + t2

18. R (sen mx, cos mx)

mx = t

19. R (ex sh x, ch x)

x = log t

20. R (sh x, ch x) com (a) R ´ımpar em sh x

ch x = t

(b) R ´ımpar em ch x

sh x = t

(c) R par em (sh x, ch x)

th x = t , sendo sh x = √

(d) nos restantes casos (e at´e nos anteriores)

th

21. R (sh mx, ch mx)

t 1 , ch x = √ 2 1−t 1 − t2

x 2t 1 + t2 = t , sendo sh x = , ch x = 2 1 − t2 1 − t2

mx = t