Parte 2 Solucion Real O Compleja Ecuacion Polinomica Version Blog

SOLUCIÓN REAL O COMPLEJA DE ECUACIONES POLINOMIALES

PARTE 2: SOLUCIONES COMPLEJAS UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.2.3 J. Pomales / septiembre 2009

BREVE HISTORIA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

El gran problema

−1 = ? Por años se trató de resolverlo pero el mismo no tenía solución numérica real hasta que se inventaron un nuevo conjunto de números. Este conjunto se conoce con el nombre de números complejos y se establece finalmente en las matemáticas en el siglo XIX. Veamos un breve resumen de su trayectoria

Breve historia de los números complejos Fecha Aproximada

PERSONA

EVENTO

50

Herón de Alejandría

Primero en encontrar la raíz cuadrada de un número negativo.

850

Mahavira de India

Decía que un negativo no tenía raíz cuadrada, ya que no era cuadrado.

1545

Cardano de Italia

Las soluciones de las ecuaciones cúbicas implican raíces cuadradas de números negativos.

1637

Descartes de Francia

Introdujo los términos real e imaginario.

1748

Euler de Suiza

Usó

1832

Gauss de Alemania

Introdujo el término número complejo.

i

para

−1

DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Un número complejo es un número de la forma

a + bi

 Forma estándar

donde a y b son números reales e llama unidad imaginaria.

i

i

es un símbolo usado en este nuevo sistema de números complejos

se

CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS

3 + 2i

NÚMEROS COMPLEJOS

−4−i 7

NÚMEROS REALES (b = 0)

0 3 −4 π

2 + 4i

NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS

i

(a = 0)

i 7

2i

En esta segunda parte trabajaremos con soluciones complejas

Nombres de clases particulares de números complejos Unidad imaginaria Número complejo Número imaginario Número imaginario puro Número real Cero Conjugado de

a + bi

i

a + bi a + bi 0 + bi = bi a + 0i = a 0 + 0i = 0 a − bi

a y b son números reales b≠0 b≠0

UNIDAD IMAGINARIA • De ahora en adelante cuando trabajemos con números complejos

i = −1 i = −1 2

− a = −1 ⋅ a = i a

cuando

a>0

• Puedes usar lo que sabes de la suma de términos semejantes y la multiplicación de binomios para realizar operaciones con números complejos.

Ejemplos

Simplifica 1)

− 81 = − 1 ⋅ 81 = i ⋅ 9 = 9i

2)

− 33 = − 1 ⋅ 33 ≈ i (5.7) ≈ 5.7i

3) (9i )(3i ) = 27i 2 = 27(−1) = −27

4) (2 + 6i ) − (1 − 3i ) = (2 + 6i )(+) − (1(+ ) − 3i ) = (2 + −1) + (6i + 3i ) = 1 + 9i 5) (5 + 7i )(4 + 8i ) = 5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 8i + 7i ⋅ 4 + 7i ⋅ 8i = 20 + 40i + 28i + 56i 2 = 20 + 68i + 56(−1) = 20 + −56 + 68i = −36 + 68i

Ejercicios de Práctica Simplifica. De ser necesario redondea a la centésima (dos lugares decimales)

1)

− 100

8) − 7i (12 + 3i )

2)

− 0.25

9) (8 − 14i ) + (10 − 5i )

3)

− 17

10) (−4 + 2i ) − (9 − 9i )

4)

− 83

11) (3 + 4i ) − (−7 + 11.5i )

5) (5i )(7i )

12) (5 + 4i )(6 − 12i )

6) (4i )(−3i )(0.5i )

13) (−2 + 8i )(1 + 0.2i )

7) 9i (1 − 8i )

14) (4 − 10i )(4 + 10i )

Ahora ya estamos listos para calcular la solución compleja de una ecuación cuadrática

Resuelve

0 = 3 x +2 x + 5 2

x=−

a=3 b=2 b 2a

b 2 − 4 ac 2a

±

x = − 2(23) ± x=− ± 2 6

c=5

2 2 ( + ) − 4 ( 3)( 5 ) 2 ( 3)

4 + −60 6

x ≈ −.33 ±

−56 6

x ≈ −.33 ± i

56 6

x ≈ −.33 ± 1.25i La solución es aproximadamente 

x ≈ −.33 + 1.25i

ó

x ≈ −.33 − 1.25i

Ejercicios de Práctica Resuelve. De ser necesario redondea a la centésima (dos lugares decimales)

1) x − 3x + 5 = 0 2

2) 25 x − 16 x + 2 = 0 2

3) − 3x + x − 5 = 0 2

4) 4 x + 40 x + 100 = 0 2

5) − 2 x + 7 x − 12 = 0 2

6) 6 x + 6 x + 2 = 0 2

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