Resolver Problemas Parte 1 Version Blog

USO DE LA FACTORIZACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Parte 1)

UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.RE.10.3.3 J. Pomales / diciembre 2008

INTRODUCCIÓN  El pasado año ustedes aprendieron a resolver problemas verbales usando ecuaciones lineales.  Hoy, resolveremos problemas con ecuaciones cuadráticas.  Al resolver una ecuación cuadrática obtenemos dos raíces (resultados).  Es necesario verificar estas raíces en el problema original.

INTRODUCCIÓN  A veces, eliminamos las raíces negativas porque son imposibles en las condiciones del problema.  Ejemplo: la medida del largo de una figura no pueden ser un número negativo

 En resumen:  se debe verificar cada raiz y usar solamente como respuesta aquellas que satisfacen las condiciones del problema  se verifica en el problema, no en la ecuación.

Resumen de lo que debes saber  Frases que se identifican con las operaciones básicas:  SUMA:  aumentado en, sumado a, dentro de tantos años, más que, más viejo que, agregado a...

 RESTA:  menos que, diferencia, disminuido en, hace tantos años...

 MULTIPLICACIÓN:  veces, producto de, el doble de, duplo de, triple...

 DIVISIÓN:  dividido por, entre, repartido a, la mitad, un tercio...

Escribe una frase abierta para cada frase lingüística 

El número de centavos en k pesetas. 25k



El número de onzas en t libras y n onzas.

16t + n 

El sucesor de un número. n + 1



La suma de dos números pares sucesivos.

n + (n + 2) 

Tres menos que dos veces un número.

2n – 3

Traduce las siguientes frases lingϋísticas a frases abiertas.

Práctica

Escribe una frase abierta para cada frase lingüística 1) Un número aumentado en cinco. 2) Un número aumentado en su duplo. 3) La suma de dos números pares sucesivos. 4) La suma de dos números enteros sucesivos. 5) Cinco menos que tres veces un número. 6) La diferencia entre un número y seis.

Práctica

Escribe una frase abierta para cada frase lingüística     

3 por un número x sustraído de 24. 5 más grande que la mitad de un número t. La suma de 3 y b, dividida entre y. El producto de 5 y y más el producto de 10 y x. 7 menos que el producto de 3 y un número x

Práctica

Escribe una frase abierta para cada frase lingüística 1)

Una cancha de baloncesto es 15 metros más larga que ancha. Representa el número de metros en el: a) b) c) d)

2)

Ancho Largo Perímetro Área

Una libreta costó 40 centavos más que un lápiz. Representa el costo de 3 libretas y 5 lápices.

Pasos para resolver problemas verbales

Pasos para la resolución de problemas verbales 1. Leer el problema 2. Hacer un diagrama o dibujo 3. Identificar todos los elementos desconocidos del problema 4. Establecer la ecuación o inecuación 5. Resolver la ecuación o inecuación 6. Verificar las posibles respuestas 7. Contestar las preguntas del problema

EJEMPLOS

Ejemplo 1:

RESUELVE La suma de los cuadrados de dos números pares sucesivos es 244. Halla los números. Recuerda que al hablar de números desconocidos escribimos variables. Por lo tanto, en primer lugar establecemos las variables y luego planteamos una ecuación con las especificaciones del problema.

Ejemplo 1:

RESUELVE La suma de los cuadrados de dos números pares sucesivos es 244. Halla los números. El primer número par x El segundo número par sucesivo será x + 2 Ahora establecemos una ecuación: x2 + (x + 2)2 = 244 Lo próximo es resolver la ecuación para encontrar los posibles valores de x

Ejemplo 1:

La suma de los cuadrados de dos números pares sucesivos es 244. Halla los números.

x + ( x + 2) = 244 2

2

x 2 + x 2 + 4 x + 4 = 244 2 x 2 + 4 x + 4 = 244 2 x 2 + 4 x + −240 = 0 2( x + 2 x + −120) = 0 2( x + 12)( x + −10) = 0

x = −12

 Sumamos términos semejantes

 Forma estándar

2

2 = 0 ó x + 12 = 0

 Simplificamos

 Factor común  Factorizamos trinomio x2 + bx + c

ó

x + −10 = 0  Principio del cero estudiado en la x = 10 clase pasada

Ejemplo 1:

La suma de los cuadrados de dos números pares sucesivos es 244. Halla los números.

2=0

ó

x = −12

ó

x = 10

De primera intención eliminamos el primer valor, 2 = 0 , por no ser una relación correcta. En este caso ambos números de x son pares. Si verificamos con -12, los números pares sucesivos serían: -12 y -10. Ahora comprobamos con el ejercicio original

Si verificamos con 10, los números pares sucesivos serían: 10 y 12. Ahora comprobamos con el ejercicio original

(-12)2 + (-10)2 = 244

(10)2 + (12)2 = 244

144 + 100 = 244

100 + 144 = 244

244 = 244

244 = 244

Ejemplo 1:

La suma de los cuadrados de dos números pares sucesivos es 244. Halla los números.

Por lo tanto, la contestación es: Los números pueden ser 10 y 12 ó -12 y -10.

Ejemplo 2:

RESUELVE El largo de un rectángulo es 3 cm más que el ancho. Halla las dimensiones del rectángulo si el área es 28 cm2. Para este problema es necesario recordar la figura del rectángulo, lo que son dimensiones (sus medidas) y el área de un rectángulo (A = l · a) Siempre es favorable determinar de quién se habla menos o se dan menos detalles. Esa será nuestra principal variable desconocida.

Ejemplo 2:

RESUELVE El largo de un rectángulo es 3 cm más que el ancho. Halla las dimensiones del rectángulo si el área es 28 cm2.

Aquí se habla del largo y del ancho del rectángulo. ¿De quién se da menos detalles? Como se da menos detalles del ancho podemos decir que x es el ancho. Del largo de un rectángulo se dice que es 3 cm más que el ancho, por lo que se podría traducir así: x + 3

Ejemplo 2:

El largo de un rectángulo es 3 cm más que el ancho. Halla las dimensiones del rectángulo si el área es 28 cm2.

Así que: x  Medida del ancho x + 3  Medida del largo

x+3 largo

x

ancho

ancho largo

x+3

Como el problema se refiere al área del rectángulo (largo por ancho) escribimos la ecuación

( x + 3)( x) = 28 y resolvemos...

x

Ejemplo 2:

El largo de un rectángulo es 3 cm más que el ancho. Halla las dimensiones del rectángulo si el área es 28 cm2.

( x + 3)( x) = 28

x+3 largo

x + 3 x = 28 2

x

ancho

ancho

x

largo

x + 3 x + −28 = 0 2

x+3

( x + 7)( x + −4) = 0 x+7 =0 x = −7

x + −4 = 0 x=4

En este caso tenemos que eliminar -7, por que no existen medidas negativas.

Ejemplo 2:

El largo de un rectángulo es 3 cm más que el ancho. Halla las dimensiones del rectángulo si el área es 28 cm2.

Como x = 4 , sustituimos en nuestro dibujo y verificamos que el área sea 28 cm2 como dice el problema original. Finalmente concluimos que: Las dimensiones del rectángulo son 4 cm de ancho y 7 cm de largo.

x+3 largo

x

ancho

ancho largo

x x=4

x+3 4+3=7

A=l·a = (7 cm) (4 cm) = 28 cm2

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Ejercicios de práctica 1. Halla dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 145. 2. Halla dos números impares sucesivos tales que la suma de sus cuadrados sea 100. 3. Halla dos números pares sucesivos tales que la diferencia de sus cuadrados sea 36.

Ejercicios de práctica 1. Halla dos enteros sucesivos cuyo producto sea 210. 2. El cuadrado de un número es 7 unidades mayor que seis veces el números. ¿Cuál es el números? 3. El cuadrado de un número es 9 unidades menor que diez veces el número. ¿Cuál es el número?

Ejercicios de práctica 



El ancho de un rectángulo es 5 cm menos que el largo. El área del rectángulo es 84 cm2. Halla las dimensiones del rectángulo. El largo de un rectángulo es 5 cm mayor que el ancho y el área es 84 cm2. Halla sus dimensiones.

USO DE LA FACTORIZACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (Parte 1)

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