Solucion Ecuacion Estado

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO Definiciones ! Variables de estado: es el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema (x1, x2, …, xn). ! Orden del sistema n: es el menor número de variables de estado necesario para su descripción. ! Vector de estado: vector n-dimensional cuyas componentes son las variables de estado. ! Espacio de estado: espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados representan los valores numéricos de las variables de estado x1, x2, …, xn. Los modelos en espacio de estado describen el comportamiento del sistema para cualquier t ≥ t 0 conocidos el vector de estado en el instante inicial ( t = t 0 ) y las entradas al sistema para t ≥ t 0 .

u1 (t ) u2 (t )

y1 (t ) y2 (t )

SISTEMA

M

x1 (t ), x 2 (t ), ..., xn (t )

u p (t )

M y m (t )

Su descripción matemática no es única, y se presenta en forma de n ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden combinarse en una ecuación diferencial vectorial-matricial de primer orden.

x& i (t ) = f i ( x1 (t ),..., x n (t ); u1 (t ),..., u p (t ); t )

i = 1...n

(1)

y j (t ) = g j ( x1 (t ),..., x n (t ); u1 (t ),..., u p (t ); t )

j = 1...m

(2)

x& (t ) = f (x(t ), u(t ), t )

(3)

y (t ) = g (x(t ), u(t ), t )

(4)

Solución de la ecuación de estado lineal homogenea invariante en el tiempo La ecuación de estado para modelo lineal invariante en el tiempo es:

x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u(t )

(5)

La solución de la ecuación homogénea es la solución de la siguiente expresión,

x& (t ) = A ⋅ x(t )

(6)

que puede escribirse como una serie infinita con coeficientes indeterminados

x(t ) = Φ (t ) ⋅ x(0) = (I + C1 ⋅ t + C 2 ⋅ t 2 + ... + C n ⋅ t n + ...) ⋅ x(0)

(7)

donde Φ (t ) es la denominada matriz de transición estado. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial (6) e igualando los términos de igual potencia, pueden calcularse las matrices desconocidas:

(C 1 + 2C 2 t + ... + nC n t n−1 + ...) ⋅ x(0) = ( A + AC1t + ... + AC n t n + ...) ⋅ x(0)

(8)

C1 = A 1 1 AC1 = A 2 2 2 1 1 C 3 = AC 2 = A3 3 3⋅ 2 M

C2 =

Cn =

(9)

1 n A n!

Por lo tanto, para movimiento libre, la evolución temporal del vector de estado a partir de su valor inicial puede calcularse a partir de la siguiente serie infinita:

x(t ) = e At ⋅ x(0) = (I + At +

1 2 2 1 3 3 1 A t + A t + ... + A n t n + ...) ⋅ x(0) 2! 3! n!

(10)

La matriz e At es la matriz de transición de estado para el caso particular de sistema lineal estacionario en movimiento libre. Se denomina matriz exponencial por la similitud que tiene con la expansión en serie de una función exponencial escalar, que puede considerarse como un caso particular unidimensional de la matriz exponencial. Propiedades de la matriz exponencial

& (t ) = A ⋅ Φ(t ) . a) Φ Se puede probar que la matriz exponencial de una matriz A de nxn converge para todo valor finito de t. Por ello se puede diferenciar la serie término a término:

2 3 d At n e = A + A 2 t + A 3t 2 + ... + A n t n −1 + ... = 2! 3! dt n! 1 1   = A ⋅  I + At + A 2 t 2 + ... + A n t n + ... = A ⋅ e At = e At ⋅ A 2! n!  

(11)

b) Φ (t + s ) = Φ (t ) ⋅ Φ ( s )

 ∞ A k ⋅ t k  ∞ A k ⋅ s k   ∑  = Φ(t ) ⋅ Φ ( s ) = e At ⋅ e As =  ∑ k ! k ! = = 0 0 k k    1 1 1 1    =  I + At + A 2 t 2 + ... + A n t n + ... I + As + A 2 s 2 + ... + A n s n + ... = 2! 2! n! n!    (12) 1  1 1 1  1 1 = I + A(t + s ) + A 2  t 2 + ts + s 2  + A 3  t 3 + t 2 s + ts 2 + s 3  + ... = 2!  2! 2! 3!   3!  2! ∞

= ∑A k =0

k

(t + s )k k!

= e A (t + s ) = Φ (t + s )

c) Φ −1 (t ) = Φ (−t ) Es un caso particular del anterior ( s = −t )

Φ(t − t ) = Φ(t ) ⋅ Φ (−t )

Φ(−t ) = Φ −1 (t )

⇒

(13)

d) Φ (t ) ⋅ Φ (τ ) = Φ (τ ) ⋅ Φ (t ) (Propiedad conmutativa) Es un caso particular del anterior

Φ(t ) ⋅ Φ (τ ) = Φ (t + τ ) = Φ (τ + t ) = Φ(τ ) ⋅ Φ (t )

(14)

Solución completa de la ecuación de estado lineal para sistema estacionario La solución de la ecuación diferencial (5) es la solución de la ecuación homogenea xh(t) más una solución particular de la completa xp(t). La solución homogenea es:

x h (t ) = Φ (t ) ⋅ x(0) = e At ⋅ x(0)

(15)

Para calcular la solución particular xp(t), se prueba una solución del tipo

x p (t ) = Φ (t ) ⋅ p(t ) = e At ⋅ p(t )

(16)

donde p(t ) es un vector desconocido tal que p(t 0 ) = 0 .

& (t ) ⋅ p(t ) + Φ (t ) ⋅ p& (t ) = A ⋅ Φ(t ) ⋅ p(t ) + Φ(t ) ⋅ p& (t ) = x& p (t ) = Φ = A ⋅ x p (t ) + Φ(t ) ⋅ p& (t )

(17)

Sustituyendo el valor de x& p (t ) en la ecuación diferencial completa (5)

x& p (t ) = A ⋅ x p (t ) + B ⋅ u(t )

(18)

A ⋅ x p (t ) + Φ(t ) ⋅ p& (t ) = A ⋅ x p (t ) + B ⋅ u(t )

(19)

p& (t ) = Φ −1 (t ) ⋅ B ⋅ u(t )

(20)

t

p(t ) = ∫ Φ −1 (τ ) ⋅ B ⋅ u(τ ) dτ

(21)

0

Por lo tanto, la solución particular es t

t

x p = Φ(t ) ⋅ ∫ Φ −1 (τ ) ⋅ B ⋅ u(τ ) dτ = ∫ Φ(t − τ ) ⋅ B ⋅ u(τ ) dτ 0

(22)

0

y la solución completa de la ecuación de estado es t

x(t ) = Φ (t ) ⋅ x(0) + ∫ Φ (t − τ ) ⋅ B ⋅ u(τ ) dτ 0

(23)

Solución de la ecuación de estado por transformada de Laplace La ecuación de estado para modelo lineal invariante en el tiempo es:

x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ u(t )

(5)

Tomando transformadas de Laplace

s X ( s ) − x ( 0) = A ⋅ X ( s ) + B ⋅ U ( s )

(24)

(sI − A ) ⋅ X(s) = x(0) + B ⋅ U(s)

(25)

X ( s ) = ( s I − A ) ⋅ x ( 0) + ( s I − A ) ⋅ B ⋅ U ( s ) −1

−1

(26)

Tomando transformadas inversas, se obtiene la resolución de la ecuación de estado, equivalente a la Ec. 23.

{

x(t ) = L-1 (sI − A )

−1

}⋅ x(0) + L {(sI − A ) -1

−1

}

⋅ B ⋅ U( s)

(27)

Esta expresión tiene la ventaja de no utilizar series infinitas, por lo que se le denomina solución cerrada de la ecuación de estado. La solución de la ecuación de estado debe ser la misma por cualquier método. Por tanto, identificando expresiones entre las Ec. 23 y 27

{

Φ(t ) = e At = L-1 (sI − A )

−1

}

(28)

Esta ecuación proporciona una evaluación directa de la matriz exponencial. La matriz (sI − A ) es de gran interés para evaluar las características dinámicas del sistema. La ecuación característica del sistema es

sI − A = 0

(29)

y sus raíces, que son los polos de la función de transferencia compleja o valores propios de la matriz, tienen un papel primordial en la descripción matemática del sistema dinámico: -

En el caso más simple, cuando los valores propios pi (i=1…n) son todos reales y distintos, en los elementos de la matriz de transición de estado Φ (t ) aparecen p t

términos exponenciales del tipo e i . Esta suma de términos exponenciales corresponde a la solución de una ecuación diferencial lineal de orden n. -

Para el caso de raíces repetidas, los modos que aparecen incorporan términos del tipo e

-

pi t

, t ⋅e

pi t

,

t k −1 ⋅ e pi t t 2 ⋅ e pi t , …, donde k es la multiplicidad de la raíz. (k − 1)! 2!

Cuando aparecen parejas de polos complejos conjugados del tipo pi = −σ ± jω su modo correspondiente incorpora términos oscilatorios del tipo e −σt sin(ωt + ϕ ) .