Metode Numerik - Metode Euler

TUGAS MATA KULIAH

METODE NUMERIK

Disusun Oleh : Fajrin Siddiq 0310610029 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN SIPIL - MALANG 2005

Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 1. Hitung y1 sampai dengan y 5 dengan h = 0.09 untuk persamaan berikut : y ' =x +y

Penyelesaian : ♦ Metode Euler : y' = x + y dy = x+ y dx dy y= −x dx y = e x − x − 1 (Solusi Eksak) n

xn 0 1 2 3 4

0 0.09 0.18 0.27 0.36

yn 0 0 0.0081 0.025029 0.051582

0,09(xn + yn) 0 0.0081 0.016929 0.02655261 0.037042345

Solusi Eksak 0 0.004174284 0.017217363 0.039964451 0.073329415

Metode Euler 0.06

Yn

0.04 0.02 0 -0.02 0

0.1

0.2 Xn

0.3

0.4

Error 0 0.004174 0.009117 0.014935 0.021748

♦ Metode Euler yang disempurnakan : 1 y n +1 = y n + (k1 + k 2 ) dengan : 2 k1 = hf ( x n + y n ) k1 = 0.09( x n + y n ) k 2 = hf ( x n +1 , y n + k1 )

k 2 = 0.09[ x n + 0.09 + y n + 0.09( x n + y n )] 1 [ 0.09( xn + y n ) + 0.09( xn + 0.09 + y n + 0.09( xn + y n ) ) ] 2 = y n + 0.045[ ( x n + y n ) + ( x n + 0.09 + y n + 0.09( x n + y n )]

y n +1 = y n + y n +1

y n +1 = y n + 0.045[ 2.09( x n + y n ) + 0.09]

y n +1 = y n + 0.09405( x n + y n ) + 0.00405

xn 0 1 2 3 4

0 0.09 0.18 0.27 0.36

yn 0 0.00405 0.020995 0.064944 0.16544

yn+1 =yn + 0.09405(xn+yn) + 0.00405 0.00405 0.016945403 0.04394902 0.100495946 0.218908035

Nilai Eksak 0 0.00417428 0.01721736 0.03996445 0.07332941

Metode Euler Yang Disempurnakan

Yn

n

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

0.1

0.2 Xn

0.3

0.4

Error 0 0.000124 -0.00378 -0.02498 -0.09211