Makalah Metode Numerik Unhas.docx

MAKALAH EIGENVALUE & EIGENVEKTOR METODE NUMERIK

Oleh M. Yogi Fahrezi

(D411 15 007)

Wahyudi

(D411 15 011)

Aryawansa

(D411 16 317)

Nurul Khaerunnisa H.

(D411 16 513)

Muh. Waiz Al Karni J.

(D411 16 517)

Muh. Rafiud Priatna Y.

(D411 16 519)

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS HASANUDDIN GOWA 2018

Kata Pengantar Rasa syukur Kami panjatkan kehadirat Allah SWT dengan rahmat dan hidayahNya Kami dapat menyelesaikan makalah ini,untuk memenuhi tugas matakuliah Metode Numerik Semoga dengan tersusunya makalah ini dapat berguna bagi Kami dalam memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik .Dan dengan tersusunya Makalah ini di harapkan Juga bisa menjadi pedoman bagi yang membaca. Dalam penyusunan makalah ini kami sebagai penuilis telah berusaha dengan segenap kemampuan,sebagai pemula tentunya masih banyak kekurangan dan kesalahan.oleh karena itu,kritik dan saran bagi yang membaca makalah ini,Kami butuhkan agar makalah ini menjadi lebih baik dan di gunakan sebagai mana fungsinya.

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riil yang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Pada umumnya perumusan model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari penyelesaiannya. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawab yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang eksak sebesar suatu nilai yang merupakan galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasil perhitungan dengan metode numerik cukup dapat memberikan solusi pada persoalan yang dihadapi. Salah satu penerapan dari metode numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks. Cara yang digunakan dalam metode numerik ini termasuk unik karena dalam penyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja, dalam penghitungannya tidak cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukan berulang-ulang sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya. Nilai eigen banyak digunakan untuk mendapatkan solusi berbagai bidang. Karena permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya, maka berbagai metode yang digunakan untuk menemukan nilai eigen menjadi penting untuk dipelajari. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks, salah satunya yaitu metode pangkat. Biasanya jika suatu matriks A berukuran m X m dan x suatu vektor pada Rm, tidak ada hubungan antara vektor x dan vektor Ax. Tetapi seringkali kita menemukan suatu vektor tak nol x tertentu sedemikian hingga x dan Ax merupakan pergandaan satu sama lain dan berlaku Ax=λx dengan A matrik berukuran m X m dan λ suatu skalar. Kejadian inilah yang dinamakan nilai eigen dan vektor eigen (eigenvalue dan eigenvektor) dan merupakan kejadian yang sering dijumpai dalam matriks. Eigenvalue dan eigenvektor secara implisit dinyatakan sebagai fungsi elemen-elemen dari sebuah matriks bujur sangkar (square matrix). Pada banyak aplikasi yang mengikutsertakan analisa matriks bujur sangkar, informasi kunci dari analisa didapatkan dari eigenvalue dan eigenvektor ini. Sebagai contoh dalam penentuan penguraian nilai singular dan penguraian spektral, dimana aplikasi ini banyak dipakai dalam pemodelan.

Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metode pangkat, akan memerlukan proses iterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang dilakukan, maka semakin baik hasil yang diperoleh. Meskipun metode pangkat bisa digunakan untuk mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen dari matriks, akan sulit untuk mengaproksimasi nilai eigen keseluruhan dari matriks tersebut. Oleh sebab itu, diperlukan metode deflasi berturut-turut untuk menemukannya.

1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah dari makalah ini adalah: 1. Bagaimana menyelesaikan persoalan nilai eigen dan vektor eigen? 2. Bagaimana aplikasi matlab menyelesaikan persoalan nilai eigen dan vector eigen? 1.3 Tujuan Adapun tujuan dalam makalah ini adalah 1. Mampu menyelesaikan persoalan nilai dan vektor eigen 2. Mampu membuat aplikasi matlab dalam menyelesaikan persoalan nilai dan vekor eigen.

BAB II PEMBAHASAN 2.1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matrik, secara sederhana nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vector. Pada setiap matrik A, mxm, terdapat satu set vector yang disebut vector eigen dan satu set skalar yang disebut nilai eigen. Dalam hal ini x disebut vector eigen dari matrik A mxm vector tidak nol dan λ adalah suatu skalar (yang mungkin nol nilainya), sehingga jika A adalah matriks m x m, maka setiap skalar λ memenuhi persamaan. Ax 

(1)

untuk m  1 vektor x  0, disebut eigenvalue dari A. Vektor x disebut eigenvector dari A yang berhubungan dengan eigenvalue , dan persamaan (1) diatas disebut persamaan eigenvalue-eigenvektor A. Kadang-kadang eigenvalue dan eigenvector juga dinyatakan sebagai (latents root and vectors) atau karekteristik roots dan vektor. Persamaan (1) dapat juga dituliskan sebagai ( A-I )x 0

(2)

Setiap nilai eigenvalue  harus memenuhi persamaan determinan, ( A-I )x = 0

(3)

yang dikenal sebagai persamaan karakteristik A. Dengan menggunakan definisi suatu determinan, kita bisa mengamati bahwa persamaan karakteristik adalah sebuah polinomial derajat ke-m dalam . Karena itu, skalar 0, …, m – 1 seperti halnya persamaan karakteristik diatas dapat juga dinyatakan sebagai

Karena polinomial derajat m memiliki m (roots), berarti suatu matriks mm memiliki m eigenvalue, karena itu terdapat m skalar 1, …, m yang memenuhi persamaan karakteristik. Apabila semua eigenvalue A adalah real, kadang-kadang kita jumpai eigenvalue terbesar ke-i matriks A sebagai i(A). Dengan kata lain eigenvA 1(A) m(A). Persamaan karakteristik dapat digunakan untuk mencari eigenvalue matriks A. Kemudian dapat juga digunakan dalam persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk mencari eigenvektor. Dari eigenvektor yang telah diperoleh, dalam bebarapa penerapan, seperti penguraian nilai singular dan spektral, yang digunakan adalah eigenvektor ternormalisasi. Eigenvektor ternormalisasi adalah eigenvektor dimana

tiap-tiap elemen dibagi dengan panjang vektor tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh: Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berukuran 3×3 sebagai berikut.

Jawab: Dengan menggunkan definisi 5.3, persamaan karakteristik A adalah,

Jadi, dari hasil di atas diperoleh tiga eigenvalue A, yaitu : λ1=5 , λ 2= 2 dan λ 3=1Untuk mendapatkan eigenvector A yang bersesuaian dengan λ 1 = 5, kita harus menyelesaikan persamaan Ax=5x, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,

Yang ekuivalen dengan persamaan-persamaan:

atau

Dari persamaan (a), misal jika kita ambil x2 = 1 maka x3 = 1, sehingga dengan persamaan (c) diperoleh dan x1 = 1. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan  = 5 adalah x = (1, 1, 1)T. Dari persamaan x2 = x3 dan x1 = x2 , anda dapat mengambil sembarang x2 yang lain, pasti akan memenuhi persamaan tersebut. Dari hal ini dapat dikatakan bahwa eigenvektor tidak tunggal.

Dengan cara yang sama, sekarang untuk λ2 = 2, kita harus menyelesaikan persamaan Ax=2x, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,

Dari persamaan diatas kita peroleh:

Akan terpenuhi jika x1 = 1, x2 = 1 maka x3 = 0. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan λ2 = 2 adalah x = (1, 1, 0)T. Dan untuk λ3 = 1, kita harus menyelesaikan persamaan Ax=x, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,

Dari persamaan diatas kita peroleh:

Akan terpenuhi jika x1 = 0, x2 = 1 maka x3 = 1 . Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan λ3 = 1 adalah x = (0, 1, 1)T. Dari ketiga eigenvektor tersebut kita dapatkan eigenvektor yang ternormalisasi: Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan λ1 = 5 adalah: Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan λ2 = 2 adalah: Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan λ3 = 1 adalah:

Sehinga eigenvektor yang ternormalisasi yang berhubungan dengan eigenvalue 5,2,1.

Eigenvektor ternormalisasi akan tunggal, kecuali untuk tandanya saja, sehingga nilai eigenvektor tersebut kita kalikan dengan -1 juga merupakan eigenvektor yang lain. Eigenvalue dan eigenvektor mempunyai interpretasi geometri yang sederhana, misalnya jika λ merupakan eigenvalue dari matriks A yang bersesuaian dengan eigenvektor x. Vektor Ax merupakan perkalian skalar dari x dengan eigenvalue nya, sehingga panjang dari vektor ||Ax|| = ± λ ||x||. Tanda plus minus tergantung kepada tanda dari λ.

Contoh 2: Dari matriks segitiga atas, tentukan eigenvalue dan eigenvektornya

Jawab: Dengan mengingat bahwa determinan dari matriks segitiga adalah perkalian diagonal utama maka kita dapatkan:

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah: dan diperoleh eigenvalue-nya adalah: yang merupakan elemen-elemen diagonal utama dari A. Teorema 1: Jika A adalah suatu matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah atau matriks diagonal) berukuran m x m, maka eigenvalue dari A adalah elemen-elemen diagonal utama dari A.

Contoh 3: Tentukan eigenvalue dan eigenvektornya dari matriks berikut:

Jawab: Berdasarkan teorema 1 diatas, dengan mudah dapat kita tentukan eigenvalue dari matriks A yaitu Pada prakteknya eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks tidak selalu bernilai real, kadang suatu matriks mempunyai eigenvalue dan eigenvektor bilangan komplek. Perhatikan contoh berikut: Contoh 4: Perhatikan pada matriks 2 × 2 berikut,

Tentukan persamaan karekteristik, dan tentukan eigenvaluenya. Jawab: Dengan definisi 3, persamaan karakteristik matriks A dapat ditentukan:

Sehingga eigenvalue dari A adalah Untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan λ = i, kita tentukan Untuk mendpatkan nilai y1,z1, y2, z2 kita gunakan persamaan Ax=ix. Demikian juga untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan λ=-i, kita tentukan x=(x1,x2)T= (y1 - iz1, y2 - iz2)T. Untuk mendapatkan nilai y1,z1, y2, z2 kita gunakan persamaan Ax=-ix. Untuk mendapatkan eigenvektor, lakukan sebagai latihan. Dalam prakteknya, untuk menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks yang berukuran besar (4x4 atau lebih), tentulah bukan hal yang mudah. Perhatikanlah contoh berikut:

Contoh 5: Tentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berikut:

Jawab: Dengan menggunakan bantuan paket program Matlab, untuk menyelsaikan matriks diatas, langkah pertama adalah memasukkan nilai dari matriks A sebagai berikut:

Inilah bentuk matriks A Untuk mendapatkan persamaan karakteristik dari matriks A, lakukan perintah sebagai beikut:

Dari hasil diatas ekivalen dengan bentuk persamaan: Untuk mendapatkan eigenvalue, lakukan perintah sebagai berikut:

Jadi eigenvalue dari matriks A adalah 4, 4 ,1.7321i dan - 1.7321i Nampak bahwa matriks A mempunyai eigen velue bilangan kompleks

Untuk mendapatkan nilai eigenvektor, yang bersesuaian dengan eigen veluen, lakukan perintah

dimana V berisikan eigenvektor ternormalisasi dari matriks A dan D adalah matriks Diagonal dengan elemen diagonal adalah eigenvalue yang bersesuaian dengan eigen vector -

Kolom pertama matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue 4,

-

Kolom kedua matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue 4

-

Kolom ketiga matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue 1.7321i

-

Kolom keempat matriks V merupakan eigenvektor ternormalisasi yang bersesuaian dengan eigenvalue - 1.7321i

Untuk matriks yang sederhanapun anda dapat menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dengan program Matlab. Coba anda kerjakan kembali contoh 6.1 sampai dengan contoh 6.44, dengan menggunakan bantuan program Matlab, bandingkan hasilnya dengan penghitungan manual. Dalam beberapa kondisi, kita menginginkan bekerja dengan himpunan semua eigenvektor yang dihubungkan dengan suatu eigenvalue. Kumpulan semua eigenvektor SA(λ) yang berhubungan dengan eigenvalue λ tertentu, disebut ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan λ. Dimana SA(λ)={x:xϵ Rm dan Ax = λx} Teorema 2: Jika SA(λ) adalah ruang eigen dari matriks A berukuran m x m yang bersesuaian dengan λ maka SA(λ) adalah sub ruang vektor dari Rm. Bukti: ngan menggunakan definisi : jika xϵ SA(λ), maka Ax = λx. Maka jika xϵ SA(λ), dan y ϵ SA(λ), maka untuk skalar α dan β berlaku:

Akibatnya (αx+βy) ϵ SA(λ) dan SA(λ) merupakan ruang vektor.

BAB III PENUTUP 3.1. Kesimpulan Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det(λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik. Jika A adalah suatu matriks n n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen: 1. λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. 2. Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial). 3. Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian sehingga Ax = λx. ) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I–A)= 0 4. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear (λ I – A) x = 0 atau (A - λ I) x = 0 dinamakan ruang eigen dari matriks A yang berukuran n. Nilai eigen pada umumnya memberikan cara mudah untuk mendapatkan solusi berbagai bidang keilmuan. Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, sehingga bisa dikatakan metode dalam menemukan nilai eigen merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang bisa digunakan untuk membantu mempermudah kehidupan sehari-hari. Dalam bidang fisika, aplikasi nilai eigen antara lain pada kasus struktur melengkungnya batang (mencari beban kritis pada ujung salah satu batang yang jika dilampaui menyebabkan batang patah) dan pada campuran (menentukan jumlah zat dalam suatu pencampuran pada waktu t). Dengan ditemukannya nilai eigen dan aplikasinya, banyak permasalahan dalam praktek sehari-hari yang menjadi lebih mudah. Dengan demikian, metode untuk mencari nilai eigen merupakan ilmu pengetahuan yang merupakan sarana untuk mencapai kemudahan.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., 1987, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York Basilevsky, A., 1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, Elsevier Sciences Publ. Co. Inc. Erwin, Kreyszig, 2011, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition, John Wiley & Son, New York. Shchoot, J.R., Matrix Analysis for Statistics, John Wiley, New York. Triwiyatno, Aris. “Eigenvector dan Eigenvalue”. http://aristriwiyatno.blog.undip.ac.id/files/2012/09/Linear-Algebra.pdf (di akses pada 25 Februari 2019, 21:20)