Metode Numerik 1

STMIK WIDYADHARMA JURUSAN TEKNIK PERANGKAT LUNAK

TIKK 412

METODE NUMERIK NURI SIMARONA, ST

MATERI PERKULIAHAN:  SISTEM PERSAMAAN 

PENDAHULUAN METODE NUMERIK

 Pengertian Metode

Numerik  Pendekatan dan Kesalahan 

AKAR-AKAR PERSAMAAN

    

Metode Metode Metode Metode Metode

Biseksi Regula Falsi Secant Iterasi Titik Tetap Newton – Raphson

LINIER SIMULTAN  Eliminasi Gauss  Gauss-Jordan.  Iterasi Gauss-Seidel

 PENCOCOKAN KURVA  Regresi Kuadrat Terkecil  Interpolasi

 INTEGRASI NUMERIK

 Integrasi Newton-Cotes  Integrasi Kuadratur Gauss

 Persamaan Diferensial  Metode Satu Langkah NURI SIMARONA, ST

Referensi:  Chapra Steven C., Canale Raymond

P., Metode Numerik Untuk Teknik: Dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, penerjemah: S. Sardy dan pendamping: Lamyarni I.S., Cetakan 1, Universitas Indonesia (UIPress), Jakarta, 1991  Steven E. Pav., Numerical Methods Course Notes Version 0.11 (UCSD Math 174, Fall 2004), Department of Mathematics, MC0112, University of California at San Diego, La Jolla, CA NURI SIMARONA, ST

Pendahuluan Metode Numerik adalah suatu metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah matematika melalui pengoperasian aritmatika secara iteratif. Manfaat Metode Numerik  Sanggup menangani sistem persamaan yang besar, tidak linier serta geometri rumit yang tidak biasa terjadi dalam praktek keteknikan dan sering kali tidak memungkinkan untuk diselesaikan secara analitis.  Dasar pengetahuan untuk menggunakan program aplikasi komputer yang mencakup metode numerik.  Mengoptimalkan penggunaan kalkulator (prakomputer) dan komputer (pemrograman) dalam mencari solusi permasalahan matematika yang rumit.  Pemahaman tentang pengendalian kesalahan pendekatan dalam kalkulasi numerik. NURI SIMARONA, ST

Angka Signifikan Angka-angka atau digit berarti yang dapat digunakan dengan meyakinkan dan dapat diandalkan. Misal: 0,00144 ( 3 angka signifikan) 0,0010408 (5 angka signifikan) 12,500 (3 atau 5 angka signifikan ?) 1,26 x 105 (3 angka signifikan) 1,260 x 104 (4 angka signifikan) 1,2600 x 104 (5 angka signifikan)

NURI SIMARONA, ST

Dua implikasi penting angka signifikan dalam metode Angka signifikan akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa ke y a k i n a n k i t a mengenai hasil-hasil pendekatan dalam metode numerik

Angka signifikan memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa untuk besaran spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak karena ke t e r b a t a s a n j u m l a h digit yang mampu d i s i m p a n ko m p u t e r NURI SIMARONA, ST

Akurasi dan Presisi Presisi

Akurasi : dekatnya sebuah

Ø Jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran. Ø Penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat yang mengukur suatu perilaku fisik tertentu.

angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yang hendak dinyatakan.

Inakurasi (bias) : Simpangan sistematis dari kebenaran.

Kesalahan komputasi numerik terjadi jika tidak akurat dan tidak presisi dalam melakukan taksiran. NURI SIMARONA, ST

KESALAHAN (GALAT atau ERROR)

Kesalahan numerik timbul dari penggunaan pendekatan (aproksimasi) untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang pasti.

Ada 3 macam kesalahan dasar 3.Kesalahan bawaan (inheren) 4.Kesalahan pemotongan (Truncation Error) 5.Kesalahan pembulatan (Round-off Error)

NURI SIMARONA, ST

Kesalahan bawaan (Inheren) Te r j a d i akibat ke ke l i r u a n dalam m e n y a l i n d a t a , s a l a h m e m b a c a s ka l a atau ke s a l a h a n ka re n a ku r a n g n y a pengertian mengenai h u ku m - h u ku m f i s i k d a r i d a t a y a n g d i u ku r.

Kesalahan Pemotongan (Truncation Error) Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik

Kesalahan Pembulatan (Round-off Error) Akibat pembulatan angka  Komputer hanya menyimpan sejumlah

tertentu angka signifikan selama kalkulasi. NURI SIMARONA, ST

Penyelesaian secara numerik suatu persamaan matematis hanya memberikan aproksimasi yang mendekati harga eksak (sebenarnya/pasti) dari penyelesaian analitis. Hubungan harga eksak dan aproksimasi:

Harga eksak = aproksimasi + Kesalahan Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi, sehingga

Et = Harga eksak – aproksimasi Dimana, Et = kesalahan mutlak NURI SIMARONA, ST

Definisi kesalahan mutlak memiliki kelemahan karena tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, misalnya kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang sekrup dari pada pengukuran panjang jembatan. Normalisasi kesalahan terhadap harga eksak, He digunakan kesalahan relatif, yaitu

Kesalahan mutlak Kesalahan relatif = Harga eksak

=

Kesalahan relatif dapat dikalikan dengan100% sehingga didefinisikan sebagai Persentase kesalahan relatif, εt,

NURI SIMARONA, ST

Alternatif yang selalu dipakai dalam menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu Kesalahan aproksimasi εa = x 100% aproksimasi Dimana: εa = Persentase kesalahan harga aproksimasi. NURI SIMARONA, ST

Dengan persamaan εa kita menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga eksak. Dalam metode numerik tertentu digunakan pendekatan iterasi untuk meminimalkan kesalahan, jadi suatu aproksimasi yang baru dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya, yaitu: aproksimasi baru – aproksimasi lama εa = x 100% aproksimasi baru NURI SIMARONA, ST

Dalam komputasi persentase kesalahan dilakukan secara berulang hingga memenuhi:

εs = ( 0,5 x 10 2 - n )% Dengan memperhatikan jumlah angka signifikan pada aproksimasi, maka ada jaminan bahwa hasilnya adalah benar hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan. NURI SIMARONA, ST

Soal: 1.

Berapa jumlah angka signifikan disetiap bilangan berikut? a. 84,0 c. 70,0 e. 0,00460 b. 70 d. 0,04600 f. 8,0 x 103

2.

Bulatkan bilangan-bilangan berikut sampai tiga angka signifikan.

3.

c.8,755

c. 0,368124 x 102

d.4.225,0002

d. 5,445 x 103

e. 0,999500

Lakukan operasi hitung berikut dan tuliskan hasilnya dalam jumlah angka signifikan yang benar. a. 0,00423 + (25,1 x 10-3) + (10,322 x 10-2) b. (7,7 x 10-5) – (5,409 x 10-6) + (7,0 x 10-4) c. (8,38 x 105) x ( (6,9 x 10-5) d. 87.619 / (0,00871 x 99.999) e. (58,6 (12 x 10-6) – (208 x 10-6) (1,801)) / (468,94 x 10-6)

NURI SIMARONA, ST

4.

Perluasan Deret Maclaurin untuk cos x adalah:

untuk menaksir cos (π/3). Setelah setiap suku baru ditambahkan, hitung persentase kesalahan aproksimasi dan eksak. Gunakan kalkulator untuk menentukan harga eksaknya. Tambahkan suku-suku sampai harga mutlak dari taksiran kesalahan aproksimasi di bawah kriteria kesalahan untuk memastikan sampai dua angka signifikan.

NURI SIMARONA, ST

AKAR-AKAR AKAR-AKARPERSAMAAN PERSAMAAN vMetode vMetode vMetode vMetode vMetode

Biseksi Regula Falsi Secant Iterasi Titik Tetap Newton – Raphson

NURI SIMARONA, ST

Definisi f(x) Akar : Penentuan Akar : 0

=

0

ü f(x) = 0 mempunyai paling sedikit satu akar dalam interval [a,b] jika: q f(x) kontinyu pada [a,b]. q f(a).f(b) < 0, yaitu f(x) berubah tanda pada [a,b].

NURI SIMARONA, ST

METODE BISECTION The bisection method is a root-finding algorithm which works by repeatedly dividing an interval in half and then selecting the subinterval in which a root exists. Kelebihan: Konvergen, mudah untuk dibuat program, dan tingkat kesalahan kecil. Kekurangan: Konvergensi bersifat linier, menghasilkan satu akar saja dalam perhitungan, dan ambat dalam proses perhitungan. NURI SIMARONA, ST

Algoritma metode Bisection:

1. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka signifikan, εs. 2. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhenti karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. 3. Hitung nilai m = (a+b)/2. 4. Jika l εa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Jika f(a) x f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m. 6. Kembali ke langkah 3.  

NURI SIMARONA, ST

Algoritma metode bagi dua (modifikasi): 2. Tentukan dua titik, misalnya a1 dan b1 dengan a1 < b1 dan kedua nilai fungsi berlainan tanda 3. Tentukan titik tengah c1 dan hitung εs . c1 adalah titik pendekatan awal. 4. Hitung εa 5. hitung f(cn), jika f(cn) = 0 atau εs < lεa l maka stop 6. hitung sn+1 = sn / 2 7. jika f(cn ) < 0, maka cn+1 =cn + sn+1 8. jika f(cn ) > 0, maka cn+1 =cn - sn+1 9. Kembali ke langkah 4 NURI SIMARONA, ST

METODE REGULA FALSI (INTERPOLASI LINIER) Algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan :

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Regula Falsi 2. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka signifikan, εs. 3. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhenti karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. 5. Hitung nilai 7. Jika lεa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 8. Jika f(a).f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m. 9. Kembali ke langkah 3.  

NURI SIMARONA, ST

Contoh: Tentukan akar-akar real dari

(a)Secara grafik (b) Menggunakan tiga iterasi dari metode bagi dua untuk menentukan akar tertinggi. Lakukan tebakan awal dengan xl = 2,9 dan xu = 3,1. Hitung kesalahan taksiran εa dan kesalahan sebenarnya εt setelah setiap iterasi. (c) Menggunakan metode posisi salah dengan εs sesuai dengan tiga angka signifikan untuk menentukan akar terendah. NURI SIMARONA, ST

Solusi dengan metode grafik

NURI SIMARONA, ST

Solusi metode bagi dua dengan tiga iterasi

NURI SIMARONA, ST

Solusi dengan metode regula falsi

NURI SIMARONA, ST

Soal: Tentukan akar real dari ln x = 0,5 (a)Secara grafik (b) Menggunakan tiga iterasi dari metode bagi dua dengan tebakan awal dengan xl = 1 dan xu = 2. Hitung kesalahan taksiran εa dan kesalahan sebenarnya εt setelah setiap iterasi. (c) Menggunakan tiga iterasi metode posisi salah dengan tebakan awal yang serupa pada (b).

NURI SIMARONA, ST

NURI SIMARONA, ST

METODE NEWTON-RAPHSON Newtons method is an iterative method for root finding. That is, starting from some guess at the root, x0 , one iteration of the algorithm produces a number x1 which is supposed to be closer to a root; guesses x2 , x3 , …, xn follow identically.

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Newton-Raphson 1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan 5. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop. 6. Kembali ke langkah 2. Contoh: Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Bisection, Regula falsi dan Newton-Raphson dengan ketelitian 3 angka signifikan.

NURI SIMARONA, ST

Solusi :

f(x) = x4 + 4x3 + 1

Solusi metode bagi dua: Solusi metode posisi salah: Solusi metode Newton_Raphson:

NURI SIMARONA, ST

NURI SIMARONA, ST

NURI SIMARONA, ST

NURI SIMARONA, ST

Review

Metode Secant (modifikasi Metode NewtonRaphson)

Untuk aproksimasi ke-n diperoleh

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Secant 1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan

6. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop. 7. Kembali ke langkah 2. Contoh: Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 3 angka signifikan.

Excel NURI SIMARONA, ST

Metode Titik Tetap (Fixed Point ) jika f(x) = x – g(x) = 0 maka x = g(x) Untuk aproksimasi xn

TI

TIB

NURI SIMARONA, ST

Soal Latihan: Tentukan akar real dari ln x dengan = 0,5 metode Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 2 angka signifikan.

NURI SIMARONA, ST

Solusi Soal Latihan TI B

NURI SIMARONA, ST