Metode Numerik - Nilai Awal

Fajrin Siddiq 0310610029

TUGAS MATA KULIAH

METODE NUMERIK

Disusun Oleh : Fajrin Siddiq 0310610029 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN SIPIL - MALANG 2005

Metode Numerik

Tugas 5

Fajrin Siddiq 0310610029 Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 1. Untuk h = 0,3 hitung y 0 sampai dengan y 5 pada masalah nilai awal berikut : y ii = y 2 − x 2 y (0) = 0 y '(0) = 1 Penyelesaian : Jika xo = 0 dengan h = 0,3 maka x 1 = 0,3 ; x 2 = 0,6 ; x 3 = 0,9 ; .... Dan y0 = 0 → y( 0 ) = 0

y '0 = 1 → y '( 0 ) = 1

y k +1 = y k + hy i k + y k +1 = y k + 0,3 y i k y

i

k +1

=y

i

k

y i k +1 = y i k

h 2 ii h 3 iii y k + y k → k = 0,1,2,3,... 2! 3! (1) + 0,045 y ii k + 0,0045 y iii k

h 2 iii h 3 iv + hy k + y k + y k → k = 0,1,2,3,... 2! 3! ( 2) + 0,3 y ii k + 0,045 y iii k + 0,0045 y iv k ii

Dari persamaan, maka : y ii = y 2 − x 2

(3)

y iii = 2 yy i − 2 x

( 4)

y = 2( y ) + 2 yy − 2 iv

i 2

ii

(5)

Untuk k = 0 maka : y0 = 0

y iii 0 = 2 y 0 y i 0 − 2 x0 = 0

yi0 = 1

y iv 0 = 2( y i 0 ) 2 + 2 y 0 y ii 0 − 2 = 0 2

2

y ii 0 = y 0 − x 0 = 0 i ii iii (1) y1 = y0 + 0,3 y 0 + 0,045 y 0 + 0,0045 y 0 y1 = 0 + 0,3.1 + 0,045.0 + 0,0045.0 = 0,3

i i ii iii iv (2) y 1 = y 0 + 0,3 y 0 + 0,045 y 0 + 0,0045 y 0 y i 1 = 1 + 0,3.0 + 0,045.0 + 0,0045.0 = 1

Metode Numerik

Tugas 5

Fajrin Siddiq 0310610029 Untuk k = 1 maka : y1 = 0,3

y iii1 = 2 y1 y i1 − 2 x1 = 2.0,3.1 − 2.0,3 = 0

y i1 = 1

y iv1 = 2( y i1 ) 2 + 2 y1 y ii1 − 2 = 2(1) 2 + 2.0,3.0 − 2 = 0 2

2

y ii 1 = y1 − x1 = 0,3 2 − 0,3 2 = 0 i ii iii (1) y2 = y1 + 0,3 y 1 + 0,045 y 1 + 0,0045 y 1 y2 = 0,3 + 0,3.1 + 0,045.0 + 0,0045.0 = 0,6

i i ii iii iv (2) y 2 = y 1 + 0,3 y 1 + 0,045 y 1 + 0,0045 y 1 y i 2 = 1 + 0,3.0 + 0,045.0 + 0,0045.0 = 1

Untuk k = 2 maka : y 2 = 0,6 yi2 = 1 2

2

y ii 2 = y 2 − x 2 = 0,6 2 − 0,6 2 = 0

y iii 2 = 2 y 2 y i 2 − 2 x 2 = 2.0,6.1 − 2.0,6 = 0 y iv 2 = 2( y i 2 ) 2 + 2 y 2 y ii 2 − 2 = 2(1) 2 + 2.0,6.0 − 2 = 0 i ii iii (1) y 3 = y 2 + 0,3 y 2 + 0,045 y 2 + 0,0045 y 2 y 3 = 0,6 + 0,3.1 + 0,045.0 + 0,0045.0 = 0,9 i i ii iii iv (2) y 3 = y 2 + 0,3 y 2 + 0,045 y 2 + 0,0045 y 2 y i 3 = 1 + 0,3.0 + 0,045.0 + 0,0045.0 = 1

Untuk k = 3 maka : y 3 = 0,9

y iii 3 = 2 y3 y i 3 − 2 x3 = 2.0,9.1 − 2.0,9 = 0

yi3 = 1

y iv 3 = 2( y i 3 ) 2 + 2 y3 y ii 3 − 2 = 2(1) 2 + 2.0,9.0 = 2 2

2

y ii 3 = y 3 − x3 = 0,9 2 − 0,9 2 = 0 (1)

y4 = y3 + 0,3 y i 3 + 0,045 y ii 3 + 0,0045 y iii 3 y4 = 0,9 + 0,3.1 + 0,045.0 + 0,0045.0 = 1,2

Metode Numerik

Tugas 5

Fajrin Siddiq 0310610029 i i ii iii iv (2) y 4 = y 3 + 0,3 y 3 + 0,045 y 3 + 0,0045 y 3

y i 4 = 1 + 0,3.0 + 0,045.0 + 0,0045.2 = 1,009 Untuk k = 4 maka : y 4 = 1,2 y i 4 = 1,009 2

2

y ii 4 = y 4 − x 4 = 1,2 2 − 1,2 2 = 0

y iii 4 = 2 y 4 y i 4 − 2 x 4 = 2.1,2.1,009 − 2.1,2 = 0,0216 y iv 4 = 2( y i 4 ) 2 + 2 y 4 y ii 4 − 2 = 2(1,009) 2 + 2.1,2.0 = 2,036162 (1)

y 5 = y 4 + 0,3 y i 4 + 0,045 y ii 4 + 0,0045 y iii 4 y 5 = 1,2 + 0,3.1,009 + 0,045.0 + 0,0045.0,0216 = 1,5027972

Dari perhitungan, maka diperoleh hasil sebagai berikut : y0 = 0

y 3 = 0,9

y1 = 0,3

y 4 = 1,2

y2 = 0,6

y 5 = 1,5027972

GRAFIK HASIL PERHITUNGAN NUMERIK 1,6 1,4 1,2 Y

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,5

1

1,5

2

X

Metode Numerik

Tugas 5