Makalah Trigonometri Matematika Yunita Edit A4.docx

Tugas Matematika Minat Kelas XI Semester 1 Kurikulum 2013 Bab 1 Trigonometri

Ditulis oleh :

Nama

: YUNITA NUR APRILIA

Kelas

: XI - MIPA 1

N.absen

: 35

PEMERINTAHAN KOTA PASURUAN DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN KOTA PASURURAN UPT SMA NEGERI 4 PASURUAN JL. Hasanudin no. 76 telp (0343) 422522 Pasuruan Tahun ajaran 2018 – 2019

Trigonometri

Page 1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah, Taufik dan Hinayahnya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan makalah “Trigonometri ” ini dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi saya maupun pembaca.

Harapan saya semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi saya dan para pembaca, sehingga saya dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.. Makalah ini saya akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang saya miliki sangat kurang. Oleh kerena itu saya harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukanmasukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini tidak lupa saya mengucapkan terima kasih kepada Guru mata Pelajaran matematika minat saya yaitu Ibu saida yang sudah membimbing saya , dengan mengajarkan saya tentang trigonometri ini . Tak lupa juga saya ucapkan terimakasih untuk Ibu saya yang telah mendukung sepenuhnya dalam proses pembuatan makalah ini,semoga makalah ini dapat berguna bagi diri saya sendiri dan bagi semua orang aaamiin ya robalallamin

Pasuruan, 20 Agustus 2018

Yunita Nur Aprilia

Trigonometri

Page 2

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ………………………………….

i

DAFTAR ISI …………………………………………....

ii

Bab I Pendahuluan a. Latar belakang ………………………………….....

1

b. Rumusan masalah ………………………………....

1

c. Tujuan penulisan ……………………………….....

1

Bab II Pembahasan a. Pengertian pengertian trigonometri ……………….

2

b. Rumus jumlah dan selisih sudut …………………..

4

c. Rumus sudut rangkap……………….……………..

6

d. Rumus perkalian , jumlah dan selisih fungsi trigonometri

6

e. Cara mengaplikasikan trigonometri …………………

8

Bab III Penutup ………………………………………………

10

DAFTAR PUSTAKA ………………………………….........

11

Trigonometri

Page 3

MAKALAH TRIGONOMETRI MATEMATIKA

BAB I PENDAHULUAN A. TUJUAN Untuk mengetahui dan memahami lebih dalam tentang trigonometri, sehingga dapat menggunakan aplikasi-aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari. B. LATAR BELAKANG Lebih dari 3000 tahun yang lalu pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia serta peradabanLembah Indus adalah awal trigonometri dapat dilacak .Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Sekitar 150 SM matematikawan Yunani Hipparchus menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Dan dilanjutkan oleh Ptolemy yang juga merupakan matematikawan yunani sekitar tahun 100 yang mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Kemudian pada tahun 1595 matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis. Hingga saat ini trigonometri telah digunakan oleh pembuat jalan,pembuat jembatan dan mereka yang menghasilkan bangunan. C.RUMUSAN MASALAH 1. Apa pengertian Trigonometri? 2. Kapan Trigonometri digunakan? 3. Apa fungsi Trigonometri? 4. Apa saja ruang lingkup Trigonometri? 5. Bagaimana cara mengaplikasikan Trigonometri?

Trigonometri

Page 4

BAB II PEMBAHASAN A.

TRIGONOMETRI

PENGERTIAN Trigonometri Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsiTrigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen. Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi. Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku, maka definisinya adalah sebagai berikut:

SEJARAH TRIGONOMETRI Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India. Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Trigonometri

Page 5

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis. Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi. Ukuran Sudut Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal. Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif. Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah. Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan:  Sin = sinus  Cos = cosinus  Tan/Tg = tangens  Sec = secans  Cosec/Csc = cosecans  Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut dapat diperoleh: (sec merupakan kebalikan dari cos, csc merupakan kebalikan dari sin, dan cot merupakan kebalikan dari tan) Sudut Istimewa :

Trigonometri

Page 6

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa Identitas Trigonometri Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagoras yang masingmasing memiliki fungsi dasar, yaitu: Identitas Kebalikan

Identitas Perbandingan

Identitas Phytagoras

Cosec A = 1/ sin A Sec A = 1/cos A Cot A = 1/ tan A

Tan A = Sin A/ Cos A Cot A = Cos A / Sin A

Cos2 A + Sin2 A = 1 1 + tan2 A = Sec2 A 1 + Cot2 A = Cosec2 A

Kuadran Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar:

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a (k = bilangan bulat > 0) Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip  Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah: sin ↔ cos tan ↔ cot sec ↔ csc  Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap Sudut dengan nilai negatif Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV Contoh:  Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif)  Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2  Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)  Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2

Trigonometri

Page 7

Identitas Trigonometri Sehingga, secara umum, berlaku: 1. sin2a + cos2a = 1 2. 1 + tan2a = sec2a 3. 1 + cot2a = csc2a

Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c 1. Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k 2. Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A| 3. Amplitudo = ½ (ymax – ymin) 4. Cara menggambar: 1. Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas 2. Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya 3. Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A 4. Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k Untuk kx – b → grafik digeser ke kanan sejauh b/k 5. Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c Untuk – c → grafik digeser ke bawah sejauh c

Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

Trigonometri

Page 8

B. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT Dari gambar segitiga ABC berikut: AD = b.sin α BD = a.sin β CD = a.cos β = b.cos α Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))° Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

C. RUMUS SUDUT RANGKAP Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Trigonometri

Page 9

D. RUMUS PERKALIAN, JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI SINUS DAN KOSINUS Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut: Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh: Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus • 2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B) • 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B) • 2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B) • 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B) Contoh Soal Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15° Jawab: 2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)° = cos 90° + cos 60° =0+½ =½

Trigonometri

Page 10

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI SINUS DAN KOSINUS Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus. Maka akan diperoleh rumus-rumus: Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus • sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B) • sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B) • cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B) • cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B) • tan A – tan B = Contoh Soal Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15° jawab: sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)° = 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)° = sin 60° cos 45° Rumus Rumus Lain dari Trigonometri

Trigonometri

Page 11

E. Cara Mengaplikasikan Trigonometri didalam kehidupan sehari hari Dalam kehidupan sehari – hari kita sering melihat seorang sedang mengukur jalan yang akan diperbaiki ataupun gedung bertingkat yang sedang dibangun. Para arsitek tersebut bekerja dengan menggunakan perbandingan trigonometri. Trigonometri menemukan penggunaannya yang sempurna pada Arsitektur modern. Kurvakurva nan indah pada permukaan baja, bebatuan, kayu, dan lain-lain dapat diwujudkan karena potensi yang besar dari ilmu ini. Teknologi pencitraan dari komputer dapat digunakan dalam dunia kedokteran secara luar biasa untuk menemukan sumber beberapa penyakit ganas. Itu baru sebagian kecil dari manfaat trigonometri, perlu alasan lain untuk menemukan rumusrumus trigonometri membantu hidup kita. Berikut beberapa contoh penggunaan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari, misalya dalam navigasi untuk menemukan jarak dari pantai ke suatu titik di laut.

Trigonometri umumnya juga digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan.

Trigonometri

Page 12

Trigonometri juga digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air Laut

Digunakan untuk mengukur ketinggian pohon

Trigonometri

Page 13

Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa

Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.

Trigonometri

Page 14

BAB III PENUTUP Demikianlah makalah yang saya buat semoga bermanfaat bagi orang yang membacanya dan menambah wawasan bagi orang yang membaca makalah ini. Dan penulis mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisan kata dan kalimat yang tidak jelas, mengerti, dan lugas mohon jangan dimasukan ke dalam hati. Dan saya juga sangat mengharapkan yang membaca makalah ini akan bertambah motivasinya dan mengapai cita-cita yang di inginkan, karena saya membuat makalah ini mempunyai arti penting yang sangat mendalam. Sekian penutup dari saya semoga berkenan di hati dan saya ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya. Waasalamualaikum Wr. Wb

Trigonometri

Page 15

DAFTAR PUSAKA

Matematikablogscience.blogspot.com/2012/03/trigonometri.html Tim matematika SMA, 2004. Matematika 2 Untuk SMA Kelas 11 , Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega Sartono Wirodikromo , 2006. Matematika Untuk SMA Kelas 11 , Jakarta : Penerbit Erlangga MGMP Matematika Kota Semarang , 2007. LKS Matematika SMA / MA . Semarang : CV Jabbaar Setia

Trigonometri

Page 16