Trigonometri

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B. Pada segitiga tersebut didefinisikan perbandinganperbandingan trigonometri dasar untuk sudut A sbb :

C

1.

b 2.

a

3.

c

A

B

Sinus A. a sin A  b Cosinus A c cos A  b Tangen A a tan A  c

4.

5.

6.

Sekan A b 1 sec A   c cos A Cosecan A b 1 csc A   a sin A Cotangen A c 1 cot A   a tan A

1 , 3 tentukan perbandingan trigonometri dari sudut A yang lainnya ! Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika sin A =

CONTOH

JAWAB Perhatikan gambar ! Diperoleh :

C

3

A

cos A 

1

tan A 

B

sec A 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

2 2 3

1 2 2 3 2 2

csc A  3



2 4



3 2 4

cot A  2 2

1

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

LATIHAN 1 1 . Diketahui tan B =

, tentukan nilai dari cos B , sin B, sec B, cosec B, dan cotan B !

2 . Perhatikan gambar A . Misal DB = x , lengkapi isian berikut : AD = AB - … = ….. - …. B . Pada segitiga ACD, CD2 = AC2 – AD2 4 Lengkapi isian berikut : 8 CD2 = …………… - …………….. = …………………………….. ….. 1) Pada segitiga BCD, CD2 = BC2 – BD2 Lengkapi isian berikut : B D A CD2 = …………… - …………….. 10 = …………………………….. ….. 2) Karena 1) = 2), tentukan nilai x dengan menggunakan kesamaan tersebut !. Kemudian tentukan juga panjang AD dan panjang BD ! C . Tentukan nilai dari sin B, cos B, dan tan B. D . Tentukan nilai dari sin A, cos A, dan tan A.

C

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

Berikut ini adalah tabel perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa :

 sin α

0

1

cos α

1

0

tan α

0

1

Info Kita dapat memanfaatkan jari-jari tangan untuk menghafalkan nilai perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa. Perhatikan diagram berikut :

Kosinus

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

2

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika panjang AB = 6 cm, dan  A = 30°, hitunglah panjang sisi BC, dan AC !

CONTOH

JAWAB

Panjang

C

sisi

BC

dapat

dihitung

dengan

menggunakan

perbandingan trigonometri berikut :

tan A 

BC  6  tan 30  6 

Jadi : 30°

Untuk

B 6 cm

BC BC  tan 30  AB 6

menghitung

1 3  2 3 cm 3

panjang

AC

dapat

perbandingan trigonometri sin A , cos A,

A

menggunakan

atau menggunakan

teorema Pytagoras. Jika digunakan teorema Pytagoras, maka diperoleh :

 

AC 2  62  2 3

2

 AC 2  48  AC  4 3 cm

LATIHAN 2 1.

Jika diketahui sin   a. b. c.

2

2 dan tan 3

cos  tan  sin 

1 3 . Hitunglah : 2 d. e.

Tentukan nilai dari : a. Sin 2 60  Cos 2 60

3.



b.

Sin 2 30  Sin 2 60 Cos 2 30  Cos 2 60

cos  sin   cos  tan   cos 

c.

Sin 60 1  Cos 60

Perhatikan gambar !

C

Hitunglah : a. Panjang AC. b. Panjang CD. c. Besar sudut ABC. d. Panjang BD. e. Panjang BC.

60°

A

8 cm

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

D

B

3

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN Pengertian Kuadran.

y

Kuadran II

Sistem koordinat bidang dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu yang membagi bidang menjadi empat bagian. Tiap bagian bidang tersebut dinamakan kuadran.

Kuadran I

x O

Kuadran III

Kuadran IV

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SECARA UMUM. Jika diketahui sudut XOP = α , dengan titik P ( x , y ) adalah sembarang titik pada bidang, maka perbandingan trigonometri berikut berlaku secara umum :

1.

Sinus .

2 . Cosinus.

3 . Tangen .

Sudut α terletak di kuadran pertama, jika :

Sudut di Kuadran Pertama

0° ≤ α ≤ 90°. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama :

y

( bernilai positif ) P(x,y )

( bernilai positif ) x

( bernilai positif )

O O

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Pertama.

y

P(x,y) y

r x x

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

4

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Sudut di Kuadran Kedua

y Sudut α terletak di kuadran kedua, jika :

90° ≤ α ≤ 180°.

P ( -x , y )

Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua :

x

( bernilai positif )

O

( bernilai negatif ) ( bernilai negatif )

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Kedua.

y Jika α sudut di kuadran pertama, maka :

P ( -x , y ) r x O

Isilah tabel berikut : 

120o

135o

150o

180o

Sin 

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

cos  Tan 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

5

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Sudut di Kuadran Ketiga

Sudut di Kuadran Ketiga

y Sudut α terletak di kuadran ketiga, jika :

180° ≤ α ≤ 270°. O

x

Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga : ( bernilai negatif )

P ( –x , –y )

( bernilai negatif ) ( bernilai positif )

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Ketiga.

y

O

Jika α sudut di kuadran ketiga, maka :

x

r P ( –x , –y )

Isilah tabel berikut : 

210o

225o

240o

270o

Sin 

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

cos  Tan 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

6

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Sudut di Kuadran Keempat y Sudut α terletak di kuadran keempat, jika :

270° < α ≤ 360°. x

O

Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat : ( bernilai negatif )

P ( x , –y )

( bernilai positif ) ( bernilai negatif )

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Berelasi di Kuadran Keempat.

y

Jika α sudut di kuadran keempat, maka :

x

O

r

P ( x , –y )

Sudut Negatif Sudut α bernilai negatif jika arah perputarannya searah dengan arah perputaran jarum jam.

y

x

O y

x

O Untuk Sudut Negatif Berlaku : Jika α sudut di kuadran pertama, maka :

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

r

P ( x , –y )

7

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Isilah tabel berikut : 

300o

315o

330o

360o

Sin 

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

cos  Tan 

Sudut α > 360° Untuk sudut α > 360° , berlaku :

Pengembangan Perbandingan Trigonometri Antara α° dan ( 90 + α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 – α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 + α )°

CONTOH

2

 tan 225  sin 2 60   1 . Hitunglah :   sec 315   1 1 2 . Diketahui sin  = dengan  sudut tumpul, dan cos  = dengan  sudut di kuadran 3 6 tan  . tan  keempat. Tentukan nilai dari cos 

JAWAB

1.

 tan 225  sin 2 60      sec 315  

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

2

2 2 2 2    tan 180  45   1 3    tan 45   1 3    2    2       1 1         cos 360  315 cos 45     2  3 2 2  1  7 7 2  2  98 49 4              2   4 2  8  64 32      2 

8

Matematika Kelas X Semester 2

2.

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

1 dengan  sudut tumpul, berarti  sudut di kuadran kedua. 4

Diketahui :

sin  =

Dan cos  =

1 dengan  sudut di kuadran keempat 6 Maka : 3

1



2 2 3 1 1 tan  =   2 4 2 2 cos  = 

sin  = 

2 6 5

5



tan  =  2 6 Jadi,

tan  . tan   cos 







1 2 . 2 6 3 6 4  4 2 2  3

LATIHAN 3 1.

2.

3.

4. 5.

Hitunglah nilai dari : sin 135 . cos 225 tan 840 . sec 300 a. b. cot  330  sin 2 240 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini. tan (90 - p) sin (90 -  ) sin (90 -  ) cot 99 cos 378 a. b. c. d.  cos (90 -  ) sec (180 -  ) cosec (180  p) cos 198 cos 81 Diketahui sin    4 dan cos    12 ,   dan   dikuadran I. Hitunglah : 5 13 a. cos  e. sin  cos   cos  sin  b. tan  f. sin  sin   cos  cos  c. sin  tan   tan  g. 1  tan  . tan  d. tan  3 2 Jika tan  = dengan  sudut di kuadran ketiga, dan sin  =  dengan  sudut di 5 7 kuadran keempat, hitunglah sin  . tan   2 cos  . Jika A, B , dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa : 1 1 a . cos B  C    cos A b . sin B  C   cos A 2 2

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

9

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

SISTEM KOORDINAT BIDANG

1 . SISTEM KOORDINAT KARTESIUS.

y P(a,b)

x O

Sistem koordinat kartesius terbentuk dari dua buah garis sumbu yang saling tegaklurus. Kedua sumbu tersebut diberi nama sumbu x yang arahnya mendatar, dan sumbu y yang arahnya tegaklurus. Setiap titik P pada bidang kartesius dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( a , b ) , dengan a ( disebut absis ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu y, dan b ( disebut ordinat ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu x . Bentuk ( a , b ) dinamakan koordinat.

2 . SISTEM KOORDINAT KUTUB ( POLAR ).

P ( r , α° )

Setiap titik P pada koordinat kutub dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( r , b ) , dengan r menyatakan jarak antara titik P dengan titik O, dan α menyatakan sudut yang dibentuk oleh OX dan OP.

r x O

HUBUNGAN ANTARA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DAN SISTEM KOORDINAT KUTUB. Sebuah titik yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesius dapat diubah ke dalam koordinat kutub, dengan menggunakan hubungan berikut :

r  x 2  y 2 , dan tan  

y

y

x

P(x,y)

Untuk menentukan nilai α perlu diperhatikan letak kuadran dari titik P.

r

Untuk mengubah titik dari sistem koordinat kutub ke sistem koordinat kartesius, dapat digunakan hubungan berikut :

x  r cos 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

dan

y  r sin 

x O

10

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

CONTOH 1.

Ubahlah titik (  3 , 3 ) dari bentuk koordinat kartesius menjadi bentuk koordinat kutub !

2.

Ubahlah titik ( 6 , 330° ) ke bentuk koordinat kutub menjadi bentuk koordinat kartesius !

JAWAB 1.

r  x2  y2 

 32  3 2

2 3

y 3   1 x 3 ( α di kuadran kedua )   135

tan  

Jadi koordinat kutubnya adalah ( 2 3 , 135 ). 2.

x  r cos 

1   x  6 cos 330  x  6 .  3  x  3 3 2  

y  r sin 

 1  y  6 . sin 330  y  6 .     y  3  2

Jadi koordinat kartesiusnya adalah ( 3 3 ,  3 ).

LATIHAN 4 1.

Ubahlah ke dalam koordinat kutub :

5 , 5 3  b.  2 , 2  a.

2.

c.

 4, 4 

d.

3 ,1

Ubahlah ke dalam koordinat kartesius : a .  8 , 30 

c.

b.

d.

 4 , 135 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com





 6 , 240   12 , 330 

11

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

PENGUKURAN SUDUT Besar/nilai suatu sudut dapat ditentukan dengan menggunakan ukuran-ukuran sudut sbb :

1 . Ukuran Derajat. Satu derajat didefinisikan sebagai besar sudut

sudut pusat

satu lingkaran penuh

2 . Ukuran Radian. Perhatikan juring OAB, OA’B’, dan OA’’B’’. Ketiga juring tersebut sebangun, jadi : B’

B

AB

B O

A A A’

=

A’B’

=

O’A’

OA

A’’B’’ O’’A’’

Nilai dari perbandingan tersebut hanya ditentukan oleh besar sudut AOB. Nilai perbandingan tersebut adalah nilai ukuran sudut AOB dalam satuan radian. r

Satu radian adalah besar sudut pusat yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran

r

Hubungan Antara Ukuran Derajat dan Ukuran Radian. Perhatikan gambar di samping. Besar sudut AOB :

B

O

r

A

Dalam satuan derajat :

 AOB = 180° Dalam satuan radian : AOB =

AB

=

=

radian

……………………..

1)

……………………..

2)

Hitunglah :

CONTOH

OA Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh :

180   radian , jadi :

dan

1.

2.

Ubahlah ke dalam ukuran radian : a . 15 b . 60 Ubahlah ke dalam ukuran derajat : 3 1  radian a. b.  radian 2 9

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

3.

 

 Cos - 1  Sin 4   6  3  5 Sin  Cot 5  6 4 

   

2

12

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

JAWAB

1.

a. b.

3.

1 15  radian  radian = 12 180 60 1 60   radian =  radian 180 3

15 

 

 Cos - 1  Sin 4   6  3  5  Sin  Cot 5  6 4 

2.

a. b.

1 1  radian = 180 = 20 9 9 3 3  radian = 180  270 2 2

2 1 1 2  2 3  3   2 2    1 3   3     1 1  4 2       2 

LATIHAN 5 1.

2.

3.

4.

Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran radian : a . 40. d . 75. b . 30. e . 120. c . 80. f . 134. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran derajat : 2 7 a.  radian.  radian. c. 3 4 3 1 d.  radian. b .   radian. 10 5 Sederhanakan : sec    A  a. cot    A  Hitunglah : 1 1  2 7   a .  sin   sec   tan   cos   3 6  3 6   b.

7 4 cot   tan 2  4 3 2

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

b.

c.

g. h. i.

e. f.

210. 250. 315.

7   radian. 6 4  radian. 9

1  tan      . cos     2 

1 1   sec  csc  3 4   7 1   tan  sin  6 6 

     



2

13

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

HUBUNGAN ANTAR PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Diketahui :

r

y

x 1.

Hubungan Antara Sinus dan Kosinus. Diketahui : sin 2  

sin 2   cos 2  

2.

y2 r2

y2 r2 

dan cos 2  

x2 r2



r2 r2

x2 r2

, jadi :

1

Hubungan Antara Sinus , Kosinus , dan Tangen. y sin  y  r   tan  x cos  x r

3.

Hubungan Antara Tangen, dan Secan. tan 2 x  1 

4.

y 2 x2 r 2  2  2  sec2 x 2 x x x

Hubungan Antara Tangen, dan Secan. cot 2 x  1 

x2 y2



Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

y2 y2



r2 y2

 csc 2 x

14

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang bernilai benar untuk semua nilai variabel. Ada dua cara untuk membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri, yaitu : 1 . Ambil salah satu ruas kemudian dibuktikan sama dengan ruas yang lain. 2 . Ambil kedua ruas, masing-masing ruas disederhanakan, dan dibuktikan bahwa kedua ruas hasilnya sama.

Buktikan identitas trigonometri berikut : 1.

1  2 cos 2 A  tan A  cot A sin A . cos A

CONTOH

1 1 2   2. 1  sin A 1  sin A cos 2 A

JAWAB 1.

Rkanan

tan A  cot A sin A cos A  cos A sin A

= =

2.

Rkiri

1 1  1  sin A 1  sin A 1  sin A  1  sin A  1  sin A  1  sin A 2 1  sin 2 A

= =

=

sin 2 A  cos 2 A cos A . sin A

=

(1  cos 2 A)  cos 2 A sin A . cos A

=

2 1  1  cos 2 A



=

1  2 cos 2 A sin A . cos A = Rkiri =





2 cos 2 A = Rkanan =

LATIHAN 6 Buktikan identitas trigonometri berikut : sin 2 x  1  cos x 1. 1  cos x 2 . tan   cot   csc  . sec  3. 4. 5. 6.

2

2

sin x . csc x  sin x  cos x

 cot

2

x1

1  cos x   1 2

1   sec   tan  sec  1  sin  cos   sin  . tan   sec 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

7. 8. 9.

 sec

2



x  1 cot x tan x . sin x  cos x sec A  csc A sin  sec A  csc A sin 1 1  1  sin x 1  sin x

10 . cot   tan  

 sin x A  cos A A  cos A  2 sec2 x

2 cos 2   1 sin  . cos 

15

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1 . GRAFIK FUNGSI Y = SIN X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = sin x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Sudut

0°

y

0

Sudut

210°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

1

225°

240°

270°

300°

0 315°

330°

360°

1

y

0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = sin x° , sebagai berikut : y

x 0°

30° 45° 60°

90°

120°135° 150°

180°

210° 225° 240°

270°

300° 315° 330°

360°

Nilai maksimum dari fungsi y = sin x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan 1.

Info Fungsi trigonometri termasuk fungsi yang periodik, maksudnya nilai-nilai dari fungsi tersebut akan berulang dalam suatu interval tertentu yang dinamakan periode. Periode dari fungsi y = sin x dan y = cos x samadengan 360 atau 2 radian .

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

16

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

2 . GRAFIK FUNGSI Y = COS X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = cos x °, terlebih dahulu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb :

Sudut

0°

y

0

Sudut

210°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

1

225°

240°

270°

300°

0 315°

330°

360°

1

y

180°

0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = cos x° , sebagai berikut :

y

x 0°

30° 45° 60°

90°

120° 135° 150°

180°

210° 225° 240°

270°

300° 315° 330°

360°

Nilai maksimum dari fungsi y = cos x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan 1.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

17

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

3 . GRAFIK FUNGSI Y = TAN X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = tan x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Sudut

0°

y

0

Sudut

210°

30°

45°

60°

90°

1 240°

225°

y

1

120°

135°

300°

315°

0

330°

360°

1

∞

180°

1

∞ 270°

150°

0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = tan x° , sebagai berikut :

y

x 120° 135° 150°

180°

210° 225° 240°

asimtot

90°

270°

300° 315° 330°

360°

asimtot

30° 45° 60°

0°

Nilai maksimum dari fungsi y = tan x° samadengan  dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan . Periode dari fungsi ini samadengan 180 atau  radian.

LATIHAN 7 1 . Isilah tabel berikut :

x

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

2 sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

2 sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = 2 sin x° b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

18

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

2 . Isilah tabel berikut :

x

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

2x cos 2x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

2x cos 2x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = cos 2x° b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA Bentuk umum dari persamaan trigonometri sederhana adalah : 1.

Persamaan sinus : sin x  sin   Penyelesaian : x     k.360 atau x  180     k.360

2.

Persamaan cosinus cos x  cos   Penyelesaian : x     k.360 atau x      k.360

3.

Persamaan tangen tan x  tan   Penyelesaian : x     k.180

Dengan k bilangan bulat .

Catatan : jika tanda derajat ( “ ° ” ) tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah ukuran radian. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut : 1 1 . sin x   , untuk 0  x  360 2 2. 3.

CONTOH

2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360 1   3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2 4  

JAWAB 1.

1 , untuk 0  x  360 2 Sin x° berharga negatif di kuadran ketiga atau keempat, misal diambil pada kuadran ketiga ( jika diambil pada kuadran keempat akan diperoleh hasil akhir yang sama ). Jadi : Sin x° = sin ( 180 + 30 )°  Sin x° = sin 210° Penyelesaian : x  210  k.360 x  210  0.360  210 Untuk k = 0 diperoleh : atau x  180  210  k.360  30  k.360 x  30  1.360  330 Untuk k = 1 diperoleh : Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 210° , 330° } sin x  

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

19

Matematika Kelas X Semester 2

2.

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360 Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk umum, sbb :

3 , diperoleh : 2 cos 3x  cos 30 Penyelesaian : 3x  30  k.360  x  10  k.120 Untuk k = 0 , diperoleh x  10 atau Untuk k = 1 , diperoleh x  130 Untuk k = 2 , diperoleh x  250 cos 3x 

3.

3x   30  k.360  x   10  k.120 Untuk k = 1 , diperoleh x  110 Untuk k = 2 , diperoleh x  230 Untuk k = 3 , diperoleh x  350

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 10° , 110°, 130°, 230°, 250°, 350° } 1   3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2 4   Bentuk umum dari persamaan tersebut, adalah : 1  1  tan  x      3. 4 3   Karena lambang derajat tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah radian, sehingga diperoleh : 1  5  tan  x     tan  4 6   Penyelesaian : 1 5 5 1 13 x      k.  x      k.  x    k. 4 6 6 4 12 1 x  Untuk k = 1 , diperoleh 12 13 x  Untuk k = 0 , diperoleh 12 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : 1 13 , } HP = { 12 12

LATIHAN 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut : 1 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 1 . sin x  =  2 2 . 2 cos 2x  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 3 . tan ( 15  x )  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.

2 sin 3x  1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. sin ( 3x  30 )  = sin 2 x , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 1 6 . cos x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 2 1 7 . 1+ 3 tan ( x   ) = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 3 8 . sin 3x  = cos( x – 45 ) , untuk 0 ≤ x ≤ 360 ( Petunjuk : ingat cos x = sin ( 90 – x ) ). 2 9 . cos (  x ) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 3 10 . cot 4 x + 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 4. 5.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

20

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

RUMUS-RUMUS SEGITIGA ATURAN SINUS

C Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus sbb :

b

a

B

c

A

a b c   sin A sin B sin C

Info Aturan sinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui : 1 . sisi  sudut  sudut 2 . sudut  sisi  sudut 3 . sisi  sisi  sudut

1. 2.

Diketahui segitiga ABC dengan  A = 45° ,  B = 60° , dan a = 12 cm. Hitunglah panjang b ! Diketahui segitiga KLM, dengan panjang sisi KL = 4 cm, panjang sisi LM = 3 cm, dan  M = 30°. Hitunglah cosinus  K .

CONTOH

JAWAB 1.

Panjang b adalah :

b a  sin B sin A

 b

a . sin B sin A

C

Jadi : 12 . sin 60 b sin 45

1 12 . 3 2  b  6 6 cm 1 2 2 2.

b

a = 12 cm 60°

45°

B

A

L

Nilai sinus dari  K adalah : k . sin M k m   sin K  sin K sin M m

1 3. 3 . sin 30 2 3 sin K   4 4 8 Untuk menentukan nilai cosinus dari sudut K , digambar sketsa berikut :

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

4 cm

K

3 cm

30

M

21

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Jadi :

8 3

cos K 

K

55 8

LATIHAN 9 1 . Diketahui segitiga ABC, dengan panjang sisi AC = 3 5 cm ,  C = 60. Jika sin B =

2 3

hitunglah panjang sisi AB ! . 2 . Diketahui segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ =

1 3 cm, QR = 4 6 cm, dan  R = 2

30. Hitunglah cosinus  P ! 3 . Pada segitiga KLM, diketahui m = 12 cm ,  K = 45, dan  C = 30. Hitunglah panjang l ! 4 . Pada segitiga RST, panjang sisi RT = 5 cm, panjang sisi ST = 5 2 cm. a . Hitunglah besar  S b . Hitunglah besar  T 5 . Dua orang pada saat yang sama berangkat menuju titik C. Salah seorang berangkat dari titik B dengan kecepatan 2 km/jam. Temannya berangkat dari titik A. Jika mereka sampai di titik C dalam waktu yang sama, hitunglah kecepatan temannya tersebut !

C

120 30 A

B

ATURAN KOSINUS Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus sbb :

C b

a 2  b 2  c 2  2bc cos A

a

b 2  a 2  c 2  2ac cos B c 2  a 2  b 2  2ab cos C

c

A

B

Bentuk lain dari aturan kosinus adalah :

cos A 

b2  c2  a2 2bc

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

cos B 

a2  c2  b2 2ac

cos C 

a2  b2  c2 2ab

22

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Info Aturan cosinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui : 1 . sisi  sudut  sisi 2 . sisi  sisi  sisi

1. 2.

Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 4 cm, CONTOH panjang BC= 6 cm , dan sudut C = 120. Hitunglah panjang sisi AB ! Segitiga PQR mempunyai panjang sisi PQ = 5 cm , PR = 7 cm, dan QR = 9 cm. Hitunglah cosinus sudut QPR !

JAWAB 1.

Panjang sisi AB, adalah :

B

AB 2  AC 2  BC 2  2 . AC . BC . cos C  AB 2  4 2  6 2  2 . 4 . 6 . cos 120  AB 2  16  36  24  76

6 cm 120

Jadi : AB  76  2 19 cm

2.

A

4 cm

Cosinus sudut QPR adalah :

cos QPR 

PQ  PR  QR 2 . PQ . PR

 cos QPR 

2

2

C P

2

Cosinus sudut QPR bernilai negatif, berarti sudut QPR merupakan sudut tumpul.

7 cm

5 cm

52  7 2  92 7 1   2.5.7 70 10

Q

9 cm

R

Info Dalam navigasi, ukuran dan arah suatu sudut dinyatakan dalam bentuk jurusan tiga angka Hal-hal yang perlu diketahui : 1 . Sebagai arah patokan adalah arah utara. 2 . Sudut berputar searah jarum jam. 3 . Ukuran sudut dinyatakan dengan menggunakan tiga angka . Sebagai contoh adalah jurusan 060 pada gambar di samping.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

U 060

23

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

LATIHAN 10 1.

Diketahui segitiga ABC , dengan panjang AB = 2 3 cm, panjang BC = 5 2 cm, dan  B = 135 . Hitung panjang sisi AC !

2.

Diketahui segitiga PQR , dengan panjang PQ = 4 cm, panjang QR = 3 cm, dan panjang PR = 3 cm. Hitung nilai cosinus dari  P,  Q, dan  R ! Sebuah kapal berlayar dari kota A ke kota B dengan jurusan 045 sejauh 60 km dari kota A, kemudian kembali berlayar dengan jurusan 135 menuju ke kota C sejauh 120 km dari kota B .Hitunglah jarak dari kota A ke kota C. Dua buah kapal berangkat bersama dari tempat yang sama dan membentuk sudut 60. Kapal pertama berkecepatan 12 km/jam, 60 dan kapal kedua berkecepatan 15 km/jam. Hitunglah jarak kedua kapal sesudah bergerak selama 2 jam ! Sebuah pesawat terbang dari kota A ke kota B sejauh 14 km dengan jurusan 045, kemudian terbang ke kota C dengan jurusan 135 sejauh 48 km. Hitunglah besar ABC,  ACB, dan jarak AC. Kemudian tentukan jurusan A dari C !.

3.

4.

5.

LUAS SEGITIGA Luas dari segitiga ABC dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

C b

1 1 1 L = a b sin C , atau L = a c sin B , atau L = b c sin A 2 2 2

A

a

B

c

Info 1 . Jika sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya beserta sisi yang diapit kedua sudut tersebut, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

C

Jika segitiga ABC diketahui besar  B ,  C, dan sisi a , maka luasnya samadengan :

a L= Besar  A = ( 180 -  B -  C )°

A

B

2 . Jika segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya, maka luas dari segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus : L=

C

Dengan

b

.

a Rumus ini dikenal dengan nama Rumus Heron.

A

c

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

B

24

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Hitunglah luas segitiga berikut : 1 . Segitiga ABC, panjang AB = 16 cm, AC = 12 cm, dan  A = 150. 2 . Segitiga PQR, panjang QR = 8 cm,  Q = 30 , dan  R = 120. 3 . Segitiga KLM, panjang k = 10 cm , l = 6 cm , dan m = 12 cm.

CONTOH

JAWAB 1 . Luas segitiga ABC adalah :

1 AC . AB . sin 150 2 1 1 = 12 . 16 .  48 cm 2 2 2

L

B

=

16 cm 150 A

C

12 cm

2 . Besar sudut P = ( 180  120  30 ) = 30 P

Jadi luas segitiga PQR, adalah : L

3.

=

QR 2 . sin Q . sin R 2 sin P

=

8 2 . sin 30 . sin 120 2 sin 30

=

1 64 . 3 2 = 16 3 cm 2 2

Karena diketahui panjang ketiga sisinya, maka dapat dipakai rumus Heron, sbb :

s

6  10  12  14 2

Jadi : L =

120

30 Q

R

8 cm

K 12 cm 6 cm

14 . 14  6 . 14  8 . 14  12

=

14 . 8 . 6 . 2  1344

=

64 21  8 21 cm2.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

M

L 10 cm

25

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

LATIHAN 11 Hitunglah luas segitiga berikut : 1 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 10 cm, b = 2 7 cm, dan  C = 60 2 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 8 3 cm ,  B = 45, dan  C = 150. 3 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 6 cm , b = 7 cm, dan c = 4 cm. 4 . Hitunglah luas segienam beraturan yang panjang sisisisinya 20 cm ! 5 . Diketahui segitiga ABC samakaki, dengan AB = BC. Jika AC = 6 cm, dan C luas segitiga tersebut 3 7 cm², hitunglah panjang AB ! 6 cm

A

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

20 cm

B

26

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

I . PILIHAN GANDA 1.

Jika A dan B sudut lancip dengan tan

1 7 dan sin B = , nilai dari 3 3 ( cos A . tan B ) ² sama dengan … 1 A. 2 4 3 B. 2 16 128 C. 9 9 D. 128 3 E. 4 2 7 sec   sin  3 6  ... Nilai dari 1 5 cot   cos  3 6 1 A. 2 1 2 B. 2 1 3 C. 2 3 D.

4.

A =

2.

E.

3.

5.

6.

 3

Perhatikan gambar ! R 17 cm

P

13 cm

27 cm

Nilai cot Q = … 5 A. 7 1 B. 3 5 C. 13 5 D. 12 27 E. 13

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

Q

7.

Suatu segitiga ABC diketahui A = 150, sisi a = 12 cm dan sisi c = 5 cm, maka luas segitiga AMC = … A. 12 cm² B. 13 cm² C. 14 cm² D. 15 cm² E. 16 cm² Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8 cm dan BC = 7 cm. Nilai sin A adalah … 2 A. 3 1 B. 5 3 2 C. 5 5 1 D. 5 2 3 E. 5 5 ( Ebtanas 1997 ) Diketahui segitiga KLM siku-siku di L. cos K  sin K 15  ... Jika cot K = , nilai sin L  cos L 8 7 A. 17 15 B. 17 7 C. 23 23 D. 17 23 E. 7 Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm,sisi AC = 4 cm 1 dan sin A = . Nilai cos B = … 2 2 A. 5 5 1 B. 5 3 1 3 C. 2 2 D. 3 1 E. 2

27

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

8 . Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 6 cm, besar A = 30dan C = 120. Luas segitiga ABCadalah … A. 18 cm² B. 9 cm² C. 6√3 cm² D. 3√3 cm² E. 2√3 cm² ( Ebtanas 1998 ) 9 . Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi AB = 15 cm, BC = 14 cm, dan AC = 13 cm. Nilai tan C = … 5 A. 13 5 B. 12 12 C. 13 2 D. 3 13 E. 5 ( Ebtanas 1999 ) 3 10 . Jika sin A = , dengan 90 ≤ A ≤ 5 180, maka nilai cos A = … 3 A.  5 3 B. 5 4 C.  5 4 D. 5 3 E.  4 11 . Diketahui Δ PQR dengan PQ = 3 cm, PR = 5 cm dan QPR = 60. Jika PS garis bagi QPR, panjang PS = … 20 A. 3 9 20 B. 9 3 45 3 C. 4 20 D. 3 3 20 E. 3 6 ( Ebtanas 2001 ) 12 . Diketahui Δ ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60. CD adalah tinggi Δ ABC. Panjang CD = … 2 A. 3 cm 3

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

B. C. D. E.

3 cm 2 cm 3 3 cm 2 2 3 cm

( Ebtanas 2002 ) 13 . Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5cm, 6 cm dan √21 cm adalah … 1 A. 21 5 1 B. 21 6 1 C. 5 5 1 D. 5 6 1 E. 5 3 ( Ebtanas 2003 ) 14 . Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60. Panjang sisi BC = … A. 2√19 cm B. 3√19 cm C. 4√19 cm D. 2√29 cm E. 3√29 cm ( UAN 2004 ) 15 . Diketahui segitiga ABC dengan AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm dan  ABC = α. Nilai cos α = … 1 A.  4 11 B. 24 11 C. 18 18 D. 24 21 E. 24 ( UN 2005 ) 16 . Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = .... A. B. C. D. E.

5 7 2 6 7 24 49 2 7

1 6 7

( UN 2005 )

28

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

17 . Diketahui A dan B adalah titik – titik ujung sebuah terowongan yang dilihat

D . 10

71

E . 10

61

( UN 2006 ) 19 . Nilai dari sin 315 + cos 315 + tan(60) = … A. 3

dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p√2 meter, maka panjang terowongan itu

D . 4p

 3 1 C.  2 2 1 D. 3 3 1 E.  3 3 20 . Sebuah kapal berlayar ke arah timur

E . 5p

sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan

B.

adalah … meter. A .p

5

B.p

17

C.3 2

( UN 2007 ) 18 . Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan

perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat

A dengan arah 044° sejauh 50 Km.

kapal berangkat adalah … mil.

Kemudian berlayar lagi dengan arah

A . 10 37

104° sejauh 40 km ke pelabuhan C . Jarak pelabuhan A ke C adalah ... km.

B . 30

7

A . 10 95

C . 30

52 2

B . 10

91

D . 30

52 3

C . 10

85

E . 30

52 3 ( UN 2005 kurikulum 2004 )

II . URAIAN 1 . Seseorang yang tingginya 1,6 m akan mengukur tinggi tiang bendera. Dari sebelah kiri, dia mengamati ujung tiang bendera dengan sudut elevasi 15, dan dari sebelah kanan dia mengamati dengan sudut elevasi 30. Jika jarak tempat pengamatan pertama dan kedua adalah 80 m, hitunglah tinggi tiang bendera tersebut ( ket : sin 15  0,259 , cos 15  0,696 , 30 15 tan 15  0,268 ) 1,6 m 80 m 2 . Jika   sudut lancip, tentukan perbandingan trigonometri sudut   yang lain, untuk : 5 3 a . Sin   = b. Cos   = c. Tan   = p 5 7 3 . Tentukan nilai dari : a.

Sin 2 60  Cos 2 60

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

b.

Sin 2 30  Sin 2 60 2

2

Cos 30  Cos 60

c.

Sin 60 1  Cos 60

29

Matematika Kelas X Semester 2

4.

7.

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Nyatakan sudut-sudut berikut dalam ukuran derajat.  5 a. b. rad   rad 2 6 3 7 d. e. rad  rad 4 9 2 2 catatan :  rad  rad 3 3

f.

Tentukan Koordinat Cartesius dari titik-titik berikut. a. A5, 30 b. B 4 3 , 60 d. R8, 65 e. M10, 330





8 . Tentukan koordinat kutub dari titik-titik berikut. a. K-4, 3 b. L 1, - 3 d. N 5 , 2 e. S- 2, 3 2



 

5 rad 3 13 rad 5

c.



c.

P3, 123

c.

M- 2, - 7 

9 . Lengkapi tabel berikut :

x

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

1 + sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

1 + sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Gambarlah grafik fungsi y = 1 + sin x . b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut. 10 . Lengkapi tabel berikut :

x

0°

30°

60°

90°

120°

150°

( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

cos( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

180°

210°

240°

270°

300°

330°

( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

cos( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Gambarlah grafik fungsi y = cos (x + 30 ) . b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

30