Trigonometri

  • Uploaded by: Tri Rusdiyono
  • 0
  • 0
  • May 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Trigonometri as PDF for free.

More details

  • Words: 7,725
  • Pages: 30
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B. Pada segitiga tersebut didefinisikan perbandinganperbandingan trigonometri dasar untuk sudut A sbb :

C

1.

b 2.

a

3.

c

A

B

Sinus A. a sin A  b Cosinus A c cos A  b Tangen A a tan A  c

4.

5.

6.

Sekan A b 1 sec A   c cos A Cosecan A b 1 csc A   a sin A Cotangen A c 1 cot A   a tan A

1 , 3 tentukan perbandingan trigonometri dari sudut A yang lainnya ! Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika sin A =

CONTOH

JAWAB Perhatikan gambar ! Diperoleh :

C

3

A

cos A 

1

tan A 

B

sec A 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

2 2 3

1 2 2 3 2 2

csc A  3



2 4



3 2 4

cot A  2 2

1

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

LATIHAN 1 1 . Diketahui tan B =

, tentukan nilai dari cos B , sin B, sec B, cosec B, dan cotan B !

2 . Perhatikan gambar A . Misal DB = x , lengkapi isian berikut : AD = AB - … = ….. - …. B . Pada segitiga ACD, CD2 = AC2 – AD2 4 Lengkapi isian berikut : 8 CD2 = …………… - …………….. = …………………………….. ….. 1) Pada segitiga BCD, CD2 = BC2 – BD2 Lengkapi isian berikut : B D A CD2 = …………… - …………….. 10 = …………………………….. ….. 2) Karena 1) = 2), tentukan nilai x dengan menggunakan kesamaan tersebut !. Kemudian tentukan juga panjang AD dan panjang BD ! C . Tentukan nilai dari sin B, cos B, dan tan B. D . Tentukan nilai dari sin A, cos A, dan tan A.

C

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

Berikut ini adalah tabel perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa :

 sin α

0

1

cos α

1

0

tan α

0

1

Info Kita dapat memanfaatkan jari-jari tangan untuk menghafalkan nilai perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa. Perhatikan diagram berikut :

Kosinus

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

2

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika panjang AB = 6 cm, dan  A = 30°, hitunglah panjang sisi BC, dan AC !

CONTOH

JAWAB

Panjang

C

sisi

BC

dapat

dihitung

dengan

menggunakan

perbandingan trigonometri berikut :

tan A 

BC  6  tan 30  6 

Jadi : 30°

Untuk

B 6 cm

BC BC  tan 30  AB 6

menghitung

1 3  2 3 cm 3

panjang

AC

dapat

perbandingan trigonometri sin A , cos A,

A

menggunakan

atau menggunakan

teorema Pytagoras. Jika digunakan teorema Pytagoras, maka diperoleh :

 

AC 2  62  2 3

2

 AC 2  48  AC  4 3 cm

LATIHAN 2 1.

Jika diketahui sin   a. b. c.

2

2 dan tan 3

cos  tan  sin 

1 3 . Hitunglah : 2 d. e.

Tentukan nilai dari : a. Sin 2 60  Cos 2 60

3.



b.

Sin 2 30  Sin 2 60 Cos 2 30  Cos 2 60

cos  sin   cos  tan   cos 

c.

Sin 60 1  Cos 60

Perhatikan gambar !

C

Hitunglah : a. Panjang AC. b. Panjang CD. c. Besar sudut ABC. d. Panjang BD. e. Panjang BC.

60°

A

8 cm

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

D

B

3

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN Pengertian Kuadran.

y

Kuadran II

Sistem koordinat bidang dimensi dua terdiri dari dua buah sumbu yang membagi bidang menjadi empat bagian. Tiap bagian bidang tersebut dinamakan kuadran.

Kuadran I

x O

Kuadran III

Kuadran IV

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SECARA UMUM. Jika diketahui sudut XOP = α , dengan titik P ( x , y ) adalah sembarang titik pada bidang, maka perbandingan trigonometri berikut berlaku secara umum :

1.

Sinus .

2 . Cosinus.

3 . Tangen .

Sudut α terletak di kuadran pertama, jika :

Sudut di Kuadran Pertama

0° ≤ α ≤ 90°. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama :

y

( bernilai positif ) P(x,y )

( bernilai positif ) x

( bernilai positif )

O O

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Pertama.

y

P(x,y) y

r x x

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

4

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Sudut di Kuadran Kedua

y Sudut α terletak di kuadran kedua, jika :

90° ≤ α ≤ 180°.

P ( -x , y )

Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua :

x

( bernilai positif )

O

( bernilai negatif ) ( bernilai negatif )

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Kedua.

y Jika α sudut di kuadran pertama, maka :

P ( -x , y ) r x O

Isilah tabel berikut : 

120o

135o

150o

180o

Sin 

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

cos  Tan 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

5

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Sudut di Kuadran Ketiga

Sudut di Kuadran Ketiga

y Sudut α terletak di kuadran ketiga, jika :

180° ≤ α ≤ 270°. O

x

Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga : ( bernilai negatif )

P ( –x , –y )

( bernilai negatif ) ( bernilai positif )

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Ketiga.

y

O

Jika α sudut di kuadran ketiga, maka :

x

r P ( –x , –y )

Isilah tabel berikut : 

210o

225o

240o

270o

Sin 

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

cos  Tan 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

6

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Sudut di Kuadran Keempat y Sudut α terletak di kuadran keempat, jika :

270° < α ≤ 360°. x

O

Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat : ( bernilai negatif )

P ( x , –y )

( bernilai positif ) ( bernilai negatif )

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Berelasi di Kuadran Keempat.

y

Jika α sudut di kuadran keempat, maka :

x

O

r

P ( x , –y )

Sudut Negatif Sudut α bernilai negatif jika arah perputarannya searah dengan arah perputaran jarum jam.

y

x

O y

x

O Untuk Sudut Negatif Berlaku : Jika α sudut di kuadran pertama, maka :

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

r

P ( x , –y )

7

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Isilah tabel berikut : 

300o

315o

330o

360o

Sin 

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

………………

cos  Tan 

Sudut α > 360° Untuk sudut α > 360° , berlaku :

Pengembangan Perbandingan Trigonometri Antara α° dan ( 90 + α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 – α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 + α )°

CONTOH

2

 tan 225  sin 2 60   1 . Hitunglah :   sec 315   1 1 2 . Diketahui sin  = dengan  sudut tumpul, dan cos  = dengan  sudut di kuadran 3 6 tan  . tan  keempat. Tentukan nilai dari cos 

JAWAB

1.

 tan 225  sin 2 60      sec 315  

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

2

2 2 2 2    tan 180  45   1 3    tan 45   1 3    2    2       1 1         cos 360  315 cos 45     2  3 2 2  1  7 7 2  2  98 49 4              2   4 2  8  64 32      2 

8

Matematika Kelas X Semester 2

2.

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

1 dengan  sudut tumpul, berarti  sudut di kuadran kedua. 4

Diketahui :

sin  =

Dan cos  =

1 dengan  sudut di kuadran keempat 6 Maka : 3

1



2 2 3 1 1 tan  =   2 4 2 2 cos  = 

sin  = 

2 6 5

5



tan  =  2 6 Jadi,

tan  . tan   cos 







1 2 . 2 6 3 6 4  4 2 2  3

LATIHAN 3 1.

2.

3.

4. 5.

Hitunglah nilai dari : sin 135 . cos 225 tan 840 . sec 300 a. b. cot  330  sin 2 240 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini. tan (90 - p) sin (90 -  ) sin (90 -  ) cot 99 cos 378 a. b. c. d.  cos (90 -  ) sec (180 -  ) cosec (180  p) cos 198 cos 81 Diketahui sin    4 dan cos    12 ,   dan   dikuadran I. Hitunglah : 5 13 a. cos  e. sin  cos   cos  sin  b. tan  f. sin  sin   cos  cos  c. sin  tan   tan  g. 1  tan  . tan  d. tan  3 2 Jika tan  = dengan  sudut di kuadran ketiga, dan sin  =  dengan  sudut di 5 7 kuadran keempat, hitunglah sin  . tan   2 cos  . Jika A, B , dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa : 1 1 a . cos B  C    cos A b . sin B  C   cos A 2 2

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

9

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

SISTEM KOORDINAT BIDANG

1 . SISTEM KOORDINAT KARTESIUS.

y P(a,b)

x O

Sistem koordinat kartesius terbentuk dari dua buah garis sumbu yang saling tegaklurus. Kedua sumbu tersebut diberi nama sumbu x yang arahnya mendatar, dan sumbu y yang arahnya tegaklurus. Setiap titik P pada bidang kartesius dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( a , b ) , dengan a ( disebut absis ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu y, dan b ( disebut ordinat ) menyatakan jarak titik terhadap sumbu x . Bentuk ( a , b ) dinamakan koordinat.

2 . SISTEM KOORDINAT KUTUB ( POLAR ).

P ( r , α° )

Setiap titik P pada koordinat kutub dinyatakan sebagai pasangan bilangan ( r , b ) , dengan r menyatakan jarak antara titik P dengan titik O, dan α menyatakan sudut yang dibentuk oleh OX dan OP.

r x O

HUBUNGAN ANTARA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DAN SISTEM KOORDINAT KUTUB. Sebuah titik yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesius dapat diubah ke dalam koordinat kutub, dengan menggunakan hubungan berikut :

r  x 2  y 2 , dan tan  

y

y

x

P(x,y)

Untuk menentukan nilai α perlu diperhatikan letak kuadran dari titik P.

r

Untuk mengubah titik dari sistem koordinat kutub ke sistem koordinat kartesius, dapat digunakan hubungan berikut :

x  r cos 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

dan

y  r sin 

x O

10

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

CONTOH 1.

Ubahlah titik (  3 , 3 ) dari bentuk koordinat kartesius menjadi bentuk koordinat kutub !

2.

Ubahlah titik ( 6 , 330° ) ke bentuk koordinat kutub menjadi bentuk koordinat kartesius !

JAWAB 1.

r  x2  y2 

 32  3 2

2 3

y 3   1 x 3 ( α di kuadran kedua )   135

tan  

Jadi koordinat kutubnya adalah ( 2 3 , 135 ). 2.

x  r cos 

1   x  6 cos 330  x  6 .  3  x  3 3 2  

y  r sin 

 1  y  6 . sin 330  y  6 .     y  3  2

Jadi koordinat kartesiusnya adalah ( 3 3 ,  3 ).

LATIHAN 4 1.

Ubahlah ke dalam koordinat kutub :

5 , 5 3  b.  2 , 2  a.

2.

c.

 4, 4 

d.

3 ,1

Ubahlah ke dalam koordinat kartesius : a .  8 , 30 

c.

b.

d.

 4 , 135 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com





 6 , 240   12 , 330 

11

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

PENGUKURAN SUDUT Besar/nilai suatu sudut dapat ditentukan dengan menggunakan ukuran-ukuran sudut sbb :

1 . Ukuran Derajat. Satu derajat didefinisikan sebagai besar sudut

sudut pusat

satu lingkaran penuh

2 . Ukuran Radian. Perhatikan juring OAB, OA’B’, dan OA’’B’’. Ketiga juring tersebut sebangun, jadi : B’

B

AB

B O

A A A’

=

A’B’

=

O’A’

OA

A’’B’’ O’’A’’

Nilai dari perbandingan tersebut hanya ditentukan oleh besar sudut AOB. Nilai perbandingan tersebut adalah nilai ukuran sudut AOB dalam satuan radian. r

Satu radian adalah besar sudut pusat yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran

r

Hubungan Antara Ukuran Derajat dan Ukuran Radian. Perhatikan gambar di samping. Besar sudut AOB :

B

O

r

A

Dalam satuan derajat :

 AOB = 180° Dalam satuan radian : AOB =

AB

=

=

radian

……………………..

1)

……………………..

2)

Hitunglah :

CONTOH

OA Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh :

180   radian , jadi :

dan

1.

2.

Ubahlah ke dalam ukuran radian : a . 15 b . 60 Ubahlah ke dalam ukuran derajat : 3 1  radian a. b.  radian 2 9

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

3.

 

 Cos - 1  Sin 4   6  3  5 Sin  Cot 5  6 4 

   

2

12

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

JAWAB

1.

a. b.

3.

1 15  radian  radian = 12 180 60 1 60   radian =  radian 180 3

15 

 

 Cos - 1  Sin 4   6  3  5  Sin  Cot 5  6 4 

2.

a. b.

1 1  radian = 180 = 20 9 9 3 3  radian = 180  270 2 2

2 1 1 2  2 3  3   2 2    1 3   3     1 1  4 2       2 

LATIHAN 5 1.

2.

3.

4.

Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran radian : a . 40. d . 75. b . 30. e . 120. c . 80. f . 134. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran derajat : 2 7 a.  radian.  radian. c. 3 4 3 1 d.  radian. b .   radian. 10 5 Sederhanakan : sec    A  a. cot    A  Hitunglah : 1 1  2 7   a .  sin   sec   tan   cos   3 6  3 6   b.

7 4 cot   tan 2  4 3 2

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

b.

c.

g. h. i.

e. f.

210. 250. 315.

7   radian. 6 4  radian. 9

1  tan      . cos     2 

1 1   sec  csc  3 4   7 1   tan  sin  6 6 

     



2

13

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

HUBUNGAN ANTAR PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Diketahui :

r

y

x 1.

Hubungan Antara Sinus dan Kosinus. Diketahui : sin 2  

sin 2   cos 2  

2.

y2 r2

y2 r2 

dan cos 2  

x2 r2



r2 r2

x2 r2

, jadi :

1

Hubungan Antara Sinus , Kosinus , dan Tangen. y sin  y  r   tan  x cos  x r

3.

Hubungan Antara Tangen, dan Secan. tan 2 x  1 

4.

y 2 x2 r 2  2  2  sec2 x 2 x x x

Hubungan Antara Tangen, dan Secan. cot 2 x  1 

x2 y2



Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

y2 y2



r2 y2

 csc 2 x

14

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang bernilai benar untuk semua nilai variabel. Ada dua cara untuk membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri, yaitu : 1 . Ambil salah satu ruas kemudian dibuktikan sama dengan ruas yang lain. 2 . Ambil kedua ruas, masing-masing ruas disederhanakan, dan dibuktikan bahwa kedua ruas hasilnya sama.

Buktikan identitas trigonometri berikut : 1.

1  2 cos 2 A  tan A  cot A sin A . cos A

CONTOH

1 1 2   2. 1  sin A 1  sin A cos 2 A

JAWAB 1.

Rkanan

tan A  cot A sin A cos A  cos A sin A

= =

2.

Rkiri

1 1  1  sin A 1  sin A 1  sin A  1  sin A  1  sin A  1  sin A 2 1  sin 2 A

= =

=

sin 2 A  cos 2 A cos A . sin A

=

(1  cos 2 A)  cos 2 A sin A . cos A

=

2 1  1  cos 2 A



=

1  2 cos 2 A sin A . cos A = Rkiri =





2 cos 2 A = Rkanan =

LATIHAN 6 Buktikan identitas trigonometri berikut : sin 2 x  1  cos x 1. 1  cos x 2 . tan   cot   csc  . sec  3. 4. 5. 6.

2

2

sin x . csc x  sin x  cos x

 cot

2

x1

1  cos x   1 2

1   sec   tan  sec  1  sin  cos   sin  . tan   sec 

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

7. 8. 9.

 sec

2



x  1 cot x tan x . sin x  cos x sec A  csc A sin  sec A  csc A sin 1 1  1  sin x 1  sin x

10 . cot   tan  

 sin x A  cos A A  cos A  2 sec2 x

2 cos 2   1 sin  . cos 

15

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1 . GRAFIK FUNGSI Y = SIN X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = sin x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Sudut



y

0

Sudut

210°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

1

225°

240°

270°

300°

0 315°

330°

360°

1

y

0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = sin x° , sebagai berikut : y

x 0°

30° 45° 60°

90°

120°135° 150°

180°

210° 225° 240°

270°

300° 315° 330°

360°

Nilai maksimum dari fungsi y = sin x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan 1.

Info Fungsi trigonometri termasuk fungsi yang periodik, maksudnya nilai-nilai dari fungsi tersebut akan berulang dalam suatu interval tertentu yang dinamakan periode. Periode dari fungsi y = sin x dan y = cos x samadengan 360 atau 2 radian .

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

16

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

2 . GRAFIK FUNGSI Y = COS X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = cos x °, terlebih dahulu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb :

Sudut



y

0

Sudut

210°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

1

225°

240°

270°

300°

0 315°

330°

360°

1

y

180°

0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = cos x° , sebagai berikut :

y

x 0°

30° 45° 60°

90°

120° 135° 150°

180°

210° 225° 240°

270°

300° 315° 330°

360°

Nilai maksimum dari fungsi y = cos x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan 1.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

17

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

3 . GRAFIK FUNGSI Y = TAN X° Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = tan x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb : Sudut



y

0

Sudut

210°

30°

45°

60°

90°

1 240°

225°

y

1

120°

135°

300°

315°

0

330°

360°

1



180°

1

∞ 270°

150°

0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = tan x° , sebagai berikut :

y

x 120° 135° 150°

180°

210° 225° 240°

asimtot

90°

270°

300° 315° 330°

360°

asimtot

30° 45° 60°



Nilai maksimum dari fungsi y = tan x° samadengan  dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama dengan . Periode dari fungsi ini samadengan 180 atau  radian.

LATIHAN 7 1 . Isilah tabel berikut :

x



30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

2 sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

2 sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = 2 sin x° b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

18

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

2 . Isilah tabel berikut :

x



30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

2x cos 2x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

2x cos 2x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = cos 2x° b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA Bentuk umum dari persamaan trigonometri sederhana adalah : 1.

Persamaan sinus : sin x  sin   Penyelesaian : x     k.360 atau x  180     k.360

2.

Persamaan cosinus cos x  cos   Penyelesaian : x     k.360 atau x      k.360

3.

Persamaan tangen tan x  tan   Penyelesaian : x     k.180

Dengan k bilangan bulat .

Catatan : jika tanda derajat ( “ ° ” ) tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah ukuran radian. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut : 1 1 . sin x   , untuk 0  x  360 2 2. 3.

CONTOH

2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360 1   3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2 4  

JAWAB 1.

1 , untuk 0  x  360 2 Sin x° berharga negatif di kuadran ketiga atau keempat, misal diambil pada kuadran ketiga ( jika diambil pada kuadran keempat akan diperoleh hasil akhir yang sama ). Jadi : Sin x° = sin ( 180 + 30 )°  Sin x° = sin 210° Penyelesaian : x  210  k.360 x  210  0.360  210 Untuk k = 0 diperoleh : atau x  180  210  k.360  30  k.360 x  30  1.360  330 Untuk k = 1 diperoleh : Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 210° , 330° } sin x  

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

19

Matematika Kelas X Semester 2

2.

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360 Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk umum, sbb :

3 , diperoleh : 2 cos 3x  cos 30 Penyelesaian : 3x  30  k.360  x  10  k.120 Untuk k = 0 , diperoleh x  10 atau Untuk k = 1 , diperoleh x  130 Untuk k = 2 , diperoleh x  250 cos 3x 

3.

3x   30  k.360  x   10  k.120 Untuk k = 1 , diperoleh x  110 Untuk k = 2 , diperoleh x  230 Untuk k = 3 , diperoleh x  350

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : HP = { 10° , 110°, 130°, 230°, 250°, 350° } 1   3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2 4   Bentuk umum dari persamaan tersebut, adalah : 1  1  tan  x      3. 4 3   Karena lambang derajat tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah radian, sehingga diperoleh : 1  5  tan  x     tan  4 6   Penyelesaian : 1 5 5 1 13 x      k.  x      k.  x    k. 4 6 6 4 12 1 x  Untuk k = 1 , diperoleh 12 13 x  Untuk k = 0 , diperoleh 12 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah : 1 13 , } HP = { 12 12

LATIHAN 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut : 1 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 1 . sin x  =  2 2 . 2 cos 2x  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 3 . tan ( 15  x )  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.

2 sin 3x  1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. sin ( 3x  30 )  = sin 2 x , untuk 0 ≤ x ≤ 360. 1 6 . cos x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 2 1 7 . 1+ 3 tan ( x   ) = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 3 8 . sin 3x  = cos( x – 45 ) , untuk 0 ≤ x ≤ 360 ( Petunjuk : ingat cos x = sin ( 90 – x ) ). 2 9 . cos (  x ) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 3 10 . cot 4 x + 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2. 4. 5.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

20

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

RUMUS-RUMUS SEGITIGA ATURAN SINUS

C Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus sbb :

b

a

B

c

A

a b c   sin A sin B sin C

Info Aturan sinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui : 1 . sisi  sudut  sudut 2 . sudut  sisi  sudut 3 . sisi  sisi  sudut

1. 2.

Diketahui segitiga ABC dengan  A = 45° ,  B = 60° , dan a = 12 cm. Hitunglah panjang b ! Diketahui segitiga KLM, dengan panjang sisi KL = 4 cm, panjang sisi LM = 3 cm, dan  M = 30°. Hitunglah cosinus  K .

CONTOH

JAWAB 1.

Panjang b adalah :

b a  sin B sin A

 b

a . sin B sin A

C

Jadi : 12 . sin 60 b sin 45

1 12 . 3 2  b  6 6 cm 1 2 2 2.

b

a = 12 cm 60°

45°

B

A

L

Nilai sinus dari  K adalah : k . sin M k m   sin K  sin K sin M m

1 3. 3 . sin 30 2 3 sin K   4 4 8 Untuk menentukan nilai cosinus dari sudut K , digambar sketsa berikut :

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

4 cm

K

3 cm

30

M

21

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Jadi :

8 3

cos K 

K

55 8

LATIHAN 9 1 . Diketahui segitiga ABC, dengan panjang sisi AC = 3 5 cm ,  C = 60. Jika sin B =

2 3

hitunglah panjang sisi AB ! . 2 . Diketahui segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ =

1 3 cm, QR = 4 6 cm, dan  R = 2

30. Hitunglah cosinus  P ! 3 . Pada segitiga KLM, diketahui m = 12 cm ,  K = 45, dan  C = 30. Hitunglah panjang l ! 4 . Pada segitiga RST, panjang sisi RT = 5 cm, panjang sisi ST = 5 2 cm. a . Hitunglah besar  S b . Hitunglah besar  T 5 . Dua orang pada saat yang sama berangkat menuju titik C. Salah seorang berangkat dari titik B dengan kecepatan 2 km/jam. Temannya berangkat dari titik A. Jika mereka sampai di titik C dalam waktu yang sama, hitunglah kecepatan temannya tersebut !

C

120 30 A

B

ATURAN KOSINUS Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus sbb :

C b

a 2  b 2  c 2  2bc cos A

a

b 2  a 2  c 2  2ac cos B c 2  a 2  b 2  2ab cos C

c

A

B

Bentuk lain dari aturan kosinus adalah :

cos A 

b2  c2  a2 2bc

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

cos B 

a2  c2  b2 2ac

cos C 

a2  b2  c2 2ab

22

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Info Aturan cosinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui : 1 . sisi  sudut  sisi 2 . sisi  sisi  sisi

1. 2.

Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 4 cm, CONTOH panjang BC= 6 cm , dan sudut C = 120. Hitunglah panjang sisi AB ! Segitiga PQR mempunyai panjang sisi PQ = 5 cm , PR = 7 cm, dan QR = 9 cm. Hitunglah cosinus sudut QPR !

JAWAB 1.

Panjang sisi AB, adalah :

B

AB 2  AC 2  BC 2  2 . AC . BC . cos C  AB 2  4 2  6 2  2 . 4 . 6 . cos 120  AB 2  16  36  24  76

6 cm 120

Jadi : AB  76  2 19 cm

2.

A

4 cm

Cosinus sudut QPR adalah :

cos QPR 

PQ  PR  QR 2 . PQ . PR

 cos QPR 

2

2

C P

2

Cosinus sudut QPR bernilai negatif, berarti sudut QPR merupakan sudut tumpul.

7 cm

5 cm

52  7 2  92 7 1   2.5.7 70 10

Q

9 cm

R

Info Dalam navigasi, ukuran dan arah suatu sudut dinyatakan dalam bentuk jurusan tiga angka Hal-hal yang perlu diketahui : 1 . Sebagai arah patokan adalah arah utara. 2 . Sudut berputar searah jarum jam. 3 . Ukuran sudut dinyatakan dengan menggunakan tiga angka . Sebagai contoh adalah jurusan 060 pada gambar di samping.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

U 060

23

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

LATIHAN 10 1.

Diketahui segitiga ABC , dengan panjang AB = 2 3 cm, panjang BC = 5 2 cm, dan  B = 135 . Hitung panjang sisi AC !

2.

Diketahui segitiga PQR , dengan panjang PQ = 4 cm, panjang QR = 3 cm, dan panjang PR = 3 cm. Hitung nilai cosinus dari  P,  Q, dan  R ! Sebuah kapal berlayar dari kota A ke kota B dengan jurusan 045 sejauh 60 km dari kota A, kemudian kembali berlayar dengan jurusan 135 menuju ke kota C sejauh 120 km dari kota B .Hitunglah jarak dari kota A ke kota C. Dua buah kapal berangkat bersama dari tempat yang sama dan membentuk sudut 60. Kapal pertama berkecepatan 12 km/jam, 60 dan kapal kedua berkecepatan 15 km/jam. Hitunglah jarak kedua kapal sesudah bergerak selama 2 jam ! Sebuah pesawat terbang dari kota A ke kota B sejauh 14 km dengan jurusan 045, kemudian terbang ke kota C dengan jurusan 135 sejauh 48 km. Hitunglah besar ABC,  ACB, dan jarak AC. Kemudian tentukan jurusan A dari C !.

3.

4.

5.

LUAS SEGITIGA Luas dari segitiga ABC dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

C b

1 1 1 L = a b sin C , atau L = a c sin B , atau L = b c sin A 2 2 2

A

a

B

c

Info 1 . Jika sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya beserta sisi yang diapit kedua sudut tersebut, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

C

Jika segitiga ABC diketahui besar  B ,  C, dan sisi a , maka luasnya samadengan :

a L= Besar  A = ( 180 -  B -  C )°

A

B

2 . Jika segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya, maka luas dari segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus : L=

C

Dengan

b

.

a Rumus ini dikenal dengan nama Rumus Heron.

A

c

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

B

24

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Hitunglah luas segitiga berikut : 1 . Segitiga ABC, panjang AB = 16 cm, AC = 12 cm, dan  A = 150. 2 . Segitiga PQR, panjang QR = 8 cm,  Q = 30 , dan  R = 120. 3 . Segitiga KLM, panjang k = 10 cm , l = 6 cm , dan m = 12 cm.

CONTOH

JAWAB 1 . Luas segitiga ABC adalah :

1 AC . AB . sin 150 2 1 1 = 12 . 16 .  48 cm 2 2 2

L

B

=

16 cm 150 A

C

12 cm

2 . Besar sudut P = ( 180  120  30 ) = 30 P

Jadi luas segitiga PQR, adalah : L

3.

=

QR 2 . sin Q . sin R 2 sin P

=

8 2 . sin 30 . sin 120 2 sin 30

=

1 64 . 3 2 = 16 3 cm 2 2

Karena diketahui panjang ketiga sisinya, maka dapat dipakai rumus Heron, sbb :

s

6  10  12  14 2

Jadi : L =

120

30 Q

R

8 cm

K 12 cm 6 cm

14 . 14  6 . 14  8 . 14  12

=

14 . 8 . 6 . 2  1344

=

64 21  8 21 cm2.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

M

L 10 cm

25

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

LATIHAN 11 Hitunglah luas segitiga berikut : 1 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 10 cm, b = 2 7 cm, dan  C = 60 2 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 8 3 cm ,  B = 45, dan  C = 150. 3 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 6 cm , b = 7 cm, dan c = 4 cm. 4 . Hitunglah luas segienam beraturan yang panjang sisisisinya 20 cm ! 5 . Diketahui segitiga ABC samakaki, dengan AB = BC. Jika AC = 6 cm, dan C luas segitiga tersebut 3 7 cm², hitunglah panjang AB ! 6 cm

A

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

20 cm

B

26

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

I . PILIHAN GANDA 1.

Jika A dan B sudut lancip dengan tan

1 7 dan sin B = , nilai dari 3 3 ( cos A . tan B ) ² sama dengan … 1 A. 2 4 3 B. 2 16 128 C. 9 9 D. 128 3 E. 4 2 7 sec   sin  3 6  ... Nilai dari 1 5 cot   cos  3 6 1 A. 2 1 2 B. 2 1 3 C. 2 3 D.

4.

A =

2.

E.

3.

5.

6.

 3

Perhatikan gambar ! R 17 cm

P

13 cm

27 cm

Nilai cot Q = … 5 A. 7 1 B. 3 5 C. 13 5 D. 12 27 E. 13

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

Q

7.

Suatu segitiga ABC diketahui A = 150, sisi a = 12 cm dan sisi c = 5 cm, maka luas segitiga AMC = … A. 12 cm² B. 13 cm² C. 14 cm² D. 15 cm² E. 16 cm² Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8 cm dan BC = 7 cm. Nilai sin A adalah … 2 A. 3 1 B. 5 3 2 C. 5 5 1 D. 5 2 3 E. 5 5 ( Ebtanas 1997 ) Diketahui segitiga KLM siku-siku di L. cos K  sin K 15  ... Jika cot K = , nilai sin L  cos L 8 7 A. 17 15 B. 17 7 C. 23 23 D. 17 23 E. 7 Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm,sisi AC = 4 cm 1 dan sin A = . Nilai cos B = … 2 2 A. 5 5 1 B. 5 3 1 3 C. 2 2 D. 3 1 E. 2

27

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

8 . Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 6 cm, besar A = 30dan C = 120. Luas segitiga ABCadalah … A. 18 cm² B. 9 cm² C. 6√3 cm² D. 3√3 cm² E. 2√3 cm² ( Ebtanas 1998 ) 9 . Pada segitiga ABC, diketahui panjang sisi AB = 15 cm, BC = 14 cm, dan AC = 13 cm. Nilai tan C = … 5 A. 13 5 B. 12 12 C. 13 2 D. 3 13 E. 5 ( Ebtanas 1999 ) 3 10 . Jika sin A = , dengan 90 ≤ A ≤ 5 180, maka nilai cos A = … 3 A.  5 3 B. 5 4 C.  5 4 D. 5 3 E.  4 11 . Diketahui Δ PQR dengan PQ = 3 cm, PR = 5 cm dan QPR = 60. Jika PS garis bagi QPR, panjang PS = … 20 A. 3 9 20 B. 9 3 45 3 C. 4 20 D. 3 3 20 E. 3 6 ( Ebtanas 2001 ) 12 . Diketahui Δ ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60. CD adalah tinggi Δ ABC. Panjang CD = … 2 A. 3 cm 3

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

B. C. D. E.

3 cm 2 cm 3 3 cm 2 2 3 cm

( Ebtanas 2002 ) 13 . Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5cm, 6 cm dan √21 cm adalah … 1 A. 21 5 1 B. 21 6 1 C. 5 5 1 D. 5 6 1 E. 5 3 ( Ebtanas 2003 ) 14 . Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60. Panjang sisi BC = … A. 2√19 cm B. 3√19 cm C. 4√19 cm D. 2√29 cm E. 3√29 cm ( UAN 2004 ) 15 . Diketahui segitiga ABC dengan AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm dan  ABC = α. Nilai cos α = … 1 A.  4 11 B. 24 11 C. 18 18 D. 24 21 E. 24 ( UN 2005 ) 16 . Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = .... A. B. C. D. E.

5 7 2 6 7 24 49 2 7

1 6 7

( UN 2005 )

28

Matematika Kelas X Semester 2

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

17 . Diketahui A dan B adalah titik – titik ujung sebuah terowongan yang dilihat

D . 10

71

E . 10

61

( UN 2006 ) 19 . Nilai dari sin 315 + cos 315 + tan(60) = … A. 3

dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p√2 meter, maka panjang terowongan itu

D . 4p

 3 1 C.  2 2 1 D. 3 3 1 E.  3 3 20 . Sebuah kapal berlayar ke arah timur

E . 5p

sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan

B.

adalah … meter. A .p

5

B.p

17

C.3 2

( UN 2007 ) 18 . Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan

perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat

A dengan arah 044° sejauh 50 Km.

kapal berangkat adalah … mil.

Kemudian berlayar lagi dengan arah

A . 10 37

104° sejauh 40 km ke pelabuhan C . Jarak pelabuhan A ke C adalah ... km.

B . 30

7

A . 10 95

C . 30

52 2

B . 10

91

D . 30

52 3

C . 10

85

E . 30

52 3 ( UN 2005 kurikulum 2004 )

II . URAIAN 1 . Seseorang yang tingginya 1,6 m akan mengukur tinggi tiang bendera. Dari sebelah kiri, dia mengamati ujung tiang bendera dengan sudut elevasi 15, dan dari sebelah kanan dia mengamati dengan sudut elevasi 30. Jika jarak tempat pengamatan pertama dan kedua adalah 80 m, hitunglah tinggi tiang bendera tersebut ( ket : sin 15  0,259 , cos 15  0,696 , 30 15 tan 15  0,268 ) 1,6 m 80 m 2 . Jika   sudut lancip, tentukan perbandingan trigonometri sudut   yang lain, untuk : 5 3 a . Sin   = b. Cos   = c. Tan   = p 5 7 3 . Tentukan nilai dari : a.

Sin 2 60  Cos 2 60

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

b.

Sin 2 30  Sin 2 60 2

2

Cos 30  Cos 60

c.

Sin 60 1  Cos 60

29

Matematika Kelas X Semester 2

4.

7.

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Nyatakan sudut-sudut berikut dalam ukuran derajat.  5 a. b. rad   rad 2 6 3 7 d. e. rad  rad 4 9 2 2 catatan :  rad  rad 3 3

f.

Tentukan Koordinat Cartesius dari titik-titik berikut. a. A5, 30 b. B 4 3 , 60 d. R8, 65 e. M10, 330





8 . Tentukan koordinat kutub dari titik-titik berikut. a. K-4, 3 b. L 1, - 3 d. N 5 , 2 e. S- 2, 3 2



 

5 rad 3 13 rad 5

c.



c.

P3, 123

c.

M- 2, - 7 

9 . Lengkapi tabel berikut :

x



30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

1 + sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

1 + sin x

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Gambarlah grafik fungsi y = 1 + sin x . b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut. 10 . Lengkapi tabel berikut :

x



30°

60°

90°

120°

150°

( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

cos( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

x

180°

210°

240°

270°

300°

330°

( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

cos( x + 30 )

…….

…….

…….

…….

…….

…….

a . Gambarlah grafik fungsi y = cos (x + 30 ) . b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut.

Tri Rusdiyono, S.Pd. http://berbagimedia.wordpress.com

30

Related Documents


More Documents from ""

Trigonometri
May 2020 20
Lan 2
April 2020 34
Glaukoma.docx
May 2020 43