Integral Kedua Ii.pptx

Content • Integral Parsial • Integral Rasional

Teorema Dasar Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi : Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi : d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu

 udv  uv   vdu

Aturan yg hrs diperhatikan 1. Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan 2.

 vdu

tidak boleh lebih sulit daripada udv 

Contoh 1 :

 x cos xdx a. Misal : u = x du = dx

dv = cos x dx v = sin x

Rumus integralnya :

 x cos x dx  x sin x   sin xdx u

dv

u v

-

v du

= x sin x + cos x + c Misal diambil :

u = cos x

dv = x dx

du = -sin x dx

v = x2/2

Rumus Integral Parsialnya :

x2 x2  cos x x dx  (cos x) 2   2 ( sin x dx) Penting Sekali pemilihan u dan v Integralnya lebih susah

Pengintegralan Parsial Berulang Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali

x

2

sin xdx

Misal : u = x2 du = 2x dx

dv = sin x dx v = -cos x

Maka : 2 2 x sin xdx   x cos x  2  x cos xdx 

- Tampak bahwa pangkat pada x berkurang - Perlu pengintegralan parsial lagi

Dari contoh 1 : x sin xdx   x cos x  2 ( x sin x  cos x  c )  2

2

= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x +K

Contoh 3 : e sin xdx  x

Misal :

u = ex

dan dv = sinx dx

du = exdx

dan v = - cosx

Maka :

e

x

cos xdx  e cos x   e cos xdx x

x

Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua

 e cos xdx  x

u = ex

dv = cos x dx

du = exdx

v = sin x

Sehingga :

e

x

cos xdx  e sin x   e sin xdx x

x

Bila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama

 e sin xdx  e cos x  e sin x  e 2 e sin xdx  e cos x  e sin x  C x

x

x

x

x

x

sin xdx

x

1 x  e sin xdx  2 e (cos x  sin x)  K x

Fungsi Rasional dan Pecahan Parsial • Fungsi rasional diekspresikan sbb R( x ) 

P ( x) Q( x )

dimana P ( x ) dan Q( x ) adalah polinomial

• Untuk menghitung integral fungsi rasional, perlu dilakukan dekomposisi pecahan-parsial dari fungsi rasional tersebut.

Metode pecahan parsial adalah suatu tehnik aljabar dimana R(x) didekomposisi menjadi jumlahan suku-suku:

P ( x) R( x )   p( x )  F1 ( x )  F2 ( x )    Fk ( x ), Q( x) dimana p( x ) suatu polinomial dan Fi ( x ) pecahan - parsial A berbentuk (faktor linier) atau n (ax  b) Bx  C (faktor kuadratik) 2 n (ax  bx  c ) A, B, C , a , b, c adalah konstanta - konstanta.

Contoh

Hitung



x3 1 dx 3 x x

x3 1 1 x Dekomposis i integrand : 3  1 x x x ( x 2  1) Suku ke - 2 adalah fungsi rasional yg dapat didekompos isi 1 x A Bx  C pecahan - parsial :   2 2 x ( x  1) x x 1 Konstanta A,B dan C diperoleh dengan mengalikan kedua sisi dgn fungsi penyebut : 1  x  A( x 2  1)  ( Bx  C ) x 1  x  ( A  B ) x 2  (C ) x  A Diperoleh A  1, B  1, C  1. Jadi

1 x 1  x 1   2 . 2 x ( x  1) x x  1

Jadi fungsi rasional semula didekompos isi menjadi x3  1 1 1 x  1  2 3 x x x x 1 x3  1  1 1 x   x3  x dx   1  x  x 2  1 dx  x  ln | x |  12 ln( x 2  1)  tan 1 x  c

Faktor-faktor Linier •Jika Q(x) adalah (ax +b)n ( kelipatan n dari faktor ax +b), maka dekomposisinya

An A1 A2   , 2 n ax  b (ax  b) (ax  b) A1 , A2 ,, An konstanta •Jika Q(x) adalah faktor-faktor linier dengan kelipatan n = 1 Q( x)  (a1 x  b1 )( a2 x  b2 )  (an x  bn ) maka dekomposis i : An A1 A2   (a1 x  b1 ) (a2 x  b2 ) (an x  bn )

Ex 5 1.  dx. 2 x  1 x  2 2.



4 x 2  3x  4 dx 3 2 x  x  2x

Faktor Kuadratik Jika Q(x) adalah (ax2 + bx + c)n (kelipatan n dari faktor kuadratik ax2 + bx + c), dimana ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan i.e. b2 –4ac <0, maka dekomposisi R(x) Bn x  Cn B1 x  C1 B2 x  C2   2 2 2 ax  bx  c (ax  bx  c) (ax 2  bx  c) n B1 , B2 , , Bn , C1 , C2 , , Cn konstanta - konstanta.

Jika faktor-faktor kuadratik mempunyai kelipatan n=1, maka dekomposisi Bn x  C n B1 x  C1 B2 x  C 2   2 2 a1 x  b1 x  c1 a 2 x  b2 x  c 2 a n x 2  bn x  c n B1 , B2 ,, Bn , C1 , C 2 ,, C n konstanta - konstanta.

Jika Q(x) kombinasi dari faktor linier dan kuadratik, gunakan dekomposisi yang sesuai untuk masingmasing faktor.

Example 5x 3  3x 2  2 x  1 dx 4 2  x x x 4  x 2  x 2 ( x 2  1) 5 x  3 x  2 x  1 A B Cx  D   2 2 4 2 x x x x x 1 3

2