Integral

Anti Turunan(Integral Tak-tentu) Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan: penambahn dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan perhitungan logaritma. Setalah mengkaji pendiferensialan (penurunan), balikanya disebut anti pendiferensialan (anti turunan). Definisi Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I Jika DF = f pada I – yakni jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika pada suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi). Notasi untuk anti turunan Teorema A (Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka x r+ 1 r ∫ x dx = r + 1 + C Teorema B ∫ sin xdx = − cos x + C

∫ cos xdx = sin x + C

Integral Tak-tentu adalah linear. Teorema C (Kelinearan dari f…dx) Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak-tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka: (i) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ; (ii) ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = (iii)

∫ [ f ( x) −

∫

g ( x)]dx =

∫ g ( x)dx; dan tak tentu; ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx.

f ( x)dx +

Aturan pangkat yang diperumum Teorema D (Aturan pangkat yang diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka [ g ( x)] r + 1 r ∫ [ g ( x)] g ' ( x)dx = r + 1 + C

CONTOH 1. Carilah suatu anti turunan dari fungsi f(x) = 6x2 pada (- ∞ , ∞ ) Penyelesaian. Kita mencari suatu fungsi F yang memenuhi F’(x) = 6x2 untuk semua x riil. Kita mengetahui bahwa F(x) = 2x3 dalah fungsi yang demikian. Fungsi F(x) = 2x3 + 4 juga memenuhi F’(x) = 6x2, Jadi anti turunan F’(x) = 6x2 adalah 2x3 + C y

f(x)=2x^3 f(x)=2x^3+4

4

2

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

-4

CONTOH 2. Carilah anti turunan dari ∫ ( 2 x 3 + 3 x ) dx Penyelesaian.

∫ (2 x

3

+ 3 x ) dx = =

∫ 2 x dx + ∫ 3xdx 2 ∫ x dx + 3∫ xdx 3

3

 x4   x2  = 2 + C1  + 3 + C 2   4   2  1 3 3  1 = x 4 + x 2 +  C1 + C 2  2 2 2  2 1 3 = x4 + x2 + C 2 2

Pengantar untuk persamaan diferensial Dalam pasal sebelumnya, tugas kita adalah mengintegralkan (anti penurunan) suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru F. Kita tuliskan ∫ f ( x)dx = F ( x) + C dan ini adalah benar, asalkan F’(x) = f(x). Dalam bahasa diferensial, F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx. Sehingga kita dapat memandang rumus dalam kotak sebagai ∫ dF ( x) = F ( x) + C

Dari tinjauan ini, kita mengintegralkan diferensial suatu fungsi untuk memperoleh fungsi tersebut. PEMISAHAN VARIABEL Perhatikan persamaan diferensial dy x + 3x 2 = dx y2 Jika kedua ruas kita kalikan dengan y2 dx, kita peroleh y2 dy = (x + 3x2) dx Dalam bentuk ini, persamaan diferensial mempunyai variabel-variabel terpisah-yakni, suku-suku y berada pada satu ruas dari persamaan dan suku-suku x pada ruas lainnya. MASALAH GERAK ds dt dv d 2 s a(t) = v’(t) = = dt dt 2 v(t) = s’(t) =

CONTOH 1. Selesaikan persamaan diferensial dy 2 x + 3x 2 = dx 3y 2 Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 1 nilai y = 2 Penyelesaian. 3y2dy = (2x + 3x2) dx 2 2 ∫ 3 y dy = ∫ (2 x + 3x )dx y3 + C1 = x2 + x3 + C2 y3 = x2 + x3 + C

y = 3 x2 + x3 + C Untuk menghitung konstanta C, kita gunakan syarat y = 2 bilamana x = 1. Ini memberikan 2 = 3 2+ C 8=2+C C=6 Jadi y=

3

x2 + x3 + 6