Integral

Integral 5.1 Anti Turunan (Integral Tak-tentu) Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan penghitungan logaritma. Pendiferensialan (penurunan) telah dipelajari pada bab sebelumnya; balikannya kita sebut anti pendiferensialan (anti penurunan). Definisi Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi). Contoh 1 Carilah suatu anti turunan dari fungsi f (x) = 9x5 pada ( −∞, ∞ ). Penyelesaian Cari suatu fungsi F yang memenuhi F’(x) = 9x5 untuk semua x riil. Dengan ilmu pendiferensialan yang telah dipelajari, dapat diketahui bahwa F(x) =

9 6 x . Karena menurut Teorema 4.8.B, yang mengatakan 6

bahwa dua fungsi dengan turunan sama hanya berbeda dalam konstanta. Jika suatu anti fungsi f mempunyai suatu anti turunan, ia akan mempunyai keseluruhan famili dan setiap anggota dari famili ini dapat diperoleh dari salah satu di antara mereka dengan jalan menambahkan suatu konstanta yang cocok. Maka, anti turunan dari fungsi f (x) = 9x5 pada ( −∞, ∞ ) adalah F(x) =

9 6 x + C. 6

NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN Notasi yang dipakai adalah notasi Leibniz yang dituliskan ∫ . . . dx sebagai menunjukkan anti turunan terhadap x, sama seperti halnya Dx menunjukkan turunan terhadap x. Perhatikan bahwa Dx ∫ f(x) dx = f(x). Maka, penyelesaian contoh 1 dapat dituliskan sebagai:

∫ 9x5 dx =

9 6 x +C 6

Teorema A (Aturan Pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali −1, maka x r+ 1 ∫ xr dx = + C r+ 1 Bukti Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk ∫ f(x) dx = F(x) + C Adalah cukup dengan membuktikan Dx[F(x) + C] = f(x) Untuk kasus r = 0, yakni, ∫ 1 dx = x + C Karena selang I tidak dirinci, maka kesimpulan sahih untuk sebarang selang pada mana xr terdefinisi. Secara khusus, kita harus mengecualikan selang yang mengandung titik asal jika r > 0. 8

Contoh 2 Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x 7 . Penyelesaian 8

+1

15 x7 8 7 7 ∫ x 7 dx = 8 +C= x + C 15 +1 7

Perhatikan bahwa untuk anti penurunansuatu pangkat dari x kita perbesar pangkatnya dengan 1 dan membaginya dengan pangkat yang baru. Teorema B ∫ sin x dx = − cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

Contoh 3 Carilah Integral tak tentu (anti turunan) dari sin2x Penyelesaian

∫ sin2x dx = ∫ [

1 1 1 1 − cos 2 x ] dx = x − sin 2 x + C 2 2 2 4

Teorema C (Kelinearan dari ∫ . . . dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka: i. ∫ kf (x) dx = k ∫ f (x) dx; ii. ∫ [f (x) + g(x)] dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu? iii. ∫ [f (x) − g (x)] dx = ∫ f (x) dx − ∫ g (x) dx; Contoh 4 Cari ∫ ( u4/5 + 7u − 23 ) du memakai kelinearan dari ∫ Penyelesaian ∫ ( u4/5 + 7u − 23 ) du = ∫ u4/5 du + ∫ 7u du = ∫ u4/5 du + 7 ∫ u du 4 +1

u 5 7 2 = + u +C 4 +1 2 5 =

5 95 7 2 u + u + C 9 2

Teorema D (Aturan Pangkat Yang Diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan −1. Maka:

∫ [ g ( x )]

r

g ' ( x)dx =

[ g ( x)] r + 1 + C r+1

Contoh 5 Cari (a) ∫ 3 x x 3 − 1 dx dan (b) ∫ sin3 x cos x dx Penyelesaian (a) ∫ 3 x x − 1 dx = ∫ [g (x)] g’(x) dx = 3

1/2

(b) ∫ sin3 x cos x dx = ∫ [g (x)]3 g’(x) dx =

[ g ( x)] 1 2 + 1 + C 1 +1 2

=

[

]

3 2 3 x −1 2+ C 3

1 [ g ( x)]3+ 1 + C = sin4 x + C 4 3+ 1

5.2 Pengantar untuk Persamaan Diferensial

Sebarang persamaan dengan yang tidak diketahui berupa suatu fungsi dan yang mencakup turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui disebut persamaan diferensial. Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui. Contoh 1 (pemisahan variabel) Selesaikan persamaan diferensial du 5 x + 4 x 3 = dx u4 Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 2 nilai u = 3 Penyelesaian Seperti telah dicatat sebelumnya, persamaan yang diberikan setara terhadap u4 du = (5x + 4x3) dx Jadi, ∫ u4 du = ∫ (5x + 4x3) dx 1 5 5 u + C1 = x 2 + x 4 + C 2 5 2 u5 + 5C1 = u5 =

25 2 x + 5x4 + 5C2 2

25 2 x + 5x4 + (5C2 − 5C1) 2

u=

5

25 2 x + 5x 4 + C 2

Untuk menghitung konstanta C, kita gunakan syarat u = 3 bilamana x = 2. Ini memberikan 3 = 5 130 + C 113 = C Jadi, u=

5

25 2 x + 5 x 4 + 113 2

Pengecekan akhir adalah menggantikan hasil ini pada kedua ruas dari persamaan diferensial semula untuk melihat apakah ia benar. Dengan menggantikan pada ruas kiri, diperoleh du 1  25 2  =  x + 5 x 4 + 113  dx 5  2 

−4

5

( 25x + 20 x )

5x + 4 x 3 =  25 2  x + 5 x 4 + 113    2 

4

5

Pada ruas kanan, diperoleh 5x + 4 x 3

5x + 4 x 4 =  25 2  5 4 4 x + 5 x + 113  u   2  3

Dapat disimpulkan bahwa kedua ruas tersebut sama.

3