Integral Kedua A Ii A.pptx

Pengintegralan Parsial

Matematika Elektro Smt I 2004/2005

Integral Parsial

1

Teorema Dasar Berdasarkan pada pengitegralan rumus turunan hasil dua kali fungsi : Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi : d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu

 udv  uv   vdu

Integral Parsial

2

Aturan yg hrs diperhatikan 1.

2.



Bagian fungsi yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasikan vdu tidak boleh lebih sulit daripada udv



Contoh 1 :

 x cos xdx a. Misal : u = x du = dx

dv = cos x dx v = sin x

Integral Parsial

3

Rumus integralnya :

 x cos x dx  x sin x   sin xdx u

dv

u v

-

v du

= x sin x + cos x + c b. Misal diambil : u = cos x du = -sin x dx

dv = x dx v = x2/2

Rumus Integral Parsialnya :

x2 x2  cos x x dx  (cos x) 2   2 ( sin x dx) Penting Sekali pemilihan u dan v

Integralnya lebih susah Integral Parsial

4

Pengintegralan Parsial Berulang Seringkali ditemui pengintegralan parsial berulang beberapa kali 2 x  sin xdx

Misal : u = x2 du = 2x dx

dv = sin x dx v = -cos x

Maka :



x 2 sin xdx   x 2 cos x  2  x cos xdx

- Tampak bahwa pangkat pada x berkurang - Perlu pengintegralan parsial lagi Integral Parsial

5

Dari contoh 1 :

x

2

sin xdx   x cos x  2( x sin x  cos x  c) 2

= -x2cos x + 2x sinx + 2 cos x +K

x sin xdx   2

Integral Parsial

6

Contoh 3 :

e

x

sin xdx

Misal :

u = ex

dan dv = sinx dx

du = exdxdan v = - cosx Maka : x x x e cos xdx   e cos x  e   cos xdx

Perlu penerapan integral parsial dalam integral kedua

e cos xdx     x

u = ex

dv = cos x dx

du = exdx

v = sin x

Integral Parsial

7

Sehingga : x x x e cos xdx  e sin x  e   sin xdx

Bila hasil ini disubstitusikan pada hasil pertama

e 2 e

x

x

sin xdx  e cos x  e sin x   e sin xdx x

x

x

sin xdx  e cos x  e sin x  C x

x

1 x e sin xdx  e (cos x  sin x )  K  2 x

Integral Parsial

8