Integral

INTEGRAL

INTEGRAL Kalkulus integral dikenalkan dua macam pengertian integral, yaitu: integral taktentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial, sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area. http://rosihan.web.id

INTEGRAL I. II.

INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL TETENTU

http://rosihan.web.id

INTEGRAL TAK TENTU Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x). Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

http://rosihan.web.id

di mana k sembarang konstanta yang nilainya tidak tentu. Tanda ∫ adalah tanda integral ; dx adalah diferensial dari F(x), f(x) disebut integran; dx . F(x) + k merupakan fungsi asli.   Jika suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dengan f(x) maka:

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

PENERAPAN EKONOMI Pendekatan integral tak tentu bisa digunakan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi pada persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Kita tahu bahwa fungsi marjinal adalah turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya – yakni integrasi—dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya. http://rosihan.web.id

PENERAPAN EKONOMI I. II. III. IV. V.

FUNGSI FUNGSI FUNGSI FUNGSI FUNGSI

BIAYA PENERIMAAN UTILITAS PRODUKSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN http://rosihan.web.id

FUNGSI BIAYA Biaya total

:

Biaya marjinal : Biaya total adalah integrasi dari biaya marjinal

http://rosihan.web.id

Kasus: Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.

http://rosihan.web.id

Jawab

Konstanta k adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut sebesar 4, maka: C = Q3 – 3Q2 AC = Q2 – 3Q4/Q http://rosihan.web.id

FUNGSI PENERIMAAN

http://rosihan.web.id

Kasus: Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4 Q

http://rosihan.web.id

Jawab:

http://rosihan.web.id

FUNGSI UTILITAS

http://rosihan.web.id

Kasus Carilah persamaan utilitas total dari eorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10 Q.

http://rosihan.web.id

Jawab

Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tidak aka nada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi. http://rosihan.web.id

FUNGSI PRODUKSI

http://rosihan.web.id

Kasus Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP=18 X-3X^2. Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya

http://rosihan.web.id

Jawab

Dalam persamaan produk total juga konstanta k = 0, sebab tidak akan ada barang ( P ) yang dihasilkan jika tak ada bahan ( X ) yang diolah atau digunakan. http://rosihan.web.id

FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN Dalam ekonomi makro, konsumsi ( C ) dan tabunagan ( S ) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional ( Y ). C=f ( Y )=a+bY MPC=C^'= dC/dY=f^' ( Y )= b Karena Y=C+S, maka S=g( Y )= -a+( 1-b)Y MPS=S^'= dS/dY=g^' (Y)=( 1-b ) http://rosihan.web.id

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masingmasing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.

Konstanta pada fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masing-masing adalah autonomous consumption dan http://rosihan.web.id autonomous saving.

Kasus Carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah Negara jika diketahui autonomous consumptionnya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8.

http://rosihan.web.id

Jawab

http://rosihan.web.id

INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variable bebasnya memiliki batas-batas tertentu. Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa

http://rosihan.web.id

Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi antara x = a dan x = b dimana amaka x dapat disubtitusi dengan nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaannya menjadi :

http://rosihan.web.id

F(b) – F(a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b.Secara lengkap dapat dituliskan menjadi :

http://rosihan.web.id

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dengan sumbu horizontal – x dan menghitung luas area yang terletak di antara dua kurva. Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x), di mana F(x) Maka luas area antara kedua kurva ini untuk rentang wilayah dari a ke b ( a adalah : http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU Untuk a < c < b, brlaku:

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

http://rosihan.web.id

Penerapan Ekonomi

1.Surplus

konsumen 2. Surplus produsen http://rosihan.web.id

1.

Surplus konsumen Surplus konsumen adalah suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati konsumen, berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Fungsi permintaan P=f(Q) jumlah barang yang akan dibeli pada harga tertentu. http://rosihan.web.id

Besarnya surplus konsumen :

Cs  Atau

0



Qe

Cs 

f (Q)dQ  Qe Pe

Pe



p^

f ( P)dP

http://rosihan.web.id

Contoh kasus : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0.03 P2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30. http://rosihan.web.id

Jawab Q = 48 – 0,03 P2

Jika Q = 0, P = 40 = Pˆ

Jika P = 0, Q = 48

 Cs

Pe



p^

P = 30, Q = Qe = 21

f ( P)dP 

30



40

(48  0.03P 2 )dP

   48(40)  0.01(40)   48(30)  0.01(30)   48P  0.01P

3 40 30

3

3

 (1920  640)  (1440  270)  110 . http://rosihan.web.id

2. Surplus Produsen Adalah suatu keuntungan yang dinikmati produsen berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yanng ditawarkannya. Besarnya surplus produsen :

Cs  Qe Pe 

0



Qe

f (Q )dQ

Atau

Ps 

P^



Pe

f ( P )dP

http://rosihan.web.id

Contoh Kasus Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10? Jawab : P = 0,50Q + 3 Q = -6 + 2P P=0 Q = -6 Q=0 P = 3 = P^ Pe = 10 Qe = 14 http://rosihan.web.id

 Qe Pe 

0



Qe

 (14)(10) 

0

f (Q ) dQ



14

(0,50Q  3) dQ

  140  0,25(14)

 140  0,25Q  3Q 2

2



14 0

 



 3(14)  0,25(0) 2  3(0)

 140  91  0  49. http://rosihan.web.id

Trimakasih

http://rosihan.web.id