Desarrollo Del Trabajo Colaborativo, Semanas 3,4 Y 5 - Subgrupos 12

DESARROLLO TRABAJO COLOBORATIVO SISTEMA DE HILL SITUACIÓN PROBLEMA: MENSAJES OCULTOS

Julio Cesar Ortega Tabares Dilber Yusep Bravo Tijaro Nicolás Santiago Bernal Galán Ronald Fabián Perez Cardozo SUB GRUPO 12

Profesor Víctor Serrano CB/PRIMER BLOQUE-ALGEBRA LINEAL

POLITECNICO GRAN COLOMBIANO 2018 – 2

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo vamos a mostrar la implementación de un sistema criptográfico basado en el uso de matrices cuadradas denominado CIFRADO DE HILL, el cual se apoya en la utilización de algunos lineamientos del álgebra lineal (especialmente matrices), para su correcto funcionamiento. Cabe resaltar que dicho sistema fue creado por el matemático Lester S. Hill en 1929, siendo a su vez el primer cifrado poligráfico que era practico para operar en más de tres símbolos, además de estar basado en una sustitución poli alfabética, es decir que cada letra del alfabeto tiene asignado un número, lo que permitía cifrar los mensajes de forma práctica. Cabe resaltar que la aplicación de este sistema nos permitirá reforzar los conocimientos relacionados con operación entre matrices, matriz inversa y métodos de reducción, lo cual estará sustentado con la realización de las actividades que se mostraran en el presente documento.

Actividad 1.

Consultar el sistema de Hill para encriptar y des encriptar mensajes. Luego, describa el proceso (paso a paso) para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave y la asignación numérica que aparece en el siguiente recuadro (en él, el símbolo “_” representa el espacio entre las palabras). #1

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S

T U V W X Y Z

_

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Solución:

Con la palabra de DEDICACION buscamos remplazar cada letra con números según el cuadro #1 dado por la actividad:

#2

D

E

D

I

C

A

C

I

O

N

3

4

3

8

2

0

2

8

15

13

Una vez se remplace las letras por los números como se realizó en el cuadro #2 procedemos a hace agrupación de par de letras (DE)(DI)(CA)(CI)(ON) con sus respectivos números y se organizan en una matriz 2x1 para de esta forma proceder a multiplicar con la matriz Clave que es 2x2 y con los resultados se cada operación se procede a remplazar por las letras que se encuentran en el cuadro #1 (ojo, hay que tener presente que estamos manejando Modular 29 para los números que superan el numero 28)

Multiplicación de Matrices:

De esta forma nos quedaría encriptado el Mensaje:

L

E

S

I

C

A

R

I

M

N

11

4

19

8

2

0

18

8

12

13

Actividad 2 Suponga que se intercepta el mensaje .IBFQSZAGNAFVLNBVDFAVDLQ.FWSWY Junto con este mensaje encriptado, solo se logró obtener la matriz clave La misión del grupo es: 1. Descifrar tal mensaje. 2. Detallar organizadamente todos los procedimientos que se realizaron para descifrar el mensaje. Solución: Para desencripetar se inicia transformado la matriz Clave por la matriz inversa, nosotros la hicimos mediante el método de GAUSS JORDAN

Se obtiene la matriz Inversa

como podemos ver la matriz inversa quedo de tamaño 3x3, Se procede a formar grupos de tres letras con su respectivo número y se forma matrices de 3x1 y se procede a realizar la multiplicación con la matriz 3x3 inversa la cual fue resultado de la matriz clave; una vez hagamos el procedimiento de multiplicación y tengamos los resultados de cada operación por letra procedemos a reemplazar las letras y de esta forma se obtendrá el mensaje oculto :

Como podemos observar una vez realizadas las multiplicaciones de cada matriz y se reemplace cada número por la letra correspondiente podemos obtener el siguiente mensaje:

Análisis Podemos observar como en el método de Hill se resuelve mediante planteamientos con matrices, se procedió inicialmente a remplazar los números dados por cada letra del alfabeto y en este caso agregamos (._) como Modular 29 para de esta forma buscar remplazar números mayores a 29, en las dos actividades siempre nos dieron la matriz clave la cual funciono para encriptar el mensaje se hace una multiplicación de matrices cuadradas y para la segunda actividad se tenía que desencriptar para lo cual se realizó el proceso de la matriz inversa de la matriz clave dada por la actividad y con esta matriz de igual forma se procedió a la multiplicación y remplazar las respuesta con letras para formar la palabra encriptada. De esta forma damos solución al método de Hill utilizando algebra lineal desde 1929.

Conclusiones