Trabajo Grupal Calculo I.pdf

TRABAJO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

Trabajo colaborativo Subgrupo 38

Pérez Cardoso Ronal Fabian Flórez Sanchez Kelly Yurley

COD: 1821980283 COD: 1821982143

Tutor: Natalia Moreno

UNIVERSIDAD POLITECNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS INGENIERÍA INDUSTRIAL CALCULO 1 BOGOTÁ 2018

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo vamos explicar y demostrar la implementación de los diferentes teoremas de solución para distancias y ángulos trigonométricos que puede formar un recorrido triangular de tres puntos ya sean ciudades o países los cuales se conectan en una ruta cotidiana de un avión. Podremos ver las distancias entre cada ciudad al igual que los ángulos internos que estas forman con teoremas como los del Seno y Coseno aplicados a un triángulo No rectángulo; de igual forma se tiene que tener muy presente los datos que nos da los diferentes problemas ya que de esto depende la aplicación de los dos teoremas y también poder comprender de qué forma se realizan los distintos despejes de estas fórmulas para poder hallar las incógnitas solicitadas.

Actividad 1. ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? Explique claramente su respuesta.

Solución: La palabra Trigonometría quiere decir el estudio de las relaciones entre lados y ángulos de un Triángulo, como podemos observar en el ejercicio nos están dando tres puntos de ciudades diferentes A,B,C los cuales por el planteamiento de distancias se llega a la conclusión de que formaran un triángulo, de lo cual la única incógnita que existe es la distancia entre B y C. Para hallar esta distancia se utilizan varios teoremas, para esto necesariamente tenemos que saber por lo menos tres elementos como lados o ángulos: 

Teorema de Pitágoras:



Teorema del seno



Teorema del Coseno



Formula de Herón

Teorema de Pitágoras: Este teorema se implementa cuando tenemos conocimiento de un Angulo que forman las ciudades es 90° es decir un triángulo rectángulo, donde se identifica los lados de la siguiente manera: 

lado más largo: Hipotenusa



lados cortos: catetos.

para un triángulo rectángulo se aplica la formula Hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de sus catetos al cuadrado.

Teorema del Seno Este teorema se utiliza para cualquier tipo de triangulo que formen estas tres ciudades las cuales tengas sus tres respectivos ángulos (β)(α)(γ) estos son los ángulos opuestos a los lados respectivamente, con esta ecuación y con las valores que nos puedan suministrar de cada ciudad se remplaza y se despaje los valores a ubicar

Teorema del coseno Con este teorema se utilizaría para hallar la distancia entre B,C siempre y cuando tengamos la longitud de dos lados y la medida de un Angulo interior y este Angulo tiene que ser opuesto al lado que se va buscar. Es decir, Sea un triángulo cualquiera con los ángulos αα, ββ y γ los cuales con los ángulos opuestos a cada lado entonces puede hallar el lado necesario despejando la ecuación de la siguiente manera:

FORMULA HERON

Inicialmente esta fórmula se usa únicamente para hallar el área pero si en el problema me dieran el área, despejando la formula podríamos obtener Esta sería la última forma o posibilidad de encontrar la distancia B,C; con este teorema lo que se busca es hallar el área del Triángulo que forman estos tres puntos A,B,C que a su vez forman un triángulo, pero para implementar esta fórmula tenemos que conocer todas sus tres longitudes a,b,c

Area= √𝑆(𝑠 − 𝑎)(𝑏 − 𝑎)(𝑠 − 𝐶)

Pero para hallar esta fórmula tenemos que hallar el SEMIPERIMETRO con la siguiente fórmula: 𝑆=

a+b+c 2

Donde a, b y c son los lados del triangulo

Hay que aclarar que con esta fórmula solo es para hallar el área de un triángulo.

2.

En la siguiente imagen se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona

en Colombia las distancias entre Bogotá y algunos de sus

destinos. Con base en esta responda las siguientes preguntas:

a) Si la aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia: Tenga en cuenta el tipo de aeronave. Solución: Debemos tener en cuenta el precio de combustible por Km y los Km recorridos Suponiendo que el precio del combustible se mantenga, las variables serian los Km recorridos, Se debe conocer el precio galón del combustible La función quedaría: C(x)= ax+b A = $ combustible por Km

X = Km recorridos Suponiendo que una aeronave gasta 1.000 Lt por 100 Km = 10Lt* Km Si el precio del combustible esta en 2.02 Un Galón= 3,785 Lt $0.533Lt 1Km 10Lt *0.533 En 1 Km $5.33

B. Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Bogotá y Cali, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo Bogotá-Cali-Rio Negro. Solución:



Lo primero es verificar y nos darnos cuenta que el Problema nos da dos (2) ángulos uno adyacente (52,59°) y un Angulo opuesto (42,44°) y contamos con la distancia entre Bogotá (e) - Rionegro (c).



Lo segundo es averiguar a cuanto equivale el Angulo B, como sabemos que la suma de todos lo ángulos internos de un Angulo Suman 180°.

Explicación: Al trazar una recta paralela a uno de los lados de la base por el vértice opuesto a el ángulo interior del lado izquierdo suman dos rectos

Por esta razón procedemos a verigual el angulo faltante C= 180°-E-F C=180°-42,44°-52,59° C=84,97° 

Ya con el Angulo encontrado procedemos aplicar Teorema del seno 𝑓 𝑐 𝑒 = = 𝑠𝑒𝑛 𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐸 𝑓 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝐹 𝑠𝑒𝑛𝐶

De esta fórmula conocemos 3 incógnitas, por lo cual podemos halar la distancia entre Bogotá y Cali.

C= C=

𝑓 (𝑠𝑒𝑛 𝑐) 𝑠𝑒𝑛 𝐹 218 (𝑠𝑒𝑛 84.97) 𝑠𝑒𝑛 42.44

C= 321.79 KM Distancia entre Bogotá - Cali

3. Dada la siguiente ruta Bogota – Buenos Aires – Rio de Janeiro Calcular:

a) La distancia entre la ciudad de Bogotá y la ciudad de Buenos Aires.

En este caso tenemos un triángulo el cual lo componen tres ciudades Buenos Aires (A), Rio Janeiro (B) y Bogotá (C) y en cual nos dan la distancia entre Buenos Aires y Rio de janeiro (c) y la distancia entre Bogotá y Buenos Aires (a), ademas nos dan el Angulo que forma el triángulo entre la ciudades Bogotá - Rio de Janeiro y Buenos aires dando como incógnita la distancia Bogotá - Buenos aires podemos aplicar el teorema de Coseno de la siguiente manera 

Primero verificamos que nos den dos lados en este caso (a y c)



Segundo verificamos que el Angulo que nos da el problema sea el que forme estos dos lados en este caso es B= 81,64°. con esta información procedemos a utilizar la formula del coseno dejando como incógnita (b)

Tenemos los siguientes ángulos: A=? B= 81,64° C=? los siguientes lados: a = 4531 km b=? c = 1954 km Aplicamos la ecuación del teorema de Coseno: b2=a2+c2-2(a)(c)x cos(β) b2=45312 Km+ 19542 Km-2 (4531Km)(1954Km)xcos(81,64) b2=20529961 Km+ 3818116Km-17707148 KmXcos(81,64) b2=21773593,13 Km b=√21773593,13𝐾𝑚 b=4666.21829 Km

Respuesta: La distancia entre Bogotá y Buenos Aires en avión es de 4666,218 km

b) Halle los ángulos A y C

Tenemos los siguientes ángulos: A= ? B= 81,64° C= ? los siguientes lados: a = 4531 km b = 4666, 218 c = 1954 km

Con estos datos procedemos hallar los ángulos internos y para esto utilizaremos el Teorema del SENO 𝑎 𝑏 𝑐 = = sin(𝛼) sin(𝛽) sin( 𝛾) 𝒂 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏𝑨 𝒔𝒆𝒏𝑩

4531𝐾𝑚 4666,218 𝐾𝑚 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 sen 81,64 sin 𝐴 =

4531𝐾𝑚𝑥 0.9989 4666,218𝐾𝑚

𝐴 =sin-1(0.9603) A= 73,80º

Ya tenemos los siguientes datos de ángulos: A= 73,80° B= 81,64° C= ? ahora sabemos que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo da 180° entonces: 180° = A+B+C 180°- A-B = C 180°-73,80°-81,64° = C C= 24,56°

Respuesta: Los Ángulos internos del triángulo son A= 73,80° B= 81,64° C= 24,56°

Análisis: Como podemos ver mediante las ecuaciones del Seno y Coseno se pude solucionar las incógnitas dadas ya sean buscar los ángulos internos o las distancias entre los distintos lados que conforman el triángulo No rectángulo, al igual aplicamos despejes de ecuaciones todas con base a estos dos teoremas (Seno y Coseno) ya que esto es fundamental para poder dar solución a lo planteado.

Conclusiones: 

El teorema del Seno y Coseno se utiliza para hallar lados de un triángulo No rectángulo despejando la formulas.

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Con el teorema de Seno se utilizó para hallar los ángulos internos del triángulo que formaban estas rutas.

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Para la aplicación de los diferentes teoremas se tiene que tener muy presente los tipos de triángulos que existen ya que para triángulos rectángulos se procede de otra forma.