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CASO DE FACTORIZACIÓN

La factorización es el ejercicio de reducir una ecuación. Se simplifica a una más pequeña y simple. Es considerada como la operación matemática inversa a la multiplicación, que tiene como fin hallar el producto de dos o más factores, factorizar una ecuación es hallar la derivación de una operación el cual su resultado va a ser iguala la ecuación planteada. Existen varios métodos de factorización para casos especiales y son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Diferencia de cuadrados Suma o diferencia de cubos. Suma o diferencia de potencias impares iguales. Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio de la forma x²+bx+c Trinomio de la forma ax²+bx+c. Factor común. Triángulo de Pascal como guía para factorizar.

A continuación exploraremos los 10 casos de factorización que podremos encontrar

FACTOR COMÚN Cuando todos los términos de un polinomio tiene un factor común. a2 +ab=a(a+ b) Ejemplo 2

16 a +9 ab=4 a+3 a (4 a+3 b) FACTOR COMUN POLINOMIO: a (x + 1) + b(x + 1) RTA: (x + 1) (a +b) Ejemplo: 2 6 a ( a−b ) +2 a( a−b)+ 8(a−b)

= (6 a2 +2 a+ 8)

FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta dos características, términos repetidos como variables y números sin factor común, se identifica ya que tiene un número par de términos. EJEMPLO:

2 a+2 b+3 ca+3 cb

Podemos agrupar así:

( 2 a+2 b ) +(3 ca+3 cb)

Se aplica el caso1:

2 ( a+b )+3 c(a+b) (2+3 c)(a+b)

TRINOMIO CUADRADO Se determina por tener tres términos, los cuales dos tienen raíz cuadrada exacta y el resto es PERFECTO igual al doble de producto de las raíces del primero por el segundo. b a+¿ FORMULA: ¿ ¿ b a−¿ ¿ ¿ b 5 a−3¿ EJEMPLO: ¿ ¿

DIFERENCIA DE CUADRADO Se caracteriza por tener dos términos elevados al cuadrado, enlazados por el signo (-), i se PERFECTO resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido al producto de la forma(a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo). FORMULA: ( dx−ca ) ( dx+ ca )= ( dx )2 −( ca )2 x 3¿ ¿ EJEMPLO: 2 2 a ¿ =(3 x +2 a)(3 x−2 a) 9 x 2−4 a 2=¿

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Se caracteriza por tener tres términos, dos son cuadrado perfecto y el tercero hay que completarlo mediante una suma para que sea el doble producto de las dos raíces. El valor que se suma es el mismo que resta para que el ejercicio original no cambie. FORMULA: a2 +a b +b2 2

2

a +a b +b +(ab−ab) 2

ACLARACIÓN VISUAL

2

a +2 a b+ b −ab (a+ b)2 −ab

TRINOMIO DE LA FORMA x 2+ bx+ c O TRINOMIO SIMPLE Se caracteriza por tener tres términos, hay un literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de 2 paréntesis, en los cuales se coloca la raíz cuadrada de las variables buscando dos números multiplicados den como resultado el termino independiente y sumado (pudiendo ser numero negativo) den como resultado el término medio. EJEMPLO:

x 2+ 8 x +12=( x +6)( x+ 2)

TRINOMIO DE LA FORMA a x 2+ bx+ c O TRINOMIO COMPUESTO En este caso se tienen 3 términos: el primer término tiene un coeficiente distinto de 1, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el 3 término es independiente, sin una parte literal EJEMPLO: 4 a2 +12 a+ 9 FORMULA: 2 4 a ( 4 )+12 a ( 4 ) +(9∗4)

4 2 a2+ 12a ( 4 ) +36 Se encuentra un número que multiplicado del ultimo termino y que sumado sea igual al término de la mitad, luego colocamos a2 sin ser elevado en paréntesis, y colocamos los dos términos descubiertos (4 a+6)(4 a+6) terminamos dividiendo estos términos por el ( 4 a+6 ) ∗( 4 a+ 6 ) 2 (4 a+6)( 4 a+6) coeficiente de a 2 ≔ 4 2 Así queda la factorización:

( 2 a+3 ) ( 2 a+3 )=(2 a+3)2

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES La suma de dos números a la potencia n, an +b n se descompone en dos factores (siempre que n sea número impar): queda de la siguiente manera an−1−an−2 b+a n−3 b 2−…−a bn−2 +¿ n n a +b =(a+b)¿

n−1

b

¿

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar quedando de la siguiente manera EJEMPLO: a3 −1=( a−1)(a 2+ a+1) 2

2

a −b =(a−b)(a+ b)

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Su proceso consiste en los siguientes pasos: Suma o diferencia de cubos: a³ + b³ FORMULA: Suma de cubos x³+ y³ = (x + ) (x² - xy + y²) Se resuelve de la siguiente manera. El binomio de la suma de las raíces cúbicas de ambos términos (x + y).El cuadrado del primer término, [x²], [-] el producto de los 2 términos [xy] [ + ] El cuadrado del segundo término; [y²] Ejemplos: DIFERENCIA DE CUBOS x³- y³ = (x - y) (x² + xy + y²) El binomio de la resta de las raíces cubicas de ambos términos (x - y); El cuadrado del 1er termino, [x²]; [+] El producto de los 2 términos [xy]; [+] El cuadrado del 2º término; [y²]

POSIBLES CEROS En este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente del polinomio que no está acompañado de una variable entre los divisores del coeficiente principal [1] y se dividen uno por uno. Si el enunciado es este: 3

2

a + a −5 a−6

Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:

Pc= x=

± ( 1,2,3,6 ) =± ( 1,2,3,6 ) ± ( 1)

Donde se puede notar que como se menciono anteriormente cada divisor de arriba fue dividido por el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno. Ahora se toma como dividendo los coeficientes del enunciado, como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir, residuo cero). 2 (a+2)(a + a−3) Ejemplos

a 2−3 ¿ ¿ 2 2 3 2 2 2 3 3 8−36 a−54 a +27 a =( 1 ) .2 − ( 3 ) . 2 .3 a−( 3 ) .2 .3 a + (1 ) . 3 a =¿ 4

1+ a ¿ 1+4 a+6 a2 + 4 a3 + a4 =¿