Presentacion Sobre Termodinamica De La Radiacion Electromagnetica Cerca A Una Superficie De Schwarzschild

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´ PROPIEDADES TERMODINAMICAS DE LA ´ ELECTROMAGNETICA ´ RADIACION CERCA DE UNA SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD. W. A. Rojas C. y R. Arenas S. ´ OBSERVATORIO ASTRONOMICO NACIONAL Universidad Nacional de Colombia

Octubre 2009

´ DE LA NACIONALU ´ OMICO ´ ELEC W. A. Rojas C. y R. Arenas S. OBSERVATORIO PROPIEDADES TERMODIN ASTRON AMICAS RADIACION

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´ TERMODINAMICA DE LA RADIACION ´ ELECTROMAGNETICA

Esta presentaci´on tratara sobre dos aspectos de la radiaci´on electromagn´etica: 1

Propiedades t´ermicas de la radiaci´ on electromagn´etica: tales como energ´ıa libre de Helmhotlz (F), entrop´ıa (S), energ´ıa interna (E), calor espec´ıfico (C) y presi´ on (P).

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´ TERMODINAMICA DE LA RADIACION ´ ELECTROMAGNETICA

Esta presentaci´on tratara sobre dos aspectos de la radiaci´on electromagn´etica: 1

Propiedades t´ermicas de la radiaci´ on electromagn´etica: tales como energ´ıa libre de Helmhotlz (F), entrop´ıa (S), energ´ıa interna (E), calor espec´ıfico (C) y presi´ on (P).

2

Aplicar el m´etodo de Einstein al contexto gravitacional bajo la aproximaci´on de altas energ´ıas para comprobar la estructura granular de la radiaci´ on.

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Propiedades t´ermicas de la radiaci´on electromagn´etica

Sea una m´etrica de la forma (que incluye los casos Schwarzschild, Reissner-Nordstrom de Sitter, etc): ds2 = −f (r)dt2 + f (r)−1 dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2

(1)

Retomando la expresion () para la energ´ıa libre de Helmoltz para la radiaci´on electromagn´etica en el espacio-tiempo de Minkowski []:   Z 4 T4 ~ω(K) π 2 kB F 4πK 2 dK − k T B = kB T Ln 1 − e = − (2) V (2π)3 90~3 c3

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Propiedades t´ermicas de la radiaci´on electromagn´etica Sea V , el volumen de una esfera: Z Z Z V = r2 sinθdrdθdφ Introduciendo la anterior expresion en la ecuaci´ on () se halla: 4 Z √ π 2 kB F =− T 4 −gd3 x 3 3 90~ c

(3)

Donde el termino d3 x = dθdφdr Y la ley de Tolman: Z √ 4 T V = T 4 −gd3 x

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Propiedades t´ermicas de la radiaci´on electromagn´etica Tendremos que la forma final para la energ´ıa libre Helmholtz en un campo gravitacional intenso es []: Z Z ~ω(K) 4πK 2 dK √ kB T T 4 −gd3 x (4) F = kB T Ln 1 − e (2π)2 Para evaluar primera integral que existe en (), la cual converge al 4 valor de − π45 , asi que: 4 Z √ π 2 kB F =− T 4 −gd3 x (5) 3 3 90~ c " #4 4 Z π 2 kB T∞ p F = r2 sinθd3 x (6) 90~3 c3 f (r)

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Propiedades t´ermicas de la radiaci´on electromagn´etica Cerca del horizonte se puede reemplazar la coordenada r por la coordenada ρ, que mide la distancia propia desde el radio de Schwarzschild: 2Gm κ2 ρ2 ≈ (7) c2 r c4 La energ´ıa libre de Helmoltz para un sistema que se halla en un campo gravitacional de acuerdo a () en coordenadas de Rindler toma la forma: Z Z 4 c3 π 2 kB 4 −3 2 κ d σ ρ−3 dρ (8) F =− T 90~3 ∞ Donde hemos aprovechado el hecho de hacer d3 x = dρd2 σ. R 2 Haciendo A = d σ:   4 c3 π 2 kB 1 ρ=ρ0 4 −3 F =− T κ A − (9) 90~3 ∞ 2ρ2 ρ=0 1−

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Propiedades t´ermicas de la radiaci´on electromagn´etica Asi, tenemos que la funci´ on para la energ´ıa libre de Helmholtz diverge para cuando ρ = 0 (sobre el horizonte). Luego se hace necesario introducir un cut off para evitar la divergencia y asi poder evaluar (). Con la aproximaci´ on de δ  , () se puede reduce a: 4 c3 π 2 kB T 4 κ−3 A (10) 180~3 2 ∞ De la termod´ınamica estandar sabemos la relaci´ on entre entrop´ıa y la energ´ıa libre de Helmholtz:   4 c3 π 2 kB ∂F S=− = T 3 κ−3 A (11) ∂T∞ V 45~3 2 ∞

F =−

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Propiedades t´ermicas de la radiaci´on electromagn´etica La energ´ıa interna1 corresponde a: 4 c3 π 2 kB T 4 κ−3 A 60~3 2 ∞ La capacidad calor´ıfica a volumen constante es:   4 c3 π 2 kB ∂E Cv = = T 3 κ−3 A ∂T∞ V 15~3 2 ∞

E=

Calculamos la capacidad calor´ıfica a presi´ on constante:   4 c3 π 2 kB ∂S = Cp = T∞ T 3 κ−3 A ∂T∞ P 15~3 2 ∞

(12)

(13)

(14)

1

dE = dF + T∞ dS

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Propiedades t´ermicas de la radiaci´on electromagn´etica

Dado que la presi´on viene dada en t´erminos de un diferencial energ´etico (F ) respecto a uno volum´etrico a temperatura constante; tal diferencial podemos expresarlo como ∂V = ∂A. Entonces:   4 c3 π 2 kB 1 ∂F = T 4 κ−3 (15) P =−  ∂A T∞ 180~3 3 ∞

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso En este apartado verificaremos si la noci´ on de fot´ on hallada por Einstein en 1905 [1] se mantiene cuando se estudia la radiacion electromagn´etica en una superficie de Schwarzschild. Seguiremos el m´etodo usado por Einstein. En condiciones de equilibrio termodin´amico, la radiaci´ on que rodea al horizonte tendra m´axima entrop´ıa. Consideremos que la radiaci´ on electromagn´etica cerca de la superficie de Schwarzschild est´a en equilibrio t´ermico, luego su temperatura es T∞ = Th . De acuerdo con el cl´asico segundo principio de termodin´amica, suponemos la radiaci´ on electromagn´etica como un sistema f´ısico que est´a en un definido estado que posee una entrop´ıa S = V φ. Tal entrop´ıa consiste de la entrop´ıas monocrom´aticas que estan separadas las unas de las otras. Por lo que podemos obtener por adici´ on [25]: Z ∞ S= V φdν (16) 0

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso Lo anterior es valido para el espacio-tiempo minkowskiano. En el caso de un espacio-tiempo curvo se debe tener en cuenta como se afecta el volumen del sistema f´ısico con la gravedad, sea 2 √ dr elemento de volumen en coordenadas esf´ericas dV = 4πr f (r)

afectado por la gravedad. Asi se tendra que (2) se transforma en: RZ ∞

4πr2 dr φ(ρ(ν), ν)dν p f (r) 0 0 Einstein [1] y Planck [25] demostrar´ on que para la radiaci´on electromagn´etica que en el espacio euclideo: Z ∞ δ φ(ρ(ν), ν)dν = 0 Z

S=

(17)

0

Lo cual conduce obligatoriamente a:

∂φ 1 = (18) TPROPIEDADES ´ DE LA NACIONALU ∞ ´ OMICO ´ ELEC W. A. Rojas C. y R. Arenas S. ∂ρ OBSERVATORIO TERMODIN ASTRON AMICAS RADIACION

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso De acuerdo con Planck, el concepto de temperatura gana de nuevo significado en el caso de la distribuci´ on de cuerpo negro. Asi para una frecuencia espec´ıfica de radiaci´ on la relaci´ on entre temperatura y densidad de entrop´ıa esta dada por (2) y entre todas las distribuciones posibles la normal one est´a caraterizada por el hecho que todas las radiaciones de todas las frecuencias tiene la misma temperatura cuando la radiaci´ on se halla en el espacio-tiempo plano. En nuestro trabajo tendremos que temperatura estara dada por la ley de Tolman:

1 1 1/2 ∂φ = = f (r) (19) ∂ρ T (r) T∞ Por otro lado veamos la funci´ on de distribuci´ on de cuerpo negro para la radiaci´on electromagn´etica de acuerdo a planck: # " 8πhν 3 (r) 1 ρ(ν, r) = (20) hν(r) c3 kB T (r) ´ ´ ´ ELEC e − 1 AMICAS W. A. Rojas C. y R. Arenas S. OBSERVATORIO PROPIEDADES TERMODIN ASTRON OMICO DE LA NACIONALU RADIACION

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso

Asi se tendra que la frecuencia y la temperatura (dada por la ley de Tolman) se ven afectadas por la gravedad. La frecuencia luego toma la forma2 : ν = ν0 f 1/2 (r)

ρ(ν, r) =

8πh(ν0

f (r)−1/2 )3 c3



 1

 e

2

[38]

(21)

hν0 f (r)−1/2 kB T∞ f (r)−1/2



(22)

−1

Una demostraci´ on completa de esta formula se puede ver en la referencia

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso Con la aproximaci´on de

hν0 kB T∞

 1, la ecuaci´ on (7) se reduce a:

8πh(ν0 f (r)−1/2 )3 k hνT0∞ e B (23) c3 Que corresponde a la funci´ on de distribuci´ on de Wien para la radiaci´on de cuerpo negro. Observece que la correcci´on de la frecuencia es compensada por la correcci´ on de la temperatura por lo que el efecto neto es nulo sobre el argumento del exponente. Despejando de (8) el t´ermino T1∞ e incertandolo en (4): 1/2 dφ kB ρc3 f (r) =− Ln (24) dρ hν0 8πhν03 f −3/2 (r) Integrando (9): " # ρc3 f 3/2 kB f 1/2 (r)ρ Ln (25) φ=− −1 8πhν03 hν0 ρ(ν, r) =

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso Tenemos que la densidad de entrop´ıa considerada en un intervalo de frecuencia ν y ν + dν est´a dado por: S = V φ∆ν

(26)

Y la energ´ıa por unidad de volumen y frecuencia en la forma: E = V ρ∆ν De acuerdo a lo anterior se tiene que (10) se convierte en: " # c3 f 3/2 (r)E kB f 1/2 (r)E S=− Ln −1 8πhν03 V ∆ν hν0

(27)

(28)

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso Sea S0 , la entrop´ıa de la radiaci´ on electromagn´etica confinada a un volumen V0 : # " c3 f 3/2 (r)E kB f 1/2 (r)E (29) S0 = − Ln −1 8πhν03 V0 ∆ν hν0 Luego considerando la variaci´ on en la entrop´ıa ∆S: V kB f 1/2 (r)E ∆S = − Ln hν0 V0

(30)

De acuerdo a este resultado. Si el principio de Boltzmann se considera siempre v´alido incluso en el gravit´atorio: ∆S = kB Ln |Ω|

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso De la f´ısica estadist´ıca estandar es sabido que para un gas ideal la probabilidad es  N V Ω= V0 De (15) se puede escribir como: Ef 1/2 V hν∞ ∆S = kB Ln V0

(31)

Y Einstein en su trabajo hallo que para la radiaci´ on electromagn´etica es: E V hν ∆S = kB ln V0

(32)

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso En la aproximaci´on de Wien que funciona bien en el rango de altas energ´ıas, la radiaci´on cerca a la superficie interior se comporta como un gas ideal, con cuantos de energ´ıa hν. Los m´as energ´eticos se hallan en las proximidades de superficie interior y los de m´as alta longitud de onda m´as lejos3 . La entrop´ıa para un gas a temperatura constante es de la forma: dV (33) V En el l´ımite cuando ∆S → 0, (16) de transforma se reduce a: pdV = T dS = nRT

dS =

kB Ef 1/2 dV hν∞ V

(34)

3

Tal distribuci´ on de la radiaci´ on observada desde el infinito apareceria con un corrimiento al rojo.

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso

Luego: T∞ dS =

kB Ef 1/2 dV T∞ hν∞ V

(35)

La comparaci´on entre las ecuaciones (18) y (20) nos permite obtener m´as evidencias a cerca de la estructura granular de la radiaci´on electromagn´etica cerca de la superficie de Schwarzschild [26]

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Noci´on de fot´on en un campo gravitacional intenso

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