Estudio De Un Gas De Fotones En Una Superficie De Schwarzschild

COMPORTAMIENTO DE GAS DE FOTONES EN LA VECINDAD DE UN HORIZONTE DE SCHWARZSCHILD

wilson alexander rojas castillo ´ digo 189453 co

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias ´ mico Nacional Observatorio Astrono ´ , Colombia Bogota 2008

COMPORTAMIENTO DE GAS DE FOTONES EN LA VECINDAD DE UN HORIZONTE DE SCHWARZSCHILD

wilson alexander rojas castillo ´ digo 189453 co

proyecto tesis de maestr´ıa sometido como requisito parcial para optar al grado de Mag´ıster en Ciencias - Astronom´ıa

director

jose robel arenas

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias ´ mico Nacional Observatorio Astrono ´ , Colombia Bogota 2008

jonathan TABLA DE CONTENIDO

1 Introducci´ on 1 1.1 Propiedades termodin´amicas de la radiaci´on en el espacio-tiempo de Minkowski 1 1.2 Termodin´amica de Agujeros Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Leyes termodin´amicas para agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . 3 2 El cuanto de radiaci´ on 2.1 Entrop´ıa asociada a un gas de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La aproximaci´on Mukohyama e Israel [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 El problema de la entrop´ıa [ 9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 8 11

3 Objetivos 3.1 Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Objetivos espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 14

4 Metodolog´ıa

15

5 Cronograma

16

6 Recursos y ubicaci´ on del trabajo

17

Bibliography

18

iii

CHAPTER

1

´ INTRODUCCION Cuando Eintein en 1905 expuso la idea de que la radiaci´on electromagn´etica se propagaba en forma discontinua y localizable en el espacio, dio un paso definitivo a la explicaci´on cu´antica de la materia (reafirmando la t´esis de planck). Las afirmaciones hechas sobre la termodin´amica estad´ıstica de Boltzmann y la aproximaci´on de Wien a la funci´on de distribuci´on de cuerpo le permitieron intuir la existencia del foton o como ´el le llamo El cuanto de radiaci´on. Con una aproximaci´on sencilla, c´alculo la entrop´ıa asociada a la radiaci´on electrom´agnetica en el intervalo de validez de la funci´on de distribuci´on dada por Wien [1], que al ser comparada con la entrop´ıa para un gas ideal logra dar cuenta de que la energ´ıa de un fot´on esta cu´antizada. Pero, como cambia la f´ısica de la radiaci´on electromagn´etica si se consideran efectos gravitacionales intensos? Se puede deducir la existencia del fot´on de manera an´aloga a la que se realiz´o ya hace m´as de cien a˜ nos?

1.1

Propiedades termodin´ amicas de la radiaci´ on en el espacio-tiempo de Minkowski

El caracter lineal de las ecuaciones de Maxwell reflejan el hecho de no interactuan entre si1 , por lo que la radiaci´on contenida en un cavidad se puede considerar como un gas ideal [2]. Dado que el spin de los fotones es entero, estos obedecen la estad´ıstica de Bose:

nk =

1 ek −µ/T

(1)

−1

El hecho que la radiaci´on se encuentre en presencia de materia da a lugar a procesos 1

Principio de superposici´ on del campo electromagn´etico. Esto est´a relacionado con el spin entero del fot´on que hace que no obedezca el Principio de Exclusi´on de Pauli, el cual describe los posibles estados cu´anticos de las part´ıculas. Por lo que los fotones pueden coexistir en el mismo estado cu´antico en equilibrio t´ermico.

1

2 de absorci´on y emisi´on de fotones por parte de los ´atomos que conforman la pared. Tal caracter´ıstica conduce al hecho que el n´ umero de part´ıculas N dentro de la cavidad sea variable y no constante como ocurre para un gas ideal. Por lo que el valor de N debe obtenerse a partir de condiciones de equilibrio termodin´amico, luego se debe imponer la condici´on de que la energ´ıa libre del gas debe ser m´ınima2 , se halla que la condici´on: ∂F =0 ∂N

(2)

Luego debemos recordar que: 

∂F ∂N

 =µ

(3)

T,V

Por lo que el potencial qu´ımico de un gas de fotones es igual a cero. la energ´ıa libre corresponde a:

F =−

4σ V T4 3c

(4)

y la entrop´ıa es:

S=−

∂F 16σ = V T3 ∂T 3c

(5)

Finalmente el calor esp´ecifico a volumen constante y la presi´on para , un gas de fotones sera:  Cv =

Cv =

∂E ∂T

 (6) V

16σ 3 T V c 

P =−

∂F ∂V

(7)

 = T

4σ 4 T 3c

(8)

Todo lo anterior se da en un espacio-tiempo de Minkowsky, en donde los efectos gravitacionales se ha despreciado. 2

Para los valores de temperatura y volumen.

3

1.2

Termodin´ amica de Agujeros Negros

Cuando la materia cae dentro de un agujero negro, la masa de este crece y por lo tanto tambien su radio de horizonte de eventos; al no poder escarpar ninguna informaci´on al exterior del agujero negro se concluye que el ´area no puede disminuir. Esta conclusi´on debe tener una analog´ıa con la termodin´amica cl´asica, interpretando el ´area de un agujero negro como un factor proporcional a su entrop´ıa. La materia que cae en un agujero negro se lleva consigo informaci´on que no puede ser devuelta. Existe un teor´ema que se denomina el agujero negro no tiene pelo, este establece que cuando una estrella colapsa en un agujero negro el estado de este queda determinado por su masa (M ), el momentum angular (J ) y su carga el´ectrica (Q).Cualquier otro tipo de informaci´on se pierde por lo que la entrop´ıa aumenta. De lo anterior podemos concluir: Si un agujero negro tiene asociada una entrop´ıa, luego debe tener una temperatura y por lo tanto emitir radiaci´ on. La pregunta que cabr´ıa en este punto es: Si de un agujero negro nada puede escapar, como puede tener temperatura? La repuesta llegar´ıa entre los a˜ nos de 1974 y 1975, cuando Hawking publica sus trabajos [4], en los cuales demuestra que el colapso gravitacional de una estrella genera un flujo de part´ıculas, el cual se mantiene incluso despues de que la estrella ha deca´ıdo en una agujero negro. Los c´alculos demostraron que la rata de creaci´on de part´ıculas no tiende a cero sino que se acerca a un flujo estacionario. Y que tal flujo tiene caracteristicas t´ermicas. De lo anterior llevan a concluir que la relaci´on entre la termodin´amica y las leyes de los agujeros negros son m´as estrechas de lo que se ha pensado.

1.2.1

Leyes termodin´ amicas para agujeros negros

Si los agujeros negros tienen temperatura, luego deben tener una termodin´amica asociada a ellos. A continuaci´on haremos un breve bosquejo de las leyes que se han formulado para estos: • Ley cero: La ley cero de termodin´amica postula la existencia de un par´ametro f´ısico(la temperatura), el cual es constante a trav´es de uns sistema en equilibrio termodin´amico. Para los agujeros negros, la existencia de la gravedad superficial k :

k=

1 4M

(9)

4 hace el papel de la temperatura en termodin´amica y su valor es constante sobre el horizonte de eventos. • Primera ley de termodin´ amica: Esta hace referencia a la conservaci´on de la energ´ıa que tambi´en se satisface en los agujeros negros. Pero se ha de hacer una salvedad que si se asimila la conservaci´on de la energ´ıa a la conservaci´on de n´ umero bari´onico en los agujeros negros, esta ley no tendria equivalente en los mismos. Pues el proceso de formaci´on y evaporaci´on viola este principio. Si se crea un agujero negro por colapso gravitacional con un elevado n´ umero de bariones, el campo gravitacional no mantiene esta informaci´on, d´ebido a que la metrica s´olo depende de la masa total, el momentum angular y la carga del sistema. Ademas el fen´omeno de creaci´on de part´ıculas no genera una asimetr´ıa entre part´ıculas y antipart´ıculas. Un agujero negro creado por colapso gravitacional tiene una temperatura muy baja, por lo que el n´ umero de bariones que irradia es cercano a cero. Por otro lado si el agujero negro se evapora completamente el n´ umero bari´onico que resulta es cero. De tal forma si el proceso con que inicio el agujero negro es muy grande y este se evapora, termina con un n´ umero cercano a cero [4-6 ]. • Segunda ley de termodin´ amica: De acuerdo a la termodin´amica cl´asica, se expresa como la no disminuci´on de la entrop´ıa en cualquier proceso f´ısico que se lleve acabo. El equivalente en los agujeros negros corresponde a la ley del ´area: El ´ area de un horizonte de eventos para un agujero negro que no radia no puede decrecer en el tiempo. Esto pareciese ser contradictorio para un agujero que est´a experimentando un proceso de evaporaci´on. Pues su masa M(t) es funci´on decreciente del tiempo:

A(t) = 16πM 2 = 16π(MO − Ct)1/3

(10)

Pero se halla que una disminuci´on del ´area y por ende de su entrop´ıa debe ser compensada con un aumento de la entrop´ıa del medio que rodea al agujero negro, d´ebido a la radiaci´on que este emite. Bekenstein fue el primero en postular que alg´ un multiplo de k representa de alguna forma la temperatura de un agujero negro [5].Tambien se˜ nala que se si tenemos la siguiente relaci´on para un agujero negro de Reissner-Nosdstrom, con J, momentum

5 angular y Q su carga:

dE =

K dA + ΩdJ + ΦdQ 8π

(11)

Donde Φ , corresponde la potencial electrost´atico en el horizonte. Observo que esta ley es similar a la primera ley de termodin´amica:

dU = T dS − pdV

(12)

De tal forma, hallo que el ´area del horizonte de eventos es un factor de la entrop´ıa de un agujero negro. Seguidamente Bekenstein postul´o la segunda ley generalizada: La entrop´ıa de la materia fuera de los agujeros negros, m´ as α veces la suma de las areas de los horizontes de estos nunca decrece. El valor de α = 1/4. ´ • Tercera ley de termodin´ amica: Esta ley se puede expresar de la siguiente manera:No es posible la temperatura del cero absoluto. Lo anterior se puede escribir en forma alternativa: Si la temperatura tiende a cero, la entrop´ıa tiende a un valor constante. En los agujeros negros, la gravedad superficial k juega el papel de temperatura. De acuerdo a lo anterior:la gravedad superficial no es cero. Como los agujeros negros r´adian y pierden masa parecer´ıa que se violase esta ley, pero si se aceptan las conjeturas del censor c´ osmico 3 . Tenemos que en un agujero negro de Schwarzschild debe permanecer por lo memos una masa de planck, por lo que k debe ser necesariamente diferente de cero [4-6].

3

En donde no puede existir singularidades desnudas en este universo.

CHAPTER

2

´ EL CUANTO DE RADIACION Es bien sabido que la teor´ıa ondulatoria de Maxwell ofrece una buena descripci´ on de los fen´ omenos ´opticos tales como la difracci´ on o la reflexi´ on, pero una teor´ıa con funciones continuas puede fracasar cuando se aplica a la producci´ on y la transformaci´ on de la luz, como lo observado en experimentos tales como la radiaci´ on de cuerpo negro o la producci´on de rayos cat´odicos. Se propone como hip´ otesis que la propagaci´ on de un haz de luz no se distribuye de manera continua, si no que lo hace en un conjunto finito de cuantos de energ´ıa localizables en el espacio, que son emitidos y absorbidos como un todo [1]. Esta fue una de las conclusiones a las cuales llego Einstein en 1905 en su trabajo Sobre un punto heuristico concerniente a la producci´on y transformaci´on de la luz. En tal trabajo con argumentos puramente termodin´amicos1 llego a la conclusi´on de la existencia del cuanto de radiaci´on y todo ello con base en la comparaci´on de entre el comportamiento estad´ıstico de un gas de ideal y lo que ahora conocemos como un gas de fotones.

2.1

Entrop´ıa asociada a un gas de fotones

Ya en el siglo XIX, el F´ısico Robert Kirchhoff introduce el concepto de cuerpo negro en el estudio de la radiaci´on t´ermica y demuestra que la distribuci´on espectral para un cuerpo negro debe obedecer una funci´on de universal que sea independiente de la composici´on del cuerpo, de la frecuencia de la radiaci´on y de la temperatura absoluta de cuerpo ρν (T ) [1]:

ν

ρν (T ) = αν 3 e−β T

ρν (T ) = 1

(1)

R 8πν 2 T N c3

(2)

Siguiendo el principio de Boltzmann.

6

7

 8πν 2 h ρν (T ) = c3 ehν/kT − 1 

(3)

Las ecuaciones (1)2 , (2) y (3) corresponden a los intentos que fueron dados para la funci´on postulada por Kirchhoff. Funciones que le eran ya conocidas por Einstein y que a la postre sirvieron como punto de p´artida para su trabajo de 1905. Este parte de la funci´on de distribuci´on propuesta por Wien3 en 1896 que funciona bien para altas frecuencias y cuyo fundamento es en parte termodin´amico y en parte experimental [1]. Ahora Einstein considera la entrop´ıa de la radiaci´on en el rango de frecuencias de validez de la ley de Wien. Comenta que la radiaci´on a diferentes frecuencias se puede separar sin gastos de calor o trabajo y que por lo tanto la energ´ıa y la entrop´ıa son cantidades aditivas respecto de las frecuencias componentes [1]. Denota la energ´ıa por unidad de frecuencia en el volumen V como η 4 :

  ηc3 kη −1 S=− ln hν V 8πν 3 dν

(4)

Que corresponde a la entrop´ıa por unidad de frecuencia. La anterior expresi´on Einstein la debujo a apartir de la Ley de Wien y de:

1 ∂S = ∂u T

(5)

A continuaci´on, manteniendo la energ´ıa constante se deja expandir la radiaci´on hasta un volumen V0 . Einstein obtiene entonces la siguiente expresi´on para la dependencia de la entrop´ıa de la radiaci´on (por intervalo de frecuencia) y el volumen:



V S − S0 = kln V0 2

η/hν

Donde las constantes son: α = 8πh/c3 , β = h/kB Ecuaci´ on 1. 4 por lo que η = Vu 3

(6)

8 Por otro lado, la probabilidad de que N particulas de un gas ideal esten todas contenidas en un volumen V en lugar de hallarse distribuidas en el volumen total V0 corresponde a: 

V W = V0

N (7)

Seguidamente empleando la ley:

S − S0 = kln |W |

(8)

La cual vincula la entrop´ıa con la probabildad por Boltzmann [2,3]. Que al comparar las expresiones (6), (7) y (8), halla que:

η = N hν

(9)

Seguidamente afirma: En consecuencia, la radiaci´ on monocrom´ atica de baja densidad, en el rango de altas frecuencias donde vale la ley de Wien, se comporta desde el punto de vista termodin´amico como si consistiera de cuantos de energia mutuamente independientes de valor hν [1] .

2.2

La aproximaci´ on Mukohyama e Israel [7]

Se tiene que para estudiar la termodin´amica de campos cu´anticos calientes, se rodea un objeto gravitacional (estrella o agujero negro) con una superficie perfectamente reflejante de radio L  rs . Se considera que la m´etrica fuera de la estrella tiene la forma:

ds2 = −f (r)dt2 +

dr2 + r2 dΩ2 f (r)

(10)

En donde la m´etrica de Schwarzschild corresponde a uno de los casos contenidos en la forma descrita arriba [7]. En este espacio se introducen una colecci´on de campos cu´anticos que alcanzan cierta temperatura T∞ a grandes distancias y en equilibrio t´ermico. La temperatura local esta dada por la ley Tolman:

T (r) = T∞ f 1/2

(11)

9 la cual tiende a hacerse muy grande cuando:

r → r1 = r0 + ∆r

(12)

Si se considera que T∞ = TH del horizonte cuando r = r0 del exterior de la m´etrica, se tiene que las longitudes de onda de la radiaci´on son peque˜ nas en comparaci´on con otros valores tales como la curvatura espacio-tiempo o el tama˜ no del contenedor, por lo tanto se puede realizar la siguiente aproximaci´on:

λ∝

~ ~ = f 1/2  r0 T T∞

(13)

Para un lugar alejado se tendra:

f ≈ 1, λ =

~ ∝ r0  L T∞

(14)

Por la condiciones anteriores tendremos una buena aproximaci´on a la estad´ıstica cl´asica de campos. Tenemos que para part´ıculas con masa en reposo diferente de cero m0 , un 3momentum P, 3-velocidad v medidos por un observador estacionario local tenemos que la densidad de energ´ıa ρ, la presi´on p y la densidad de entrop´ıa estan dadas por las expresiones cl´asicas:

Z ρ=N 0

∞

E 4πp2 dp N ,P = βE ∗ 3 e −e h 3

Z 0

∞

vP 4πp2 dp , S = β(ρ + P ) eβE − e∗ h3

(15)

donde: E 2 − p2 = m2 , v

p 1 ,β = E T

(16)

y el factor e* es +1 para los bosones y -1 para los fermiones, el factor N toma con cuidado las helicidades5 . 5

Que corresponde a la proyecci´ on del spin en la direcci´on del momentum : h = ~s · pˆ

(17)

10 Luego tendremos que la entrop´ıa total estara dada por:

Z

L

s(r)4πr2 dr √ f

S= r1

(18)

Se toma en cuenta el elemento de volumen propio dado por la m´etrica, donde el factor que aparece en el denominador de la anterior integral para la masa gravitacional de la exitaci´on termal [4]:

Z

L

∆M =

ρ(r)4πr2 dr

(19)

r1

Donde las dos u ´ltimas integrales esta dominadas para grandes radios del contenedor L y peque˜ nos ∆r. Se pueden resaltar los siguientes aspectos: • Un t´ermino volum´etrico, que representa la entrop´ıa y la masa-energ´ıa de un gas homogeneo cu´antico en un espacio plano con: L f∼ = 1, si → ∞ r0

(20)

• La contribuci´on del gas en la cara interna de la pared r = r1 , en donde tal contribuci´on es proporcional a la superficie de la pared y diverge con:

(∆r)−1 , si∆r → 0

(21)

El modelo de t’Hooft [8], provee una consistente descripci´on de una configuraci´on que es indistigible para un observador que esta afuera del agujero negro. Se puede considerar la entrop´ıa Bekenstein-Hawking [7] como una entrop´ıa t´ermal de los campos cu´anticos a la temperatura Hawking6 . Proveyendo una aceptable anzatz para la longitud de onda cerca del horizonte. Si bien que la pared es insustancial 7 . El espacio es practimente vacio y la curvartura local es baja, es sin embargo el dep´osito de toda la entrop´ıa Bekenstein-Hawking en el modelo. Esto se puede comprender desde la visi´on de entanglement. La cual surge 6 7

En un estado de Hartle-Hawking. Solo como un horizonte.

11 de la creaci´on virtual de pares (los cuales unas son visibles para nosotros). Tales pares son creados muy cerca del horizonte; por lo que desde este punto de vista , la entrop´ıa entanglement (y su divergencia) surgen casi enteramente de la correlaci´on de las variables de campo sobre los dos lados de la partici´on, que es un efecto presente en el espacio plano. Una alternativa posible es que la concentraci´on de entrop´ıa sobre la pared es que se deba a alg´ un tipo de artificio en el modelo usado o bien de la desici´ on de Fock

2.3

8

[7] .

El problema de la entrop´ıa [ 9]

En este apartado consideraremos una de las problem´aticas fundamentales en la termodin´amica de agujeros negros: Cu´ando, bajo qu´e condiciones y que es´ecificaciones podemos asignar entrop´ıa en agujero negro? Que adicionalmente a est´a pregunta surgen las siguientes cuestiones: 1. Cu´ando podemos asignar entrop´ıa? 2. En un agujero negro cu´ando la entrop´ıa y el ´area son proporcionales? 3. Cu´al es la naturaleza del horizonte de eventos de un agujero negro? Los trabajos de Bekenstein [5] y Hawking [4] establecieron una relaci´on directa entre el ´area de un agujero negro y su entrop´ıa. Lo cual se ha dado por identificar los grados de libertad y el concepto de entrop´ıa en un agujero negro, esto se ha convertido en uno de los mayores retos para una posible te´oria cu´antica de la gravedad. Sobre la cuesti´on de que cuando la estrop´ıa es proporcional a A/4 nos conduce a tres preguntas: • Bajo que condiciones exactas asignamos entrop´ıa? • Cu´ando es la entrop´ıa asignada proporcional a 1/4 de su ´area? • A que ´area exactamente debemos referirnos como respuesta a la pregunta anterior? Empecemos por analizar la primera pregunta de las tres u ´ltimas que hemos formulado: Bajo que condiciones exactas asignamos entrop´ıa? Que podemos p´artir en tres nuevas inquetudes, a saber: 8

Basada en la definici´ on est´ atica de un observador de frecuencia positiva.

12 • Bajo que condiciones f´ısicas asignamos entrop´ıa? • A que le estamos asignando entrop´ıa? A un estado instantaneo del sistema? A nuestra visi´on de como es el estado del sistema? • Que necesitamos para ser especificada y asignada una entrop´ıa? En cuanto las circustancias f´ısicas referidas, podemos mencionar: • Todo tipo de situaci´on. • Situaciones estacionarias. • Situaciones cuasiestacionarias. • Situaciones mayores a las estacionarias. • A algunas situaciones no tan generales. De que tipo de entrop´ıa estamos hablando: • Entrop´ıa termodin´amica. • Entrop´ıa estad´ıstica. En el caso de estar refiriendonos a una entrop´ıa est´adistica, a que puntos de vista: 1. A la de Boltzmann: la cual depende sobre el n´ umero ex´acto de microestados del sistema y est´a definido como el logaritmo del n´ umero de microestados, siendo macrosc´opicamente indistinguible uno del otro:

S = log |Ni |

(22)

2. A la Gibbs: que corresponde a un ensemble funcional, una funci´on del estado actual del sistema. Asociado con el ensemble esta una densidad de probabilidad ρ sobre el espacio de microestados, por lo que la entrop´ıa de Gibbs es:

Z

1 dxρ(x)log ρ(x)

(23)

13 En la pr´atica una escencial identica descripci´on nos permite construir cada noci´on de mesoestado para la entrop´ıa de Boltzmann o el ensemble para la entrop´ıa de Gibbs. Tenemos asi que la entrop´ıa estad´ıstica es m´as general que la entrop´ıa termodin´amica, pues la podemos definir para situaciones estacionarias o cuasiestacionarias. Una vez hemos decidido que tipo de entrop´ıa vamos asignar, debemos especificar a que objeto se la vamos a asociar. En el caso de un agujero negro, a que parte de este sera: si al interior, al exterior o al horizonte. El concepto de conservaci´on de la energ´ıa est´a asociado a la presencia de una invariaza temporal, similar a esto debemos contar con una definici´on similar a la de energ´ıa para la entrop´ıa. Ello es que en un proceso f´ısico podemos convertir un tipo de energ´ıa en otro sin que esta se destruya, de manera an´aloga podamos convertir alg´ un tipo de entrop´ıa en otra, una vez se halla logrado una cabal compresi´on de la segunda generalizada de termodin´amica. Asumiendo que estamos dispuestos a asignar una entrop´ıa a todas las situaciones: Es la entrop´ıa asignada proporcional a ´area de un agujero negro? Es claro en la situaci´on cuasiestacionaria. Pero inmediatamente nos preguntamos tambien lo sera en el caso din´amico. Y que podemos decir acerca del horizonte en los cuales hay diferencias entre uno de eventos y uno aislado. Y en el caso din´amico las definiciones no estan unificadas. Acaso las respuestas a estas y m´as preguntas que surgan se hallen el seno de una te´ oria cu´ antica de la gravedad de la cual a´ un no disponemos en su totalidad[9].

CHAPTER

3

OBJETIVOS 3.1

Objetivo general

Estudiar la termodin´amica de un gas de fotones en la regi´on cercana a un horizonte de eventos de un agujero negro de Schwarzschild.

3.2

Objetivos espec´ıficos

• Reproducir la modelaci´on de la entrop´ıa asociada a la radiaci´on electrom´agnetica en el ´articulo de Einstein de 1905 [1]. • Aplicar el modelo considerado en el objetivo especif´ıco uno a la regi´on cercana al horizonte de eventos de un agujero negro de Schwarzschild, de acuerddo a la aproximaci´on semicl´asica de Mukohyama e Israel [7]. • Describir la termodin´amica de un gas de fotones en la regi´on cercana al horizonte de eventos de un agujero negro de Schwarzschild[7-8] .

14

CHAPTER

4

METODOLOG´IA El desarrollo del trabajo consta de tres partes, las cuales permitir´an abarcar algunos aspectos fundamentales, como la recopilaci´on bibliogr´afica hasta la obtenci´on de los resultados. A continuaci´on enunciaremos la metodolog´ıa propuesta: I FASE INICIAL • En un aproximaci´on la problema plateado se hace una extensiva busqueda de material bibliogr´afico sobre los t´opicos aqui abordados. • Reproducci´on de la modelaci´on realizada por Einstein en 1905 para la entrop´ıa asociada a la radiaci´on. II FASE INTERMEDIA • Aplicar la reproducci´on de la entrop´ıa a una variedad curva. • Descripci´on de la termodin´amica de la radiaci´on en un horizonte de eventos. III FASE FINAL • Contraste de los resultados obtenidos con la modelaci´on realizada por Einstein en 1905. • Redacci´on y sustentaci´on de la t´esis de maestr´ıa.

15

5

CHAPTER CRONOGRAMA

En la tabla a continuaci´on se presentan las actividades que se llevar´an a cabo para la realizaci´on de la tesis de maestr´ıa. Tabla 5.1: Cronograma de actividades. El mes I corresponde al mes de mayo de 2008, el mes II corresponde al mes de junio de 2008, el mes III al mes de julio de 2008 y el mes VIII corresponde al mes de diciembre de 2008.

Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes Mes

Actividades Recopilaci´on bibliogr´afica Reproducci´on de la entrop´ıa de la radiaci´on Aplicar la reproducci´on a un horizonte Descripci´on de la termodin´amica de la radiaci´on Comparaci´on con el modelo de Einstein 1905 Redacci´on del trabajo Sustentaci´on

16

I X

II X X X

III X X X X

IV X X X X X

V X X X X X

VI X X X X X X

VII VIII X X X X X X X X X

CHAPTER

6

´ DEL TRABAJO RECURSOS Y UBICACION En la siguiente tabla se presentan los costos y recursos necesarios para llevar a cabo el trabajo:

Tabla 6.1: Presupuestos y recursos Recurso Material bibliogr´afico Computadora Papeler´ıa, fotocopias e impresi´on Total

Costo $ 500,000 $ 2 200 000 $ 300 000 $ 3 000 000

Cierto material bibliogr´afico se encuentra en la biblioteca del Observatorio y otro material puede ser proporcionado por los profesores del Observatorio, lo que permite acceder a ´este. No obstante hay cierto material del cual no dispone la universidad y que debe comprarse, incluyendo gastos de env´ıo, lo que correr´ıa por cuenta del estudiante. En cuanto a la adquisici´on de la computadora es por parte del estudiante, y de otra parte el Observatorio cuenta con una serie de computadoras en las que el estudiante puede trabajar diariamente, lo que facilitar´ıa el avance y la interacci´on con el director. Respecto al costo de las fotocopias, papeler´ıa, etc. tambi´en ir´ıan por cuenta del estudiante.

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jonathan BIBLIOGRAPHY [1] A. Einstein. Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light,Translation into English. Am. J. Phys 33 (1965):1–16. [2] L. Landau and E. Lifshitz. Curso de F´ısica Te´ orica. F´ısica Estad´ıstica, volume 5. ´ EDITORIAL REVERTE S.A., Barcelona, 1973. [3] L. Landau and E. Lifshitz. Curso de F´ısica Te´ orica. Te´ oria Cl´ asica de Campos, ´ S.A., Barcelona, 1973. volume 2. EDITORIAL REVERTE [4] S. W.Hawking. Particle Creation by Black Hole. Comm. Math. Phys. 43 (1975):199. [5] J. D. Benkenstein. Black Holes and Entropy. Phys. Rev. D 7 (1973):2333. [6] J. F. Isaza Delgado. F´ısica de los agujeros negros radiaci´on de Hawking. Programas Curriculares de F´ısica. Univerisidad Nacional de Colombia. Dir: Juan Manuel Tejeiro (1998). [7] S. Mukohyama and W. Israel. arXiv:gr-qc/9806012 (1998). [8] G. tHooft. On the quantum structure of a black hole. Nucl. Phys. B256 (1985):727– 745. [9] A. Corichi and D. Sudarky. arXiv:gr-qc/0010086 (2002). [10] C.S. Lopez-Monsalvo X. Hernandez and S. Mendoza. Some statistical mechanical properties of photon black holes. Revista Mexicana de F´ısica 52 (2006):515–521.

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