Des De La Radiacion Electromagnetic A

REVISTA COLOMBIANA DE F´ISICA, VOL.38, No.2, 2006

´ ´ PROPIEDADES TERMODINAMICAS DE LA RADIACION ´ ELECTROMAGNETICA CERCA DE UNA SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD W. A. ROJAS C.1 , J. R. ARENAS1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA1 . Recibido xx de Feb.2006; Aceptado xx de Abr.2006; Publicado xx de Jun.2006 RESUMEN Se consideran las correcciones gravitacionales, en el marco de la Teor´ıa General de la Relatividad, de la termodin´ amica de la radiaci´ on electromagn´ etica cerca a una superficie de Schwarzschild. En particular, se discute la noci´ on de fot´ on con base en la descripci´ on de part´ıculas como aproximaci´ on a la termodin´ amica estad´ıstica de los campos, puesto que las longitudes de onda caracter´ısticas son peque˜ nas comparadas con las escalas de longitud del sistema considerado. Como una aplicaci´ on de los resultados obtenidos se revisa el art´ıculo de Einstein de 1905 ”Sobre un punto de vista heur´ıstico concerniente a la producci´ on y transformaci´ on de la luz”. Finalmente, entre otras propiedades termodin´ amicas de la radiaci´ on electromagn´ etica, se muestra que la entrop´ıa del sistema considerado es consistente con el principio hologr´ afico. Palabras claves: Radiaci´ on electromagn´ etica,Schwarzschild, fot´ on

ABSTRACT They are considered the gravitational corrections , in the mark of the General Theory Relativity, of thermodynamic electromagnetic radiation close to a surface of Schwarzschild. In particular, you discusses the photon notion with base in the description of particles like approach to thermodynamic statistic of fields, since the characteristic wavelengths are small compared with the scales of longitude of the considered system. As an application of the obtained results Einstein’s 1905 article is revised On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transformation of Light . Finally, among other thermodynamic estates of the electromagnetic radiation, it is shown that the entropy of the considered system is consistent with the holographic principle. Keywords: Electromagnetic radiation, Schwarzschild, photon.

1.

Termodin´ amica de la radiaci´ on para un campo gravitacional intenso

Sea una m´etrica de la forma (que incluye los casos Schwarzschild, Reissner-Nordstrom de Sitter, etc): ds2 = −f (r)dt2 + f (r)−1 dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2

(1)

Retomando la expresion () para la energ´ıa libre de Helmoltz para la radiaci´on electromagn´etica en el espacio-tiempo de Minkowski []: Z h 4 4 ~ω(K) i 4πK 2 dK F π 2 kB T − = kB T Ln 1 − e kB T =− (2) 3 V (2π) 90~3 c3 Sea V , el volumen de una esfera: Z Z Z V = r2 sinθdrdθdφ Introduciendo la anterior expresion en la ecuaci´on () se halla: 1

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F =−

4 π 2 kB 3 90~ c3

Z

√ T 4 −gd3 x

(3)

Donde el termino d3 x = dθdφdr Y la ley de Tolman: Z √ T 4 V = T 4 −gd3 x Tendremos que la forma final para la energ´ıa libre Helmholtz en un campo gravitacional intenso es []: Z 4πK 2 dK Z ~ω(K) √ kB T T 4 −gd3 x F = kB T Ln 1 − e (4) (2π)2 4

Para evaluar primera integral que existe en (), la cual converge al valor de − π45 , asi que: 4 Z √ π 2 kB F =− T 4 −gd3 x (5) 3 3 90~ c #4 " 4 Z π 2 kB T∞ p r2 sinθd3 x (6) F = 90~3 c3 f (r) Cerca del horizonte se puede reemplazar la coordenada r por la coordenada ρ, que mide la distancia propia desde el radio de Schwarzschild: 2Gm κ2 ρ2 ≈ 4 (7) 2 c r c La energ´ıa libre de Helmoltz para un sistema que se halla en un campo gravitacional de acuerdo a () en coordenadas de Rindler toma la forma1 : Z Z 4 3 c 4 −3 π 2 kB 2 F =− T κ d σ ρ−3 dρ (8) 90~3 ∞ R Donde hemos aprovechado el hecho de hacer d3 x = dρd2 σ. Haciendo A = d2 σ:  ρ=ρ0 4 3 π 2 kB c 4 −3 1 F =− T κ A − (9) 90~3 ∞ 2ρ2 ρ=0 1−

Asi, tenemos que la funci´on para la energ´ıa libre de Helmholtz diverge para cuando ρ = 0 (sobre el horizonte). Luego se hace necesario introducir un cut off para evitar la divergencia y asi poder evaluar (). Con la aproximaci´on de δ  , () se puede reduce a: 4 3 π 2 kB c 4 −3 T κ A (10) 180~3 2 ∞ De la termod´ınamica estandar sabemos la relaci´on entre entrop´ıa y la energ´ıa libre de Helmholtz:

F =−

1 La

gravedad superficial cerca del radio de Schwarzschild est´ a definida como: κ=−

c2 df (r) 2 r

2

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 S=−

∂F ∂T∞

 = V

4 3 π 2 kB c 3 −3 T κ A 45~3 2 ∞

(11)

La energ´ıa interna2 corresponde a: 4 3 π 2 kB c 4 −3 T κ A 60~3 2 ∞ La capacidad calor´ıfica a volumen constante es:   4 3 ∂E π 2 kB c 3 −3 T κ A Cv = = ∂T∞ V 15~3 2 ∞

E=

Calculamos la capacidad calor´ıfica a presi´on constante:   4 3 ∂S c 3 −3 π 2 kB Cp = T∞ T κ A = ∂T∞ P 15~3 2 ∞

(12)

(13)

(14)

Dado que la presi´ on viene dada en t´erminos de un diferencial energ´etico (F ) respecto a uno volum´etrico a temperatura constante; tal diferencial podemos expresarlo como ∂V = ∂A. Entonces:   4 3 1 ∂F π 2 kB c 4 −3 P =− = T κ (15)  ∂A T∞ 180~3 3 ∞

2.

Construcci´ on de la funci´ on de distribuci´ on de Wien en un campo gravitacional intenso

En este apartado verificaremos si la noci´on de fot´on hallada por Einstein en 1905 [1] se mantiene cuando se estudia la radiacion electromagn´etica en una superficie de Schwarzschild. Seguiremos el m´etodo usado por Einstein. En condiciones de equilibrio termodin´ amico, la radiaci´ on que rodea al horizonte tendra m´axima entrop´ıa. Consideremos que la radiaci´ on electromagn´etica cerca de la superficie de Schwarzschild est´a en equilibrio t´ermico, luego su temperatura es T∞ = Th . De acuerdo con el cl´ asico segundo principio de termodin´amica, suponemos la radiaci´ on electromagn´etica como un sistema f´ısico que est´a en un definido estado que posee una entrop´ıa S = V φ. Tal entrop´ıa consiste de la entrop´ıas monocrom´aticas que estan separadas las unas de las otras. Por lo que podemos obtener por adici´on [25]: Z ∞ S= V φdν (16) 0

Lo anterior es valido para el espacio-tiempo minkowskiano. En el caso de un espaciotiempo curvo se debe tener en cuenta como se afecta el volumen del sistema f´ısico con la 2 √ dr elemento de volumen en coordenadas esf´ericas afectado por gravedad, sea dV = 4πr f (r)

la gravedad. Asi se tendra que (2) se transforma en: 2

dE = dF + T∞ dS

3

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Z

R

Z

∞

S= 0

0

4πr2 dr φ(ρ(ν), ν)dν p f (r)

(17)

Einstein [1] y Planck [25] demostrar´on que para la radiaci´on electromagn´etica que en el espacio euclideo: Z ∞ δ φ(ρ(ν), ν)dν = 0 0

Lo cual conduce obligatoriamente a: ∂φ 1 = ∂ρ T∞

(18)

De acuerdo con Planck, el concepto de temperatura gana de nuevo significado en el caso de la distribuci´ on de cuerpo negro. Asi para una frecuencia espec´ıfica de radiaci´ on la relaci´ on entre temperatura y densidad de entrop´ıa esta dada por (2) y entre todas las distribuciones posibles la normal one est´a caraterizada por el hecho que todas las radiaciones de todas las frecuencias tiene la misma temperatura cuando la radiaci´on se halla en el espacio-tiempo plano. En nuestro trabajo tendremos que temperatura estara dada por la ley de Tolman: 1 1 1/2 ∂φ = = f (r) ∂ρ T (r) T∞

(19)

Por otro lado veamos la funci´on de distribuci´on de cuerpo negro para la radiaci´ on electromagn´etica de acuerdo a planck: " # 8πhν 3 (r) 1 ρ(ν, r) = (20) hν(r) c3 e kB T (r) − 1 Asi se tendra que la frecuencia y la temperatura (dada por la ley de Tolman) se ven afectadas por la gravedad. La frecuencia luego toma la forma3 : ν = ν0 f 1/2 (r)  8πh(ν0 f (r)−1/2 )3  ρ(ν, r) = c3 Con la aproximaci´ on de

hν0 kB T∞

(21)  1

e

hν0 f (r)−1/2 kB T∞ f (r)−1/2



(22)

−1

 1, la ecuaci´on (7) se reduce a:

8πh(ν0 f (r)−1/2 )3 k hνT0∞ e B (23) c3 Que corresponde a la funci´on de distribuci´on de Wien para la radiaci´on de cuerpo negro. Observece que la correcci´on de la frecuencia es compensada por la correcci´ on de la temperatura por lo que el efecto neto es nulo sobre el argumento del exponente. Despejando de (8) el t´ermino T1∞ e incertandolo en (4): 1/2 dφ kB ρc3 f (r) =− Ln (24) 3 dρ hν0 8πhν0 f −3/2 (r) ρ(ν, r) =

3 Una

demostraci´ on completa de esta formula se puede ver en la referencia [38]

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Integrando (9):   3 3/2 ρc f kB f 1/2 (r)ρ −1 φ=− Ln hν0 8πhν03

(25)

Tenemos que la densidad de entrop´ıa considerada en un intervalo de frecuencia ν y ν + dν est´ a dado por: S = V φ∆ν

(26)

Y la energ´ıa por unidad de volumen y frecuencia en la forma: E = V ρ∆ν De acuerdo a lo anterior se tiene que (10) se convierte en:   3 3/2 c f (r)E kB f 1/2 (r)E −1 S=− Ln hν0 8πhν03 V ∆ν

(27)

(28)

´ Sea S0 , la entrop´ıa de la radiaci´on electromagn´etica confinada a un volumen V0 :   3 3/2 c f (r)E kB f 1/2 (r)E −1 S0 = − (29) Ln hν0 8πhν03 V0 ∆ν Luego considerando la variaci´on en la entrop´ıa ∆S: V kB f 1/2 (r)E ∆S = − Ln hν0 V0

(30)

De acuerdo a este resultado. Si el principio de Boltzmann se considera siempre v´alido incluso en el gravit´ atorio: ∆S = kB Ln |Ω| De la f´ısica estadist´ıca estandar es sabido que para un gas ideal la probabilidad es  Ω=

V V0

N

De (15) se puede escribir como: 1/2 Ef V hν∞ ∆S = kB Ln V0

(31)

Y Einstein en su trabajo hallo que para la radiaci´on electromagn´etica es: E hν V ∆S = kB ln V0

(32)

En la aproximaci´ on de Wien que funciona bien en el rango de altas energ´ıas, la radiaci´ on cerca a la superficie interior se comporta como un gas ideal, con cuantos de energ´ıa hν. Los m´ as energ´eticos se hallan en las proximidades de superficie interior y los de m´ as alta longitud de onda m´as lejos4 . La entrop´ıa para un gas a temperatura constante es de la forma: 4 Tal

distribuci´ on de la radiaci´ on observada desde el infinito apareceria con un corrimiento al rojo.

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REFERENCIAS

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dV V En el l´ımite cuando ∆S → 0, (16) de transforma se reduce a: pdV = T dS = nRT

dS =

(33)

kB Ef 1/2 dV hν∞ V

(34)

dV kB Ef 1/2 T∞ hν∞ V

(35)

Luego: T∞ dS =

La comparaci´ on entre las ecuaciones (18) y (20) nos permite obtener m´as evidencias a cerca de la estructura granular de la radiaci´on electromagn´etica cerca de la superficie de Schwarzschild [26]

Referencias [1] A. Einstein. Am. J. Phys. 33(1965),1. [2] G.’t Hooft, Nucl.Phys. B256 (1985), 727. [3] L. Landau and E. Lifshitz. Curso de F´ısica Teorica. F´ısica Estadist´ıca. Volumen 5. Editorial Revert´e S.A.,Barcelona, 1973. [4] R.C. Tolman. Relativity Thermodynamics and Cosmology. Dover Publication, Inc., New York, 1987. [5] R. K. Pathria. Statistical mechanics. Butterworth-Heinemann., Madras, 1996. [6] M. Planck. The Theory of Heat Radiation. P. Blankinstont’s Son Co., Philadelphia, 1914. [7] R. P. Feynman. Statistical Mechanics: A set of lectures. The Benjamin/ Cummnings Publishing Company, Inc., Massachusetts, 1961.

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